Hello, 大家好，我是没咋了。首先恭喜大家学完了现在强化的前两章，行列式与矩阵向量分组内容比较多，大家好好吸收。那么接下来我们学的这两张就是现代强化的重中之重了，一个是矩阵相似，一个是二次型。 我们很难说在今年的考研当中到底哪一个要更为重要，因为这个出题老头，他总是不按套路出牌，懂吗？很多同学会认为，你今年现在大题考了相似，那下一年是不是考二次型呢？今年考了二次型的话，那那下一年是不是就考矩阵相似呢？不应该是轮换着来，但并不是这样，甚至有的时候这个处理老头为了反押题，那很多模拟卷就压，今年是二次型好，他来一个什么，他搞一个解放组的，或者搞一个向量的问题，那你不傻眼了吗？所以大家不要有这种投机取巧的心理，我们在现在的强化阶段一定要全面透彻，把所有内容都掌握好吧？这给大家提的一点要求。 好，我们接下来就正式进入第三章矩阵相似的学习。这节课我们复习一下特征值与特征向量的知识。这一块在基础阶段我们已经讲的非常全面了。所以如果说你基础阶段是完整跟着我过的同学，那么在前面讲知识点部分，前面讲知识点部分你基本上就可以跳过，直接从立题开始听就可以了。好，如果这个阶段没有跟我的话，那你还是跟着我的节奏顺着过一遍好吧。 首先第一个特征值与特征向量的定义，它的定义核心就是这样一个定义式，大家一定要注意是非零的，注意是非零的这个N维向量X使得AX等于londa x是吧？核心就是这样一个定义式。如果有这样一个定义式成立的话，我们就说这个拉姆达就是矩阵A的特征值，这个向量X就是对应于特征值lambda的特征向量，就这么个定义。 好，对于这个定义我们要补充说明三点。首先第一点，大家注意这样一个定义，实际上是可以在复数域上去定义的，甚至你这个矩阵A都可以是复数域上的矩阵。只不过我们考研来说的话，我们只会考到实数域的问题，对吧？你考研不可能说一个矩阵当中还含有这种虚数，不可能考研只涉及到实数域好吧。然后第二个需要注意的就是特征值问题，就和我们前面的这个行列式，伴随矩阵的逆矩阵，还有这个取证的密一样，它通通都建立在方阵的基础之上？你如果一个不是方正的东西，那有没有特征？只是特征向量这个概念，那是绝对没有的，所以这一点大家要注意。 好，然后第三点我们再次强调特征向量一定是非零向量，那一定是非零向量。但是特征值可以是零，特征值是可以为实数零的，这个要注意。关于定义我们说到这里，那么接下来我们再复习一下求解特征值与特征向量的一般性步骤。好，第一步求特征值，求特征值核心就是把拉姆达一减A的行列式这样一个特征多项式给写出来，然后我们令特征多项式等于0，这就叫特征方程。你解这样一个特征方程自然会得到N个根，这N个根对应的就是矩阵A的N个特征值。关于这句话我给大家解释一下，就是首先你要清楚这样一个特征多项式，它解出来是关于拉姆达的N次多项式。 好，你现在令这样一个关于lambda的N次多项式等于0的话，那根据这个方程理论我们很清楚它一定是能解除拉姆达的N个根的。只不过这个N个根是在复数域上的，是吧？只不过这个N个根是在复数域的。 大家注意，它能够解除N个根，但是这个N个根并不一定都是实数。我举个很简单的例子，比如说它的特征多项式万一就是拉达平方加一等于零是吧？那你能解出实数根吗？解不出来的，它只能解出来什么？它只能解出来拉姆达等于这个正负I所以你说它在复数域上有N个根是没有问题的，但是在实数域上那就不一定了，好吧，这个要注意，但是你可以尽管放心，为什么呢？因为出题老头就是说他从考试的角度来讲，他这个矩阵的数据肯定是精心设计的，设计的非常好的，所以不会出现这种情况。懂不懂？ 你大部分情况下可以说99.99%的情况下，你解出来这个特征值他都是实数，所以这一点大家可以放心。总之我们就通过这样一种方式，可以把特征值给求解出来，好吧？然后我们在求特征值的时候，那是很有可能会出现一些什么？出现一些重根的情况是吧？出现一些重根的情况，我们就把这种根的重数称为代数重数，这里需要注意的是，所有的代数重数加在一起B等于方程的阶数N，所有的代数重数加在1B等于方程的阶数N好，这一块有一点点抽象，我们举个具体的例子，你很快就可以懂了。 举个具体的例子，比如说A是一个三阶矩阵。好，如果说它的特征多项式是这样的，是兰姆达减一的平方乘以兰达减3是吧？好，你令它等于零解这样一个特征方程，很明显它解出来特征值就是兰姆达一等于兰姆达二等于一，兰姆达三等于3，对不对？那这个特征值一就相当于是一个二重根，特征值一的代数重数就是2，因为它是二重根，代数重数就是2。这个三很明显是一重根，它是个单根，所以特征值是3，它对应的这个代数重数就是一。我说清楚没有？所以你记住了这样一个矩阵，它现在的特征值就是在我写右边在这样一个集合当中取一或者3，对不对？ 好，其中一它对应的这个代数重数，我们把它叫K1，它对应的是等于2，它是二重的。三把它叫KK2好吧，它是等于一的，它的代数重数是一。你现在把这个代数重数加在一起，它的总和必然是等于矩阵A的接触的是等于三的。2加1等于3，就这么个意思，对吧？这就是代数重数的这样一个概念。 好。 然后说完了这个求解特征值以及代数重数的定义，接下来我们再说一下怎么去求解特征向量。顺便我们也会引出一个与代数重数对应的概念，叫几何重数。好吧？这两个概念是很重要的。在后面我们讲矩阵相似对角化的时候，这个代数重数和几何重数的关系是至关重要的。好，那么怎么去求解特征向量呢？我们就从这个定义式出发，我写着从这个定义式出发，你由。 AX等于。 ln AX移项整理，把这个X移到右边去，那自然就可以得到兰姆达E减去A括号乘以X等于0，是不是呢？可以这么理解，因为landa x我们可以理解为兰姆达EX，你这个单位这是可以随便添加的，对不对？所以一项整理提取公因式就要把也也不是说提取公因式，把这个公共的X向量给提取出来，它就能够得到这样一个式子。所以你会发现这个特征向量X不是别的，就是对应的这样一个其次线分组的解对了吧。所以我们接下来要做的事情就是把这样一个对应的其次线分组给它解出来，把它的基础解析解出来之后，你也就得到了矩阵A对应的这个特征值底下的特征向量了，是吧？ 然后它可能特征值有好几个？你把lambda比如说我们就以这个具体例子为例，你把一代进去，那就是一减A乘以X等于，那解出来的就是对应于特征值一底下的特征向量。然后我把特征值三代进去，那就是33E减AX等于0。那解出来的就是对应特征值三的特征向量是吧？就通过这种解方程的思路，我们去求解特征向量。 好，那么在求解特征向量的时候大家注意，如果说你这个其次线分组，它所对应的基础解析有P个线性无关的向量，有P和线有弯的向量，那这也就代表着什么呢？这也就代表着这样一个特征值lambda I对应有P个线性无关的特征向量，大家注意就这个方程对应的技术解析，如果有P和线有Y向量的话，那对应的就是这个特征值底下的特征向量，就有P个线性无关的特征向量，我们把这样一个P称为几何重数，说白了这个P等于什么，B等于什么，是不是就是N减去系数矩阵的值，就是拉姆达IE减A这样一个系数矩阵的值，对吧？所以这是几何重塑的概念。 然后说完了这样一个求解测试向量的方法以及几何整数的概念之后，我们再补充一点说明，就是有一个天生的关系，就是几何重数P是小于等于代数重数K的。至于它的证明过程不要求大家掌握，你把这个结论记住就可以了，这是天生成立的。对于任意一个特征值，对于A矩阵的任意一个特征值，它的几何重数P永远都是小等于代数重数K的。好吧，那这样是不是意味着K重特征值拉姆达，也就是说它的代数重数是K，它底下线有关的特征向量是不是最多就是这个，因为你几何重数永远都是小于等于它的，是吧？最多也就是它们相等最多就是K哥先用完特征向量，好吧？ 这个大家要清楚，实际上我们现在已经是强化阶段，也可以跟大家说，顺着说我们后面讲矩阵相似对角化的时候，我们就提到了矩阵相似对角化的核心它的等价条件就是什么？就是这个矩阵它所有的代数重数和几何重数都是相等的，是吧？它所有的特征值，比如说这里特征值一对应的代数重数是2，它的几何重数也是2。特征值三对应的代数重数是一，几何重数也是一就所有的代数重数和几何重数都对应的相等，那么这个矩阵它就可以相似的化。一旦有一个特征值的代数整数和几个乘数不相等，那它就不能相似。对角化我说清楚了吧？这是这样一个问题。 好，然后接下来要补充的第三点就是一些等价说法。因为我们说了关于这个矩阵行列式等于0，你看它是有非常多的等价说法，我们在不同章节的说法都不一样是吧？那我们刚开始学好像是就是行列式等于0，那到了学矩阵的时候，我们说既然这样一个矩阵行列式等于零的话，那这个矩阵画行阶梯的时候就一定会有什么？会有零行，对不对？它一定会有零行，这是从矩阵角度去说，或者从这个角度去说，我们就是说这个矩阵它是不满置的，或者说这个矩阵它是不可逆的，是不是？这都是同样的说法，对不对？这是第二章矩阵我们得到的一些说法，当然我没有列在这里你要清楚。 好，到了学向量那个地方，我们是不是有这样一个等价说法。你行列式等于0，那对应的就相当于是A的列向量组，它是线性无关，不是呸呸呸呸A的列向量组它是线性相关的，对不对？A的列向量它是线相关的，是吧？行列式等于0，我们这都说的是方阵，因为只有方阵才谈行列式的概念这是用向量角度去说。我们用方程组的角度去说，是不是对应的就是说AX等于零有非零解，是吧？行列式等于零就等价于X等于零有非零解，是吧？好，所以每个章节都有对应的等价说法。 那用这个矩阵相似这个地方，我们用特征值与特征向量的角度去说，就说A有零特征值。思考一下，因为AX等于0，你要会看啊，这是一个非常重要的观点，就是AX等于零向量。右边这个零向量你完全可以写成实数零乘以X向量是不是？好？那你现在盯着一头一尾看啊，你AX等于0乘X思考一下，AA矩阵乘以X向量等于一个数字乘以X向量，那是不是对应的这个数字零就是它的特征值，这个X向量就是特征值零对应的特征向量。所以AX等于零一写出来你就记住了，这个A矩阵就相当于有零特征值了。这个等价手法一定要能够串的起来，这个柱山是非常重要的，非常非常重要，一定在脑子里面要形成一个清晰的认识，好吧？就这个好，然后注释，希望大家能记住。 就是我们在求解特征值与特征向量这一块，如果说这个矩阵是具体已知的，我们就按照这个步骤走就好了。先求特征值，然后咔咔咔对应的去求特征向量，对不对？但如果是抽象问题，这个矩阵都没有告诉我们，那你不要忘了从定义角度出发是非常常用且有效的。好吧？对于抽象问题，我们求特征值、特征向量很有可能就需要从定义角度入手，这是需要提醒大家的。 然后接下来我们再复习一下关于特征值的相关性质以及特征向量的相关性质。我们先说特征值，增值我们刚才已经说了一条了，就是有代数理论，方程理论。我们知道这样一个N次方程，那它对应的肯定是有N个特征值的，是不是？也就是说任意的N阶矩阵必有N个特征值，好吧，N个负的特征值。 然后第二点就是关于特征值之和以及特征值之积的关系。你记住了特征值之和它等于什么呢？等于矩阵A的G什么叫矩阵的G？矩阵的G就矩阵A的对角线元素之和。你看AII不就是它对角线元素，从一到N，就对角线元素加在一块叫做矩阵的积。好，特征值的和等于这个矩阵的积，特征值的积就特征值的成绩拉姆达1乘以兰姆达N是等于矩阵的行列式的。 至于它的推导过程，因为这里不是基础阶段，我就不会再重复给你推了。基础阶段我们是详细给大家推过的，好吧？这里相信大家已经非常熟练了，这个结论就应该是刻在心里面，我们以后就直接用的东西。然后还是需要提醒大家一点，这个结论是对于任意的方阵都成立的。因为我们后面学了什么这个矩阵相似变换，矩阵相似，很多同学就会把这些性质搞混。这是一个比较底层的性质，它不需要有任何的附加条件，并不需要这个矩阵的相似，对角化什么什么没有这种条件，它的要求非常的低。只要这个矩阵是一个方阵，它就有这样一个性质，懂了吧？其实它是一个非常底层的一个性质，对任意的方阵都满足。 这个要注意。 好，然后我们说到特征向量的相关性质。特征向量第一条性质就是关于同一个特征值底下的特征向量的线性组合问题。设向量X是A矩阵关于特征值拉姆da的特征向量。那你记住了，我把这个X向量乘以一个非零常数乘一个K倍，它仍然是关于特征值拉姆达的特征向量。不仅如此，如果说这个特征值拉姆达它对应的特征向量，假如说有两个有两个，那你记住了，我把这个X1X2向量进行非零的线组合，它仍然是A矩阵。 关于特征值拉姆达的特征向量，这个我就不证了，因为理论都给大家讲过，这也非常简单是吧？总之这条性质就告诉我们告诉我们，如果说你求出来特征值拉姆达的一个特征向量的话，那么它自然就会有无数多个。因为我把它成一个K倍是吧，乘以个K倍，那是不是有无数多个特征向量？所以有一就有无数多个就是特征向量的第一条性质。 我举个具体的例子，就是有个细节问题，很多同学会平常没重视可能会扣分的，希望你注意。比如说解一个矩阵的特征值、特征向量。好，举个具体例子，他上来写出拉姆达一减A的行列式等于0，这时候熟练功非常快，咔咔咔写，然后解出来兰姆达一等于，兰姆达二等于2，兰姆达三等于一好，接着就解特征向量呗，所以就解RE减AX等于0，这就解特征值二对应的特征向量。好，得到特征向量阿尔法一等于什么，阿法二等于什么，然后再减一减AX等于0，就得到特征值一对应的特征向量阿尔法三等于什么什么。好，接着他就说它的特征向量就是这个阿尔法一、阿尔法2、阿尔法3，那这个说法就很有问题，是不是？我们说特征向量你要把它说全的，有一就有无数，这个时候应该怎么去说比较合适？ 我们接下来下结论应该这么去下。我用红色笔重点强调一下，就特征值二对应的特征向量，它应该是K一倍的阿尔法一加上K2倍的阿尔法2，且K1K2不同时为零是吧？因为你要保证这个特征向量不为零，这样一个线组合就表示了特征值二对应的全体特征向量，你一定要把它说全，你不能说它特征向量就是阿尔法一，阿尔法难道它特征向量就是两个吗？显然不是，是不是要把它说完整？ 然后下面就是特征值一对应的特征向量就应该是什么？是不是应该L倍的阿尔法三呢？L不等于0对不对？你要把它说完整，不能够说特征向量就是阿尔法3，这个细节问题大家要注意。 然后你还要和前面那个解方程那个通解要区分开。因为我们知道你在写通解的时候，那解向量是可以为零的，所以我们往往写的就是AK属于任意常数，对不对？但这个地方我们一定要写的是K1K2不同时为零，L不等于0。你发现没？因为特征向量是不能为零向量的哦啊所以这之间是有区别。你不要思维定式一下子就顺着写KK2为任意常数，那就有问题，这个细节要注意。 好，然后接着我们再说，特征向量还有什么性质呢？不同特征值对应的特征向量，它必然是线性无关的。就一个矩阵，它不同的特征值对应的特征向量一定是线性无关的。这个证明过程在基础阶段我们也讲过了，这里我就不再重复了。这过程大家可以自己看一下好吧，过程自己看一下。 好，然后需要注意的是啊需要注意的是我们要和那个实对称矩阵那一块区分开。我们说对于如果说把把这句话搞得再特殊一点，就不是一个一般性的矩阵。这个矩阵是一个实对称矩阵的话，实际上我们很清楚实对称矩阵不同特征值对应的特征向量，它是天然正交的。它就比这个线有关要更特殊，得到的关系要更特殊，懂吗？所以你一定要把这两件事情区分开，就有同学他会认为他后面学了十对称矩阵那个性质之后，他会搞混，他会他说不同特征值对的特征向量它不是正交的吗？是吧？但你这样想就错了，正交是有个前提的，必须要是实对称矩阵，它才有这样一个正交的性质。好吧，不是十六，是旅顺只能够下到线性无关，要注意这两者之间的区别。 就这个问题，这个证明过程我就不证了，就阶段都给大家证过的。相信每个老师都说过是吧？不管你这个阶段跟没跟，我应该都非常清楚，我们这里就不说了。 然后还有一点需要注意的就是。就是我们在讲第一条性质的时候说了，你同一个特征值底下的特征向量，比如说尤其是那种重根的情况，你把底下的特征向量进行非零线组合，得到的组合的结果还是这样一个特征值的特征向量，对不对？好，现在我取另外一种情况，我把这个矩阵两个互异的特征值，两个不同的特征值对应的特征向量进行线组合，注意组合系数均不为零，那么得到了这样一个组合的结果，它还是A矩阵的特征向量吗？那么直接说结果证明过程我也不说了，这几个阶段都讲过的，应该每个老师都说过，是不是？ 假如说它有两个呼应的特征值，就X拉姆达1和拉姆达2不相等。X一对应的是兰姆达A一的特征向量，X2对应是兰姆达A2的特征性。我现在把向量X1，向量X2，把这两个特征向量进行先组合，组合得到了这个结果。注意组合系数均为零，KK2都不等于0，那么组合得到这个东西，它就不再是A矩阵的特征向量了。这个叫什么呢？这个叫这个叫什么？这就叫四不像是吧？你组合出来就是个四不像的玩意儿，懂了吧？ 四不像的玩意儿把不同特征值对应的特征向量进行先组合，组合出来就四不像，它不再是原矩阵的特征向量了，这个性质要注意好吧，一定不是A矩阵的特征向量当然我说了是这个KKL均不为零的情况，那如果其中有一个为零，那毫无疑问，那就相当于把这个特把这样一个X一乘了一个倍数，那还是A的特征向量，这是没毛病的。所以一定要注意这样一个要求是吧？这个组合系数均不为零，那么就一定不是A的特征性了。 好，这是关于特征向量的性质。然后接下来我们要重点说一下这个表格，就是关于A以及和A相关的一些矩阵，它们的特征值、特征向量的一个关系。这个表格我们在这个阶段就讲过，所以大家应该是比较熟悉了。我这里重点强调一下，就是说由A的特征值、特征向量的信息，你去推这后面的，这都是可以推的这都可以推的。那么其中大家注意，前面这几列它们的特征向量都是一样的，只是说特征值不一样。 然后后面到A转制这个地方，A转制大家注意A转制的话，它的特征向量和A的特征向量可是不一样的。好吧，这个要给它区分开，然后就是PDAP就是说和A相似的一个矩阵。那么这样一个矩阵的话，它的特征向量就是P逆X，它和A的特征向量也是不一样的，所以从这里作为一个分界，大家看这个颜色就知道了，前面的特征向量都是和A的是一样的。但我说的这个一样指的是由A去推，他们这是可以推的。 那么现在特别喜欢考的一个问题就是反问题，比如说这些家伙他们的这个特征值特征向量信息，能不能去推出A的特征值特征向量信息呢？这个要重点强调一下，我们说如果这个A矩阵没有任何的没没没有任何的附加的信息的话，那么第二类可以推这个第一列，或者说他们就是相互之间可以互推的，就等价的，但是其他的都是不行的。你比如说我们不知道A可不可逆，你这个AD这一列很明显就不能够去推A了，是吧？AD都有可能不存在，包括这个A的伴随，他也是没办法去倒推这个A的。你比如说举个例子，我举一个这个RA就假设是三阶矩阵，我要取A是3乘3的矩阵，那我让这个A矩阵值为一，那么这个时候其实伴随矩阵就是个零矩阵。那么零矩阵的话就是任意向量都是它的这个特征向量，是这个逻辑吧？啊，任意的三维向量都是它的特征向量，但是你并不能说任意的三维向量都是A的特征向量。因为A矩阵制我显然是做不到这一点的，是这个逻辑所以就是说像这些他就不能够去推A但是如果说给了这个可逆的条件，给了A可逆，或者说A的这个特征值不为零我们知道这样一个信息之后，那么这两列他就可以去推A了，就是说当A可逆的时候，那么这两个家伙和A之间就可以相互推。 好吧，这两列绿色的这两列，这两列这个蓝色的这两列大家注意一下，蓝色的这两列的话，它和A的这个特征值、特征向量的关系一样的。你正常情况下就是一般情况下，比如说A的K次方，它的特征值、特征向量信息，它肯定也是推不到A的。为啥呢？因为你比如说取个我们前面讲到的经典的反例，密林矩阵我就取我写这我就取这个A等于一个0100。那么A的平方就是个零矩阵，那A的平方是个二阶的0矩阵，那任意的二维向量都是A的平方的特征向量。但是你并不能说任意的这个二维向量都是A的特征向量，对不对？所以这个是没办法去推A的，类似的道理FA也是没办法去推A的，这个要注意好吧。但是如果说我们给了个限制，我们说这个A可逆的话，加了A可逆这样一个限制之后，那么你这两个家伙也是和A之间可以互推的，好吧？这个要注意一下，它也是个和A之间特征向量的关系，可以互推，需要加可逆这样一个限制好吧。 然后还有就是我们说由这个FA等于0，你能够得到一个特征值的信息，就是A矩阵的特征值就满足F拉姆达等于0。但是我们这个F拉姆达解除，比如说F拉姆达等于0，你可能解出来就是拉姆达等于。比如说假设是正-2，那么并不代表说这个二和负二都能够作为特征值，它只是在这个特征值的这个池子里面可供选择。就特征值它肯定是要么是二要么是负，这是没毛病的。但至于有多少个多少个-2，你是不清楚的那也有可能我们解出来就是拉姆达就全部为二，全为二，拉姆达等于-2，根本就不是它的分值，这也是有可能的。所以这个一定要想清楚，就是我们由这个玩意儿解出来的拉姆达，我们由它解出来了，那并不一定都是我们的特征值，好吧？只是说作为。 一个特征值的待选。 这个道理要懂。好，然后还有一个注意事项，就是如果说我们的N阶方阵A，它的特征多项式长这个样子，那么和这个特征多项式一模一样形式的，就把拉姆达替换成矩阵，得到一个这样的矩阵多项式。这能看懂吧？就把这个特征多项式当中的拉姆达全都换成A，那最后一个常数项没有拉姆达怎么办？那就相当于拉姆达的0次方，那相当于A的0次方。A的0次方，我们记它的等于一个单位整，记它等于单位整。所以最后一项注意一下，就替换成这个，你不可能说这里挂一个常数，在这里矩阵和数字它是没办法相加的，所以这个常数项就替换成A01这个道理。那么把这个形式完全替换过来之后，你会发现这个式子一定等于一个零矩阵。 好吧？这是个结论，大家可以把它记住，这个结论可以记住在一些特殊的题目当中，在一些比较小众的场景上，你可以直接套用它。好吧？就这个问题OK. 这是。 这一块的支点部分。然后我们接下来看到三道例题，这三道例题非常经典。第一道是就是你要会运用这个特征值特征向量的信息是吧？然后第二道也是类似的，第三道特殊一点，第三道也是一道比较有预测性的题目，这个例三它是比较有预测性。因为真题现在考过，他就考的比较浅了，考了一个问题，就是由这些和A相关的矩阵，它的特征向量信息怎么能不能去推出A的特征向量信息，那么这道题就综合性比较强了。 好吧，我们依次来看，先看一下例一例一怎么处理。我们可以这样，就是说你是三阶的实质性矩阵，然后主调现在都是零是吧？然后又给了一个特征值特征向量的信息，我们怎么去把这个A给求出来。这里面学过基础课的同学可能会想，我去求这个A是不是应该把它的特征值、特征向量都给它找出来，是不是都应该把它特征值、特征向量找出来？因为你看啊它是使对称矩阵，然后又给了一个特征值、特征向量信息。那是不是可以利用不同特征值底下的特征向量之间天然正交去处理呢？从而利用这个增加的特征，把其他特征值的特征向量也给它求出来。可能有的同学会往这个思路去想，那么你会出现一个问题，就是你其他特征值你都。 不知道是什么。 你去想一下是不是这个道理？你只知道这个特征值是2，但你求不出其他的特征值，因为主对角线元素是这个条件不太好用。所以这道题实际上想考的不是这个点，并不是把这个A的特征值特征向量都给它搂出来，然后再利用这个再利用A等于P角P逆去处理，并不是这样的。 实际上我们可以这么求，我们可以设A等于。因为它是对称，所以这里面有三个未知的元素好了。然后又根据这样一个特征值特征向量的信息，所以我们就可以得到这个A矩阵。去乘以这样一个向量，阿尔法向量就是12-1，然后就等于两倍的这个12-1，实际上也就是一个阿斯夫。那么你去看就是它乘以它得到它是不是可以得到三个方程，我们就可以利用这三个方程，去把这个小A小B小C都求解出来。然后我们就可以得到，比如说第一个方程很明显就是2A减B等于2，然后接着就是A减C等于4，然后第222B加2C等于-2。那么由此我们解出ABCA等于2，B等于2，C等于-2，从而就可以把A矩阵给求出来，这是我们的第一。可以这么去操作，大家不要陷入一个思维定式，好吧？ 然后我们接着看一下利亚，利亚说的是AB均为三阶矩阵，然后A的特征值告诉我们，然后给出这样一个信息，让我们求A加B的G这个怎么去考虑？这里面首先可以这样，大家想一想，你这里面我问你这个是给出来，我是不是能想办法用A矩阵去把B矩阵给表示出来，这个可以做到吧？我B肯定能表示成一个FA的形式。 好，B既然表示成FA了，那么你这里面实际上它就是要求一个就相当于是A加上FA的一个G那这说白了这不还是可以理解成一个GA，就是关于A矩阵的一个多项式矩阵，这可以理解吧。那么它的G我就可以利用什么？利用这个GA的这个特征值去处理。因为矩阵的G我们前面才讲的性质等于特征值的和，对不对？所以我就可以把这个GA的特征值找出来就行。那J的特征值是不是又可以归到A的特征值？所以这整道题就串在一起了，我们就可以用这个思路来处理，懂吗？ 好，你看这里面这里面我们写一下，由于A的特征值是这么多，我我我我往下写，A的增值是02分之1这个3分之1。那我问你这个一减A的特征值，我是不是知道对不对？一减A的吞值我肯定知道一减A的特征值就是一，然后这是2分之1，然后这3分之2。所以很明显一减A的三个特征值它都是非零的，看到没有？因此你就清楚一减AR它可逆，懂不懂？所以这里面我们这个B矩阵是非常好顺利的表示出来的。 我们说这种矩阵方程，如果说这个一减A可逆的话，我是不是两边又乘一减A的逆就可以把它给搞掉，我们这里就只剩这个B了，对不对？所以我们就可以怎么去处理呢？我们就可以由这个式子，然后我写一下就可以得到B等于。 这个右乘。 一减A的力，对不对？好了，那你注意，我说了这个形式就可以理解为B等于FA。所以我实际上这个B矩阵的特征值我现在就知道了，你就是把FA换成对应的F拉姆达，这就是B矩阵的特征值。所以这个形是什么你要会写我继续往下补充这个表格，好吧，我继续往下补充这个表格，这个会补充，就是A乘以一减A的力，它对应的特征值就应该长什么样。我写着它就应该是对应的就是兰姆达乘以乘以这个一减兰姆达的负1次方，就是完全把A矩阵替换成兰姆达，单位阵替换成一，这就是B矩阵对应的特征值。那你带进来算，比如说拉姆达取一的时候，不是说错了。比如说这个特征值取0的时候，A矩阵特征值取0的时候，拉姆达A等于0的时候代进来，这很明显对应的是什么？ 这是零。 然后拉姆达等于2分之1的时候带进来，就是2分之1乘以后面的2分之1的负1次方，很明显就等于一。拉姆达等于3分之1的时候带进来，这就是3分之1乘以这个3分之2的负1次方，就是3分之1乘以2分之3约掉就等于2分之1，所以这里就是2分之1。这就是B矩阵的三个特征值，我们就求出来了。 好了，B矩阵的三个特征值求出来。那如果在这个F在在这个B矩阵也就是FA的基础上再加个A，再加个A，那特征值就是再再继续相加，是吧？所以就是说你这个A加上B也就是A加上A乘以一减A的力，它的特殊值无非就是在这个基础上再加上A的增值而已。所以特征值对应的会变成多少？对应的会变成这个02分之3，2分之1加3分之1，6分之5，总的逻辑。所以你接下来你要求这个矩阵的积，也就是求它的特征值的和，你就把它加在一起。三个加在一起，它就等于这个3分之7，就等于这个3分之7就结束了，这是照体好吧。就考察一个特征值特征向量的对应关系。 然后第三就是我们前面刚才才讲的那个问题，如何由这些A的相关的矩阵的特征向量信息去推A的特征向量信息呢？是不是？首先A的3次方这个肯定是推不出来的。我们刚才才举了例子，你比如说圈一的话，我们取这个A等于010是不是？它就是一个典型的命令矩阵，它的A的3次方它就是等于零的。那么任意的三维向量都是它的特征向量，但是你不能说任意三维向量都是A的特征向量，所以圈一是不对的，圈二是对的。 就是这个KA加BE这个形如这种结构，只要这个K不等于0，那么它的特征值、特征向量信息它是可以和A之间是互推的，它是给互推A的这个特征值特征向量的信息的。好吧，所以圈二它肯定是对的。然后圈3，圈三这个也不对，刚刚才就说过了，圈三也不对当A可逆的时候圈三才对，好吧？好，圈四圈四不对，这个A转制它和A的特征向量本来就是不一样的，它它是不一样的好吧，所以圈4不对。因此这道题真正对的只有一个，就选我们的A选项，就是我们的例三好吧？ 是这个问题。那么关于特征值特征向量这一块，基本上就觉得我们该讲的也都讲了。这里主要是把一些题目综合性弄得更强一点。那么大家在处理这种综合性问题的时候，就要能够融会贯通的运用这些性质。好吧，就这个问题我们就说到这。 （内容由AI生成）