这唯一矩阵专题实际上我们在前面就总结过这唯一矩阵的部分结论。只不过现在学了特征值与特征向量，我们需要做进一步的补充完善。那么接下来在讲这个结论的时候，可能有一部分前面都已经提到过，甚至提到过很多次了也希望大家耐心点，相当于做一个复习和梳理好吧。
	我们说矩阵A如果说值等于一，那么这样一个矩阵它一定可以分解为一个列向量和一个行向量的乘积，就可以分解成一列成一行的形式。这句话是等价的。你也可以倒过来说，如果这个A矩阵它它的每一列成比例，那么你也能把它分成这种列向量与行向量的乘积的形式，只要这个A矩阵它不是零矩阵，这个时候我们也能够下结论它的值是等于一的，是吧？这一点大家务必要清楚这里面有个小错误，这下标打错了，这应该是B1、B2、B3。这大家应该很清楚，就A矩阵它第一列就可以，第一列就可以理解成A1、A2、A3乘以B一是吧？第二列我就可以理解成A1、A2、A3乘以B2，第三列可以理解成A1、A2、A3乘以B3。所以我就可以把它分解成这样一列乘一行的形式，这是这唯一矩阵第一个特点。
	比如说我们这里举个例子，A矩阵如果长这样，你会不会分解呢？你发现这个第一列就好比是一个123乘以2，第二列就是第二列都是零，那是什么东西啊不要忘了0，我们可以看成123乘以0，第三列就是123乘以1，所以这样一个矩阵就可以分解成这样一个123这个列乘以这样一行。懂了没有？这种分解方法大家要非常熟练。
	就这个问题，我们接下来再说它的第二条结论，也就是这里的结论，括号一这样一个置位一矩阵，它的G也就是对角线元素之和。你看一下什么东西，来来来，我们一起看一下，你发现没有？它的这个G是这玩意儿，也就是A一比1加上A2比2，加上A3比3。你想一下这三个东西相加是不是正好对应着这两个向量的内积？这两个向量的内积也是A1比1，A2比2，A3比3。发现没有？所以这个矩阵的G对角线元素之和就等于你分解出来的这两个向量的内积。所以可以写成这种形式或者这种形式。
	我们现在就把这个东西可以记为一个数，叫L。我们待会儿还会说，那么利用这个数L利用这样一个东西我们去求解。这样是唯一矩阵的高次幂就会来的非常的轻松，你会发现A的平方就等于LA为什么？
	证明一下A的平方为什么等于LA？因为你看A我们可以分解为阿尔法乘以贝塔转。好，那么A的平方就等于这两个相乘。好，你看清楚了，这中间这个贝塔转和阿尔法合在一起的话，那就有意思了，它就能够摩擦出火花。
	这东西这相当于是一行乘以列，这是个数，懂不懂？这是个数。所以乘出来这个数不是别的，就是这个相当于矩阵的积是吧？
	我们把它如果记为一个数字L的话，为了书写的方便，把它记为L那么这个L往前提它就等于这个东西是吧？所以我们就可以把它写成一个LA因为这玩意儿就是A，所以你发现A方等于LA然后一直这样下去一直这样下去，你根据这个规律就能得到A的N次方等于LN减1次方乘以A为什么？这个道理应该是显然的。
	我这里在右边给大家证一下，我们现在已经有A方等于LA了，你去推A的N次方，那好说，A的N次方我理解成A的N减1次方乘以这个，抱歉，我们把它写成一个A的N减2次方乘以A的平方，对不对？这个A的平方我首先就把它干成一个LA所以就把它干成L倍的AN减2次方乘以A然后进一步，那你们这个次数不就降下来吗？变成A的N减1次方了吗？我再次把它写成A的N减3次方乘以A的平方，这个平方又继续把它干成一个LA所以这样次数就慢慢的下降，这个L的次数慢慢的增加，最后就得到L的N减1次方乘以A这是他的一个证明过程。
	好吧，就这样一个结论。大家也要清楚，实际上这些我们前面都说过。现在有了特征值与特征向量之后，我们再来说一下这样一个值为一矩阵，它的特征值一个就是矩阵的G其余的就是0。
	为啥呢？我们在上一节课例题二是不是跟大家讲过？首先它为什么有N减一个0？这个我们是可以理解的，因为它这个是唯一矩阵。那么这个我写在右边就AX等于0，它肯定就是说有N减一个线性Y的解向量，这N减一个线性无关解向量。这N减一个线性无关解向量不是别的，就对应的是零特征值底下的特征向量。
	换言之A矩阵的零特征值，A矩阵对应拉姆达等于0，底下的线性无关特征向量就是有N减一个或者说拉姆达等于零的几何重数。几何重数这个P是不是就等于N减1？那我们知道几何重数是小于等于代数重数的，所以你这个零确认值是不是至少有N减一重，因此它至少有N减一个。
	那另外一个是什么呢？一共N个根，现在有已经有N减一个零了。另外一个是什么呢？那肯定就是矩阵的G。因为你要知道所有的特征值加在一起是等于矩阵的计量，这特征值的性质是不是特征值的和等于矩阵的积，特征值的乘积等于矩阵的行列式，所以另外一个自然就是矩阵的积了，因此是唯一矩阵，他的特征值分布一定是长这个样子的，一定是长这个样子。
	然后后面这个括号涉及到一个矩阵相似对角化问题，这里也可以简单和大家说一下，虽然我们相最小化是放在后面的小节，但没有关系。因为我们上节课讲特征值、特征向量，已经和大家详细解释过什么叫做几何重数，什么叫代数重数了。有了这样一个概念之后，就可以跟大家说了。当这个G不等于0的时候，我问你这个特征值和0特征值是不是两码事？它是不同的特征值。所以在这种情况下，你注意A矩阵他的特征值分布就是这样两种情况，一个是这个G一个是0。
	那我现在再问你一个问题，这两个不同的特征值，它对应的代数重数、几何重数是个什么样的特点呢？是个什么样的特点呢？是不是这样的？我们把代数重数K写在这，几何重数P写在这，那么对应这里填什么？因为它是个单根，看到没？所以它的代数重数就是一。
	下面这个零特征值是N减一重根，所以它的代数重数就是N减1。然后几何重数填什么呢？思考一下，很显然我们知道一重根，它的这个几何重数就只能是一。因为你要知道几何重数它小等于代数重数。又因为这个东西它一定是有一个非零解的，它一定是有个对应特征向量的，所以的话这里几何重数也是一。
	下面这个几何重数是什么呢？我们说了零特征值对应的特征向量不是别的，就是AX等于零的非零解。现在这个A矩阵值为一的话，你说X等于0，它有多少个线性关解向量，是不是N减一个，对吧？所以它对应的这个几何重数就是N减1。
	那么你注意了，像这种几何重数和代数重数完全相等的情况。对于所有特征值，几何重数都等于代数重数。那么这样的矩阵它就可以相似对角化，它就可以相似对角化，因此能够推到A相似于对角，但下面这种情况就不可以，为什么下面这种情况不可以呢？
	你思考一下，为什么下面这种情况就不可以？我们也同样画个表来分析一下。如果说矩阵的G等于0的话，那也就意味着它现在全部都是零特征值，是吧？也就是说这个A矩阵它只有零特征值，只有零特征值。好，只有零特征值。
	那你想一下这样一个特征值，这样一个零特征值，它的这个代数重数几何重数是什么样子呢？你全部都是零特征值，那这个代数重数自然就是N。那么它的几何重数P等于什么呢？你别忘了A的值是等于一，那么X等于0。它只有N减一个线性无关的解向量。这N减一个线性关节向量就是对应零特征值的特征向量。所以它只有什么？只有N减一个线性无关的特征向量，这个P就等于N减1。现在K和P不相等，你看到没？
	几何重数不等于代数重数，那么它一定就不能相似变化。注意了它就推出来，不相似于对角。所以这个括号我也给大家解释清楚了，好吧？你要清楚以后碰到这位矩阵，我们一眼就可以看出来它能不能相似的话，你就看这个GA是不是等于0。如果等于零就不能，如果不等于零它就可以相似。对，角化好吧，这个可以先了解。
	除了这个结论之外，我们还要知道一点，就是这些特征值对应的特征向量是什么东西呢？特征值零的好处，零特征值对应的特征向量就是X等于零的非零解，是这个道理吧？好，这样一个特殊的特征值，这个矩阵的G对应的特征向量，我说也能够直接写出来，我们来推一下为什么这个G对应的特征向量是这个阿尔法呢？这个推导过程我就写在下边，你可以要不然写左边也行，我写这儿，你做好笔记。
	想一想A矩阵既然我们把它分解为了这个阿尔法乘以贝塔转是吧？那你想一下A矩阵这个阿尔法乘以贝塔转它如果去乘以阿尔法向量，你会得到一个什么结果，你告诉我。是不是可以理解为先算这一块，这一块是个数，这个数不是别的，就是矩阵的G对不对？所以我先把这个数算出来，算出来矩阵的G这个数字往前提，因此它就等于TRI乘以还留下一个什么？是不是只留下一个阿尔法是吧？乘一个阿尔法，所以你现在看懂没有，这样一个矩阵乘以这样一个向量，等于这样一个数字乘以这样一个向量，那不就是得到这个阿尔法向量就是对应这样一个特征值的特征向量吗？看到没有？阿尔法向量就是对应这样一个特征值的特征向量。
	所以为什么说特征值TRA对应的特征向量就是阿尔法呢？就这个道理。所以以后这唯一矩阵，它的特征向量你是直接可以写出来的，懂了吧？就会了。所以这唯一矩阵它它非常好啊，它这个特征值能够直接写出来，特征向量也可以能够直接写出来，不需要你做过多的计算。
	好，说完了这些性质之后，我们再来通过几道题目小试牛刀一反。当然这里是里面的例题，因为我这是个总结性的消息，并不一定都是和特征值特征向量相关的内容。有可能和前面这个矩阵的N次幂这个一矩阵去求逆矩阵这样相关的问题，我们系统性的梳理一遍好吧？
	先看一下例，设阿尔法等于这个贝塔等于这两个列向量。然后说A矩阵等于阿尔法乘以贝塔转让。你求A的N次方是大笔一挥，A的N次方等于什么？A的N次方是不是等于L的N减1次方乘以A，这个L指的就是矩阵的G矩阵的G指的就是这两个向量的内积？所以它就等于贝塔转乘以阿尔法，就等于这个内积的N减1次方乘以A是吧？这我就不再详细给大家写证明过程了，因为前面都已经给大家证过了，是不是这个道理，都听过很多遍了，所以我就直接写。
	这个内积就是对应元素，对应的这个分量相乘相加。所以就是一乘一加上2乘以2分之1，加上3乘以3分之1，很明显就等于3。因此是三的N减1次方乘以这个A这个A你当然要把它写出来，你千万不能忘了。
	最后因为是这个填空题，你要把最后的答案写出来，所以它等于3的N减1次方乘以A矩阵。这个A矩阵是个什么东西？要会要会写，阿尔法乘以贝塔转的话，阿尔法乘以贝塔转我们把它写出来，我写右边或者我就直接在这写阿尔法乘以贝塔转，就是123去乘这样一列乘以一行一二分之1，3分之1对不对？所以我们老师把它写出来，就是三的N减1次方乘以一个这样的矩阵，第一列乘以一，然后这一列乘以2分之1乘以3分之1分别填在这是吧？所以得到的结果就是123、2分之1、一二分之3，然后是3分之13分之二一，所以这就是最后的答案，这是第一小问，求一个N次幂的问题。
	我们再看第二小问，涉及到一个求逆矩阵的问题，求逆矩阵的问题这里大家注意，这种题其实非常套路化，只要涉及到这种阿尔法贝塔转这种智慧一矩阵，这两个向量相乘的这种形式，往往一个非常有效的化简处理手段，就是你去让这一块进行平方。因此这道题拿到手之后，你可以这样处理，你可以直接让E加上阿尔法贝塔转，也就是A，直接把这个A矩阵给它打平方处理。因为打平方的时候就会出现这种平方的形式，或者你也可以这样去处理，就是我单独把它变形整理一下，就是把它转化成A减1，等于阿尔法乘以贝塔转。然后我就得到A减一的平方，它是不是等于阿尔法转制贝塔这样一个数乘以A减1。
	思考一下，因为现在A减一就等于一个质为一矩阵了，我们知道这个一矩阵的性质就是这个矩阵的平方是等于L倍的，它自己是吧？这个L不是别的，就是这两个向量的那一级。那么接着你由这个或者这个都化简都可以都可以把这道题给弄出来。你比如说我就从这里，从这里那就得到，跟着我思路走，把它打开，就是A方减去2，A加上一个E呗。右边那这个数是二是吧？是二，所以它就等于两倍的A减1，2倍的A减1。那接着把这个式进一步整理，你是不是得到A方减去四倍的A等于一个？我看一下，是不是等于一个-3E。
	由这个式子去推A肯定你会不会是不是根据逆矩阵的定义我们就可以得到，进一步就有，我写右边就是A乘以一个，把这个负三给我除过来，因此它就等于负三分之，负三分之A减去4E相当于把它拆成这两块，是吧？然后它就等于一个一。因此根据力矩阵的定义，我们知道A是可逆的，并且这个A力就等于这玩意儿。能看到吗？A力就等于这玩意儿。所以我们进一步下结论，A可逆，且A逆等于这个A减去41除以-3，我们甚至还可以把这个A矩阵给它带进来。所以就等于你想一下，一加上阿尔法贝塔转减去4亿，那不就是阿尔法贝塔转减去3E，是吧？除以-3，所以它等于E减去3分之1的阿尔法贝塔转，我们就可以把它算出来，这是这个问题，我们可以这么做，这就是利用逆矩阵的定义我们去分析，也就是我们前面第二章学过的方法，是不是这样。
	除此之外，这道题还有没有其他思路呢？我们现在学了特征值与特征向量，实际上我们可以从特征值的角度入手去分析。你想一想A可逆实际上就说明它的特征值是不含零的。我们说只要含有零特征值，这个矩阵它就是不可逆的。只要这个矩阵没有零特征值，它就一定是可逆的。因为没有零特征值的时候，行列式就不等于0。所以我们可以从这个角度去分析，大家以后记住了就是探讨可逆，我们可以用特征值的语言去处理，所以这道题法二我们还可以这么做。
	这样一个值唯一矩阵就是阿尔法乘以贝塔转这样一个值唯一矩阵，它的特征值是什么呢？是不是有一个这个矩阵的G，这个矩阵的G就等于这个向量的内积，所以有一个是二，其余的就都是零了，是吧？其余的都是011共有多少个0？因为这是N维向量，所以它对应的是个N阶的方阵，这里面就是N减一个0，对吧？这就是它特征值的分布。
	那么有了阿尔法贝塔转特征值的分布，那么一加上阿尔法贝塔转你清不清楚？是不是非常清晰？所以一加上阿尔法贝塔转，它的特征值分布就根据那个表格，立马就可以得到，就是三这个零就都变成了一，所以同样是N减一个，所以你看到没，它现在的特征值全部都不等于0，是不是意味着它的行列式不等于0，是不是意味着它可逆？所以这个可逆我们还可以从这个角度去分析。当然你求这个逆矩阵，那没办法，那我们还是得按照刚才的思路，用那个定义法去求这个逆矩阵。因为这是个抽象问题是吧？但是我们判断它可逆是完全可以用特征值的角度去判断的，这个会方便非常多，好吧？就这个问题需要给大家解释清楚。
	然后我们接着来看类型3，就是这唯一矩阵的特征值、特征向量。这里面核心就是要学会利用前面讲过的结论。你比如说这个例三给出这样两个矩阵，让我们求AB的特征值、特征向量，如何求解比较方便呢？是不是拿着拉姆达一减A行列式等于零去求A的特征值，然后对应的解方程去解它的特征向量呢？那绝对不是的那这样的话就慢了，我们很容易识别。
	你会发现这个A矩阵，它每列是成比例的，246、123、369是不是？这就很经典的智维矩阵，你这个A矩阵很容易可以分解为一列乘以一行的形式，当然这个分解方式不唯一，比如说分解为123乘以213，当然你也可以比如说分解为这个246乘以这个一二分之1、2分之3，这都可以。分解方式有无数种，这个不唯一的你比如说就用这种？这经典的这位矩阵，当然熟练了以后你也不用去写这个分解过程，这个分解过程放在心里面就可以了。
	熟练了之后我们就直接就怎么样A拿到A矩阵，这很明显是等于一。所以它的特征值是什么？A矩阵的特征值告诉我是不是三个家伙，一个是他的G另外两个就是零。那么很明显，这个矩阵的积对角线元素之和2加2加9就是13吗？好，所以它的特征值我们就出来了，就是一个十三挂着两个零，这是它的特征值信息。
	接着求解特征向量也好说，根据前面讲的知识，你这样一个矩阵的记忆，这个十三对应的特征向量是多少是多少，是不是就是这个列向量对吧？实际上这个列向量就取自A的这个列。我跟你说，这三列成比例，你取哪一列都行。懂了，不一定非要娶这个123作为特征向量，你取246行不行，取369行不行？都行。就是A矩阵，这个是唯一矩阵的，这个A矩阵其中任选一列都可以作为这样一个的特征向量，懂吧？所以这个特征向量我们就求出来就是123，当然你可以可以加个K倍，这个K不等于零即可，是不是？这就可以作为它的这个特征向量。
	那特征值零对的特征向量怎么办呢？那你就老老实实解方程，我就去求解。因为特征值零对的特征向量实际上就是要去解什么？解AX等于0，而这个矩阵又是这唯一的。我们知道它三行成比例，所以你AX等于零很明显，我就可以把这个A化成一个行行最简的形式，或者说这里面行最简可能还不太合适，我们就把它画成一个行阶梯，那就是213，然后000。当然你化成行最简也行，这个无所谓，就是第一行变成一二分之12分之三是吧？我就换成行最简这就是行最简。那接着你解这玩意儿，两个方程你还不会解吗？很熟练了，我们就很容易解出两个技术解析这个X2X31001付值很容易求解出来。比如说一零赋值的时候，前面这个空填什么，然后零一赋值的时候这个空又填什么，这应该清楚，是不是取它的的相反数以及它的相反数，我们填过来就是负的2分之1，负的2分之3，这样我们就解出了特征是零对应的两个线性无关的特征向量。
	那么这道题要注意一个细节，我们要求特征值零对应的特征向量，你要表示出这个全体的特征向量。这个规范的描述是这样的，我们规范的描述绝对是这个样子的，是什么呢？就是说K一倍的这玩意儿加上K二倍的这玩意儿，且K1K2不同时为零。因为你要确保这玩意儿非零才能称为特征向量吗？零向量怎么能作为特征向量呢？所以一定要带上这句话，它和解方程组织的通解不一样。我们说发展组织的通解是不需要这句话的，发展组织通解只需要强调KKR为任意常数就可以了，但特征向量必须要加上这句话，好吧，注意下这样一个细节问题。
	好，那么到此我们就解除了矩阵A的特征值以及对应特征值的特征向量。好吧，就这个问题就这个问题必须要熟练好了。然后我们接着再看，接着再看矩阵B它的特征值特征向量又怎么求。有同学会说你这个矩阵B看起来它不是一个周围矩阵来。你比如说很明显我取这样一个二阶子式，我去算一下，很明显它就不等于0，它至少都是比二要大的。它怎么会是个周围矩阵？但是大家注意有一类矩阵，它和周围矩阵联系是非常紧密的，它的特征值、特征向量同样可以快速的处理。你发现没有？这题当中我写右边，我写右边，你发现没有？
	这个B矩阵完全可以表示成什么？完全可以表示成A矩阵加上一个一，它和A矩阵的区别就是对角线这里不一样，其他位置一模一样。对角线这里是29，这里是30是不是多了一？所以B矩阵就等于A加E这个一定要观察出来。
	那么观察出来之后，我问你，根据我们前面讲的特征值、特征向量的关系，我这个B矩阵A加1，这个家伙它和A的特征值、特征向量是不是非常紧密的联系？A的特征值如果是拉姆达，那么A加一的特征值就是拉姆达加1。A的特征向量对应的比如说是X那么A加一的特征向量也是X是不是这样的？
	所以我让你求B矩阵的特征值特征项，你说好不好求，当然是好求的，我就直接怎么样，我直接偷过来。你看A的特征值不是13 00吗？我就在这个基础上加个一，那就B矩阵的这个B矩阵的特征值我写在它的正下方，那就对应的变成14 11。看到了没有？直接加个一就完了。那特征向量14这个特征值对应的特征向量就直接从A这里特征向量直接偷过来。懂了没有？
	这个特征值一对应的特征向量，对吧？就是说B矩阵特征值一对应的特征向量，它对应的就是A矩阵特征值为零的特征向量。所以直接把这个特征向量给它偷过来就可以了，懂了没有？所以你像这个至微矩阵，它真的是非常好用的。大家一定要养成这样一个能力，要学会去观察这种质为矩阵的信息。
	如果说这道题的这个B矩阵，你老老实实拉姆达一减B行列式等于零去求特征值，然后对应的解方程去求特征项，那你这个计算量会很大。所以一定要一定要留意，好吧，一定要留意，就这个问题好，解决了这样一个母题之后，接下来我们搞两道综合性稍强一点的题目，就例4例5。这两道题考察的侧重点不一样，例四它考察的是这个至微矩阵的特征值，例五主要是考察特征向量。好吧，我们挨个看一下。
	我们先来看一下这个例子，它给了一个这样的三阶矩阵，A当中含有参数小A比方说阿尔法是三维的列向量，B等于阿尔法，阿尔法转，那这个B据线就有说法，对不对？我们至少知道它每列是成比例的，但是这里面没有告诉我们阿尔法向量是什么，所以我暂时还不清楚这个B矩阵具体的情况。好，继续往下看，然后说AB加上A它的值等于2，让我们去求解参数小A你会想到怎么去处理，那核心就是要把这个条件和这个条件要利用好啊，大家注意，这里面阿尔法向量它是未知的问题，麻烦在这儿。所以实际上这个B矩阵这个B矩阵它是用来迷惑你的。你像这个条件，像这个质的条件，我们完全可以把它变形一下，把它变形成一个A乘以B加E的值等于2，懂吗？那么这个B加一是个什么情况呢？
	我们可以去分析一下，我们是可以利用它的特征值信息来反映它的行列式，从而去反映它的质的情况。想一下我们这个B值，你既然是阿尔法转的话，我们就很清楚它的特征值。阿尔法转阿尔法是一个，还有就是两个零。那么根据特征值特征向量的性质，我们知道一加1，它对应的特征值就是什么呢？它就会变成阿尔法转阿尔法加一，然后挂两个一。
	就他三个特征值，这里面大家注意了，我们说阿尔法转阿尔法是什么？是阿尔法这个向量与自身做内积集，它是始终大于等于零的这玩意儿始终大于等于0，这个细节一定要注意。所以你这下面这三个特征值是不是都是正数？既然你这三个特征值都是正数的话，那好说了。那你这三个特征值如果相乘得行列式，是吧？你这三个特征值相乘的话，它就肯定就是大于零的。所以我得到一加一的行列式，它等于这三个特征，只是相乘的它就一定是大于零的那进而我们就知道，这个B加一它肯定是可逆的，是不是这个逻辑？
	好，B加一可逆的话，那这整个A乘以这一坨的值是不是其实就是等于A的值。因为我们知道在一个矩阵基础之上又呈可逆阵，不改变它的值，它的值会等于2A所以这个条件我们进一步就可以退化成RA等于2。所以你看我说了这玩意儿，这个B矩阵就是来忽悠你的，就看你对这个特征值特征向量这一块的性质熟不熟练。
	好了，我们得到这个RA等于2之后，我就可以利用这个A的行列式等于0，去把这个参数小A给求解出来，是吧？这个就大家自己去算一下，我就由这个A的行列式等于零就可以推得推出这个参数。小A它是等于13的，这就是我们的类似，所以这一块一定要熟练。
	然后这里补充说明一下，你像这道题它有一点比较特殊的是什么？是这个阿尔法向量，我们并不知道它是不是零向量，它也可能是零向量的。所以我需要跟大家强调的是，这里面B矩阵你不能说它是个周围矩阵，你只能判断它的质，这个B矩阵的质，因为它这个写法一写出来，它对应的每列成比例，所以这个B矩阵的值，它肯定是小于等于一的，它要么为一要么为零。你比如说这个阿尔法如果是个零向量的话，他如果是个零向量，那不好意思，那你就乘出来实际上是个零矩阵，这个细节要注意一下好吧。但是只要它是这个写法，我们就能得到它这个特征值的信息，这是没毛病的好吧，就这个问题好了。
	然后我们再往下看啊，就是说例五第五就考察一个特征向量的性质。你看这里面阿尔法贝塔向量给我们了，然后A矩阵写成这个形式。那一看到这个贝塔阿尔法转，你就知道是吧？这是个很经典，是唯一举证。很经典的周维矩阵。
	那我们就可以去分析一下，首先这个贝塔阿尔法转它的三个特征值是什么呢？其中一个就是贝塔转阿尔法，还有两个就是零，对不对？那你去在右边在草纸上偷偷的把这个贝塔转阿法给求一下。就这两个向量的内积，1乘以0加上-3乘以1加上2乘以负一等于多少？等于-5，求出来它等于负五好吧？所以这是它的三个特征值，这三个特征值。
	那A矩阵呢？A矩阵是什么？A矩阵是两倍的贝塔阿尔法转加上七倍的E总之根据特征值特征向量的对应表格关系，我们是不是很清楚了你对应的A矩阵，他的特征值我们也能写出来。比如说这个是不是两倍的负五加上一个七，也就是负三是吧？后面的很明显就是两个七，这是A矩阵的特征值的信息。那么A矩阵最小的特征值是哪一个？是不是这个负三呢？好，现在问你A矩阵最小的特征值对应的特征向量，那根据这个对应关系你要理清楚了，A矩阵对应的负三这个特征值的特征向量实际上还回去就是这个矩阵对应的负的特征向量是不是这个逻辑。
	好，那么这个矩阵-5对应的特征向量，我们是不是讲过这个矩阵的G对应的那个特征向量是不是其实就是什么？取的前面这一列就是贝塔，这个你要能转得过弯来，我们前面说的是阿尔法，贝塔转，它的那个矩阵的G对应的特征向量是阿尔法，取的是前面这个，你不能说换个字母，换成贝塔阿尔法转你就看不懂了，这个能反应过来，所以写成贝塔阿尔法转这个形式的话，那么这个特征值对应的特征向量取的就是前面这个贝塔。所以这道题就选我们的B选项，懂这个逻辑没有？所以这道题本质上它还是考察这个特征值与特征向量的一个性质。好吧？
	OK关于这位矩阵我们暂时说到这里，就关于这位矩阵这几种常见的考法，大家要理解。因为这玩意儿你说单独出题的可能性其实不大的，它往往是融合在这个选择填空或者说大题当中的一部分，总之你要对这些性质的运用要非常熟练，好吧？就这个问题。

（内容由AI生成）