Hello, 大家好，我是没咋了。这课我们来学习现代强化的3.3小节矩阵相似角化。这个小节在考研当中是比较重要的，它既可以出小题又可以出大题，并且这个考评还非常的高。而且我们知道矩阵相似角化，也就是A相似于对角问题。它常常会作为A相似于B问题的一个桥梁，就以这个对角阵作为一个桥梁。所以你看既可以单独命题，又可以为这个A相似于病问题而服务。所以它的重要性是不言而喻的，大家务必要把它搞懂，好吧？ 接下来我们先回顾一下相关概念。我希望哪怕是基础比较好的同学，你在回顾概念的时候，尽量不要跳过，因为这不会花费你太多的时间，你跟着听一遍，把这个支点梳理的更顺一点，好吧，这个是没有关系的。我们先回顾一下相关的，比如说定义，以及矩阵相最小化的常用结论。我们先说到定义，假如说A它是一个N阶矩阵的话，那么我们把它的特征值特征向量的定义式给写出来。其实矩阵相最小化就是由这个特征值、特征向量而引入的。好，把这个特征值、特征向量的定义式写出来之后，那你想这里面就得到A阿尔法一等于兰姆达，一阿尔法一，A阿尔法二等于兰姆达2，阿尔法一直到A阿尔法N等于兰姆达N阿尔法N那么我是不是可以得到这样一个式子，就是说我把这个AR法一，AR法2一直到这个A阿尔法N我给它拼起来，我是不是得到对应的拉姆达一阿尔法一，拉姆达2阿尔法2，一直到这个拉姆达N阿尔法N这可以想得通吧？ 好，我问你等号左边是否可以利用矩阵乘法把它写成这个形式，这想不想得通？他是不是就它等号右边这玩意儿也就这玩意儿，它是不是完全可以写作这个矩阵乘以这样一个对角阵是吧？因为这个东西可以理解为阿尔法一的兰姆达一倍，阿尔法二的兰姆达二倍，一直到阿尔法N的拉姆达N倍。这个我们在基础阶段就讲过，这玩意儿就相当于是这个阿尔法一到阿尔法N对应的每一列。比如说第一列就成了个倍数乘了个luna一倍，第二列成了个兰姆达二倍，第N列成了个兰姆达N倍，所以它完全可以写成这样一个矩阵，成一个对又称对角阵的形式。又称对角阵的含义就是把对应的列进行进行这个倍乘，对应的列乘以这样的对应的数字，这就是右乘对角阵的含义，这个在基础阶段是重点强调过的那你翻到就我们继续讲那个举矩阵乘法那个小节。我记得第一道例题还是第二道例题就讲了这个问题，对吧？所以这个基础要扎实。 好，你把它写成这个形式之后，现在盯着这个式子一头一尾来看。那也就是说A乘以这样一个矩阵等于什么呢？等于这样一个矩阵乘以这样一个对角阵，是不是这个逻辑？好，那么也就是得到了什么呢？把这个矩阵叫做P的话，也就得到了AP等于P对角，这个玩意儿就是个对角，什么AP等于P对角，所以就得到了它。但是我想说的是得到这一步，其实还没完搞清楚，得到这个还不能说明它是可相似调化的。 一定要有一句什么话？一句一定要有这句话，就当阿尔法一到阿尔法N线性无关的时候，或者说它拼在写的这个P矩阵可逆的时候，这是等价的这两句话是等价的。因为这里面A是N阶的矩阵，这个阿尔法特征向量它是N维的。那你N个N维向量线性无关，那对应的不就是拼起来的这个方阵是可逆的吗？是一个意思。只有当有这个条件的时候，才能说明它是相似角化的。所以这个条件是核心，懂不懂？有了这个条件我们才能说它是相似角化的。 那么当它可逆的时候，实际上我们是不是由这个式子也可以把它变形整理一下。你两边组成P腻就可以得到PDAP等于对角，这可以理解。所以这个就是矩阵相似对角化的一个定义式了当写出这个式子，我们就可以说AA相似对角记为这样一个符号。那么你相似对角化的一个手段就是这个P矩阵，看清楚了，就是右边这个P矩阵，我们就是说把这个P逆AP看清楚，P0AP等于对角，把这个P矩阵称为你相似对角化的手段。 好吧，然后我这里总结一下，也就是说根据我刚才强调的你应该能理解了。我们矩阵相似角化的定义是有两种形式。我写右下角第一种形式是AP等于PB，是什么？AP等于PBAP等于P对角。那么写出这个式子一定要去强调一下这个P是可逆的，懂吗？一定要强调一下这个P是可逆的，或者是写成什么呢？ P逆AP等于角的形式，这个形式已经写出P腻了，那就暗示了这个PG的可逆码。你不然怎么写出P令的这个符号呢？啊好吧，这两个形式大家要理解。然后我这里想说的是，如果说这个矩阵相似，对角化问题是一个抽象矩阵，就是你用来处理一个抽象矩阵的问题。包括我们后面例题会讲，在下个小节那个2020年的真题就会讲。 如果是处理抽象问题，那么常常用这个形式会比较多，因为给出抽象问题，我举个例子，比如说这个P矩阵它是一个什么阿尔法一向量，阿尔法二向量，这阿尔法一向量，阿尔法二向量也不清楚。那你去怎么去描述这个P逆呢？你是很难去描述的。这个时候我们就采用这种形式会更合适一点，因为这种形式当中没有讨厌的批逆。 如果P它是一个具体的，就数字都已知的矩阵，那没毛病。那你求个比你轻松的事情，对吧？那你就用下面这个也无可厚非。如果是这种抽象性问题，就用这个式子。听懂了没有，我应该说清楚了。好，就这一点，就这两个形式一定要理解。 然后还要补充一点，就关于这个定义式，你一定要深刻理解。怎么个深刻理解呢？我们会发现这个定义式它就是由特征值、特征向量推出来的。所以实际上这个P矩阵它的每列是什么？它的每列是特征向量，你一定要谨记这一点，就是这个所谓的PDAP等于角，或者说AP等于P角，这个P的每列它都是特征向量。 然后这个对角阵，对角阵的这些元素都是特征值，并且他们之间是有对应关系的。你这里是拉姆达1，那这对应的就是拉姆达一的特征向量。你这里是拉姆达N对应的就这就是拉姆达N的特征向量。懂不懂这个含义，一定要把它理解清楚，好吧？这一点也是很重要的。OK关于定义我们就说到这。 好，接下来我们说第二个事情，就是矩阵相似小化的长结论，这个就太重要了。这里面有充要条件、充分条件和必要条件以及常用性质。我们依次来说，先说充要条件，这个条件首先来讲A是N阶矩阵的时候，那么什么等价于A相似于对角呢？我们说首先两条是没没得跑的，就定义来的就是这边就这边这定义来的这是没得跑的，所以你这两条就可以直接给他敲过来了，这还说啥，呢，啥也不说了是不是，这两条是没得跑的，它是等价的，它是等价于A向C对角的。 除此以外除了这个定义式还有什么？还有这两条判据也是非常常用的这都可以直接用，就是A恰有N个线性无关特征向量。刚才不是才强调吗？你这个相似变化的核心就是这句话。所以就是那所以就是说A恰有N个线性完成的向量，这是矩阵可相似对角化的一个重要条件。 除此以外还有一个重要条件就是矩阵A每个特征值的几何重数等于代数重数，你会发现这个等价于上面这一条，它也能够作为A相似于对角的充要条件的。因为我们分析一下，就是我们知道这个特征值满足什么性质，几何重数P是天生小于等于代数重数K的。你比如说某个特征值它是K重根某个特征值它是K重根，那么你这个K重根的特征值，你去解特征向量最多也只能解出K个线性关的特征向量。我们就把特征值对应的线性无关的特征向量的个数称为几何重数。这个几何重数P是小于等于K的好吧？ 好了，你比如说我举个例子，为什么当所有特征值的几何重数和代数重数相等的时候，就能推到它有N个线性无关特征向量呢？你比如说我举个简单例子，假设A它有两种特征值，它的特征值就是拉姆达一拉姆达。然后这个拉姆达一不等于拉姆达，好吧，它有两种，其中你比如说这个拉姆达1，看清楚了，这个特指拉姆达1，它有多少重呢？就它的代数重数是多少呢？ 我这里写一下代数重数K，这几何重数P我们分别来把这个表格给它画一下。我们比如说假设这个拉姆达1，它的代数重数是K1，拉姆达2的代数重数是K2。好，现在这个K1加上K2就等于矩阵的阶数。 你比如说这个A它是个N阶的，好吧，它加在一起等于。如果说这每个特征值它的几何重数和代数重数相等，那你这个几何重数也对应的是K1K2，懂了没有？也对，是K2。 那这个时候你会发现我一定能找到这个A有N个线循环特征向量。为什么？因为在拉达一底下你已经找到K一个线性无关特征向量，在拉姆达拉底下已经找到K2个线性无关特征向量了。而拉姆达一又是不等于拉姆达2的，就分为两组不同的特征值。我们知道不同特征值底下的特征向量是天然线性无关的。所以你合在一起，你去研究这个A矩阵有多少个线性无关特征呢？ 你会发现就是K1加上K2个线性无关的特征向量，而K1加上K2就等于N了，所以我们就推出了A有N个线性无关的特征向量。懂了没有？所以这个条件和上面这个条件完全是等价的，一定要把这个问题想通，好吧，一定要把这个问题想通，这就是它常用的充要条件，就是定义以及这两条。 好了，接着我们再往下看，我们看一下充充分条件充分条件充分条件有这么常用的几条。设A是N阶矩阵，那么你比如说A有N个不同的特征值，一定能够推出A可相似的化，是不是这个逻辑？因为我们知道不同特征值底下的特征向量是天然线性无关的。你现在N个特征值它都不一样，也就是说我肯定就是找到了N个线性无关的特征向量，那自然可以推出A相似对角，这个是充分条件，反过来不行，你比如说A相似对角，难道说它一定有N个不同特征值吗？就纯扯淡，所以这只是充分条件，单方向推充分条件。 然后又比如A是实对称矩阵，也能推A可相似对角化。这个前面说过的，因为实对称矩阵它天生有个性质，就是什么几何重数等于代数重数，是对证据的，它的几何重数就等于代数重数，所以它一定可以相似对角化好吧。然后又比如说质为矩阵，上个小节才讲的当质为一且矩阵的积不等于零的时候，就能够推出它可相似调化这三条直接用，这三条直接用不需要证明，直接用不需要证明好吧，然后下面一条就需要去证明。这样一条是需要去证明的。我这里就给大家证一下，这个证明过程还是很重要的，大家要深刻体会好吧。 首先我问你一个问题，有这个式子我是不是能推出特征值的信息？没毛病这就是一个形如FA等于零的结果，是这个逻辑FA等于0，所以我们就有是不是就把这个对应的有就有F拉姆达等于0，也即什么呢？就是兰姆达减A乘以兰姆达减B等于0，没毛病吧？这基本功，这应该不用我再去强调了。所以你实际上能解除拉姆达等于什么？拉姆达等于AB就是说特征值肯定在AB当中去，至于有多少个A多少个B我暂时还不清楚，好吧？ 然后我还想问你看到这个小节你熟不熟悉？非常熟悉。你去翻前面第一章举证的制那个小节我们有道例题，就是要证明这个东西，有这个东西，一定要注意，还要带上这个A不等于B就是有这个条件，我们能够推出退出。这个我写右边，你是可以推出这个A减去AE的制，他喵的写疯了，这是RA减去AE的值加上A减去B的值等于N的。你自己去看我这里就不再重复给大家证明了，前面已经证过了，好吧。 那么得到这样一个质的关系有什么好处呢？我们实际上就能得到它的特征向量的一些信息。因为你想一下，比如就是说你比如说你去研究这个特征值A对应的有多少个线性为特征向量，本质上研究的是什么问题？我问你研究的是不是就是说lambda一减A也就是这个AE减AX等于0，能解出多少个线性关的解。我问你是不是这个方程的解相当于我填个负号是一样的，是不是相当于A减去AEX等于零的解，这是一回事吗？你看到这个东西有没有发现，这个矩阵就在这里。 有我问你它能解出多少个线性关的解，它能解出多少个线循环等级，是不是就是N减去RA减去A1，N减去系数正的值，是不是这个逻辑？换言之能不能理解就是说特征值A对应的线性关特征向量有多少个？这么多个是这个逻辑吧？是这个逻辑。 好，类似的我们是不是就知道特征值B对应的线性无关特征向量有多少个？特征值B，我画个表格，这是A这是B特征值B对应的线性环特征向量就是N减去RA减去B一个，是不是这么多个？好，然后你看A又不等于B这两个特征值是呼应的。我现在就知道这些特征向量和这些特征向量它之间是线性无关的。 所以整个这个A矩阵来讲的话，你整个A矩阵来讲有多少个线性和特征向量，是不是把这两个加在一起，这个东西加上下面这个东西合在一起是多少？你告诉我是不是2N减去A减去A一加上2A减去B一没毛病。而这个东西是什么？这里是不是推了这玩意儿是N呢？2N减N等于多少？立马回答等于N结束。 所以你看我们现在证明出来什么？这个A矩阵合在一起，它有N个新循环特征向量，是不是这个逻辑？我现在就证明了A矩阵合在一起它有N个线性关特征向量，那是不是就说明A可相似掉花，所以就推出来了，懂了没有？所以我们就可以推出A可相似对话，但是我还是强调一下，就是说我们到目前为止我们还是不知道，我们并不清楚这个A矩阵到底有多少个A特征值，有多少个B特征值。这个我不清楚，就是它的重数我现在还不知道，但是我总之我能知道它可像塑料花，好吧，就这个问题。 这个结论取一些特殊值。你比如说你取A等于1B等于0，你取A等于1B等于0，实际上你就会得到这样一个结论，它就可以推出A可相似的化。你比如说你取A等于1B等于负一A等于1B等于负一，那得到就是这样一个结论。好吧？这些特殊化的结论大家感兴趣自己去推一下，就是仿照这个去推。待会儿我们有道例题也会讲，所以我这里就不再重复的每个都推一遍了。因为我把一般性的推了，好吧，这个大家感兴趣自己去写一下。 就这个问就是说你要用这三条，那是要去证明的才能用的。当然选择填空可以直接用OK，这是充分条件。我们讲到这儿，接下来我们讲一下必要条件。必要条件往往用于求参数比较多，或者有的时候我们也用。如果你不满足必要条件，那肯定说明你不能相似的话。好吧？我们来看一下必要条件，若N阶矩阵A满足A相似于对角，则我们能推出什么？能推出他们的行列式相等、积相等、质相等，这个是比较好理解的。 大家想一下，有A相似对角，这个对角是什么？这个对角就是特征值的排布。实际上这个调小阵就是拉姆达1，兰姆达2，一直到拉姆达N。那你想一下，我A的行列式前面是不是讲过性质，A的行列是不是特征值的成绩？那我问你这个对角阵的行列式是不是也是特征值的成绩，是吧？所以他们描述的都是同一个含义，都是特征值的乘积。 A矩阵的G对角线元素之和，对角正对角阵的G对角线元素之和是不是都描述的是特征值的和？他们是不是都描述的是特征值的和？所以它们相等没毛病，这可以理解。 然后第三个A的值等于对角正的值，这个要特别重视。这个我跟你讲，它引申出来一个易错点，非常容易错的，非常容易错。当A可相似对角化的时候，A的值等于对角阵的值，一点毛病没有。因为什么？根据定义式你去想一下，我写左边我写左边PDAP等于对角线。那我问你这两个，所以的话我是不是就有所以我是不是就有对角阵的质就等于这玩意儿的质，而这玩意儿的质是不是就等于A矩阵的质？因为它和A矩阵之间的关系相当于A的左右来了个可逆阵，所以它的值是等于A矩阵的，知道吗？所以你是不是推出他们的值相等，这没毛病，这个性质也是没毛病的这也是一个必要条件。 然后由这个必要条件引申出来一个我们经常用的结论是什么呢？就是我们会去通过这个对角阵，也就是这个特征值的信息，根据这个特征值的这个情况去反映这个对角阵的值，从而去反应A的值是不是这个逻辑。你比如说它有这么些个特征值，然后我发现其中有一个特征值是等于零的，其他几个特征值都不等于0。那我问你这个对角阵的值是多少，那是不是就等于N减1？吧？有一个零，其他非零，所以这个对角阵的值就是N减1，也就是非零特征值的个数。非零特征值的个数就可以反映这个对角阵的质，从而去反映A的值。但是这一定建立在A相似对角阵的前提之下，你才可以这样。如果没有这个前提，你直接认为这个A的值就等于非零特征值个数，那绝对是错的那绝对是错的。 你比如说我举个例子，我写左下角A等于000000001这样一个矩阵，特征值全部为零，兰姆达一等于兰姆达二等于拉姆达三等于0。你难道可以说A的值等于非零特征值个数等于零吗？绝对不可以，是不是？因为这样一个矩阵它根本就不能相似的化，听懂了没有？就是说只有当它可相似对角化的时候，我们才能用非零特征值个数去反映A矩阵的值。懂了吧？这个易错点你写在旁边，自己写一下好吧，这要特别重视，这是它的必要条件。 然后我们再说一下它的常用性质，如果N阶矩阵A满足A可相似对角化，那么它对应的多项式FA也是相似于F对角线。那比如说A方加3A加2E它就相似于角方加上三倍的角，加上2E理解吧？然后对应的A力也是相似于角力的。 大家注意，你既然能够写出A逆相似于角力，这一定建立在一个前提之下，就是A可逆是这个逻辑吧？啊，要建立在这个前提之下才能够推好吧？才能够推这个。然后A相似于角，它是无条件可以推A伴随相似于角伴随的，哪怕A不肯定也没有关系。所以这玩意儿推它这玩意儿推它是无条件推的。推这个就需要有个可逆的限制，你不然写出A你就没意义了。懂这个逻辑吧？好，这是它的一些常用性质。 然后还有一个再补充一个，我在右边再写一个，你这写了两兄弟了，三兄弟怎么能少呢？还有个A转相似于角的转，这个也是没毛病，这也可以退。然后这里补充一个问题，一个非常容易错，非常有预测性，非常有可能在接下来几年考察的一个问题，就是反问题。由这些能不能去推A相似对角。 首先我跟你说这个它是反推不了的，这种反例很多。我写右下角取A等于幂零矩阵，这个我们前面也用了很多了，0100。那么你比如说A的平方，它就是个零矩阵，我现在这个FAFA我就让它等于A的平方，问你它能不能相似调化？0矩阵当然可以相似掉化，没毛病，但是你能去推出A相似对角吗？你在开什么国际玩笑？这个矩阵是经典的不可相似对角化矩阵，对不对？所以它反推不行。 然后接下来我们说一下A逆A腻，如果可相似对角化，它能不能反推A相似对角化呢？这个能不能推呢？当然我说了，你写出有意的话，那就要求A可逆，在A可逆的前提之下，实际上他他这两个家伙他是可以互推的，就是他可以推他，他也可以推他，这个很容易证明。 你比如说A如果可相对话，我写左下角，那就是说存在一个可逆矩阵P使得P0AP等于角，你会发现你只需要在这个是两边打打一个力，两边打一个力，就是说PDAP2边打个力，你会发现就可以得到A逆可相似调化。因为你把这个左边，你把它整个展开，你会就会推翻它，可以得到一个P逆A逆乘以一个这个P逆的力，等于角力，这就是A力可相似最小化的定义式。类似的道理。如果有A逆可相似对角化，你会发现你同样的是两边取个逆，你也能推出A相似对角化。懂了吧？ 这个是很好推的，我给他推一遍，比如说存在一个Q使得这个Q逆A逆Q等于一个角力。那你好说明你在这两边打个力，两边打个力，你会发现就可以得到Q逆A然后是Q逆的逆，也就是Q然后就等于这个角，所以它是可以推它的，它两者之间是可以互推的，没毛病。类似的你也可以去说明这玩意儿和这玩意儿可以互推，清楚了吧？就说这个东西和这个东西是可以互推的对A没有任何的限制。那么这个东西和这个东西互推要有一个小的前提，就是A可逆。你只有当A可逆的时候，你写出A逆才有意义，是吧？ 然后重点要强调一个易错点，就是它这个伴随大家注意了，伴随也就像这个多项式一样，它是没办法去推这个方向的。A伴随可相似对角化，我是推不出A可相似对角化的。你比如说我举个例子，我写右下角好吧，我们可以取这个A等于001000000。这是个经典的不可相似变化的矩阵。但是由于它值为一，它现在它的伴随就会变成一个零矩阵。这个零矩阵当然可以相似角化，但是你并不能由这个伴随相似对角化就去反推A相似对角化。懂了没有？所以这个方向它也是推不了的，这个方向它也是推不了的，什么时候可以推呢？ 记住了，就是这个地方如果也加一个这样的条件，就加一个A可逆的话，加个A可逆的话，那么这个伴随可像素最小化与A可像素最小化之间，它们是可以互推的。加了可逆的条件他们就可以互推。如果不加可逆条件，只能够单方向推，这个方向是推不出的。懂了吧？ 自己梳理一下，把这个笔记做好，把这个笔记做在右边，自己做好好吧。就强调的性质这个点非常有预测性，非常容易考。因为真题已经考察过了，但考的比较浅，它没有系统性的考察，所以大家一定要留个心眼。好，这是个问题。 然后我们再总结一点，就是到目前为止，我们有哪些方法可以去说明A可相似对角化呢？你比如说用我们的充要条件，用充分条件，这是不是都可以？包括甚至用这个A相似调或者定义式是不是也可以。比如说你说明一个肯定症，使得PDAP等于角，是不是也可以？还有就是利用相似的传递性，比如说题目告诉你A相似于某个B然后这个B矩阵它又是个很容易能够说明可相似变化的那我们通过这个我们就可以利用传递性从而去说明A相似对角。懂了没有？这个方式也是有的，这些都是可说明相似对角化的一些手段，大家要脑子里面要有这样一个清晰的认识好吧。 然后我们也可以利用不满足必要条件去说明A不可相似的话。比如说刚才举了一个经典例子就是这个你这个矩阵它的三个特征值都是零。那假设它可以相四角化的话，那这个对角阵是什么？那就是三个特征值就是零。但是这样一个对角阵的质很明显是等于零的，但是A矩阵的值等于一，它这个值不相等，那肯定就不能相似掉了，对吧？我们就可以利用这样的手段去说明。 好，当然更多的我们就是用什么呢？利用充要条件的反面。你A有N个线性无关特征向量，那就可以向四角化。如果你A找不到N个线性无关特征向量，那自然就不能相似最小化了。懂这个逻辑没有？这个我们是用的更多的，就说明A没有N个线循环特征下来懂这个逻辑了吧？啊，从而就说明A不可相似调。好，关于这一块我们就说到这儿。 接下来简单回顾一下矩阵相似要画的一般求解步骤。先夸夸夸，把它称值都求出来是吧？然后我们说如果它能相对角化的话，那么K重特征值必定对应着K个线性环特征向量。你就老老实实解这些特征值底下特征向量就行，也就是解这样一个其次线分组？把它基础解析给我解出来，解出来之后，把这个特征向量都给我找出来，都给它合在一起，都给它拼在一起。 如果说你确实找到了N个线循环特征向量，那它就是可以相四角化的那我们把它拼拼成一个矩阵，拼成一个P矩阵，特征值也给它拼在一起，拼成一个对角值，那么我们自然就可以得到PDAP等于对角。然后这里还是再次强调你P的每列含义是特征向量，这个对角阵含义是特征值，这里面一定要有对应关系。这里拉姆达一就对应的是拉姆达一的特征向量，这里就对应的是拉姆达2的特征向量，这一定要把它排布好，千万不要乱搞好吧？这个我们在技术阶段都重点讲过了，所以就简单说一下OK。 接下来我们看一下矩阵相似对角化这一块的几种提醒。第一种提醒就是考察相似对角化的性质。那么前面讲的充要充分必要，这些你都要熟练好吧？你比如说例一哪里就考了个这个问题，N阶方阵A满足A方等于A还记得我说的吗？A方等于A，一定能够推出A可相似的话我这里就给大家推一下，刚才不是正好没说，我们这里就说一下。 好，首先有A方等于A你能得到什么？你一定要整理。那么A方减A是等于零的那这样一个FA等于零对应的就是特征值就是F拉姆达等于0。所以我们自然就有拉姆达方减去兰姆达是等于0，也即解出来兰姆达等于一或者0，这可以理解。就A矩阵的特征值只能在10当中去，到底有多少个一，多少个零暂时还不清楚。 但是我们说有这个式子不是可以推出一个质的信息吗？我这里就给大家证明一下怎么去推这个质的信息。我们就是说由这个式子把它变形整理，就得到A乘以A减一等于0。那我们是可以推出质的信息，就是RA加上R这个A减一的值是小于等于N的，是不是？ 这前面制的不等式，经典的智者不等式，除此以外我们还能够利用智者不等式得到一些信息。我们学过一个智能方程式，大家还记得吗？我们回忆一下，我写右边，我写右边就是两个矩阵相加减的质，它是小于等于APB的质，又是小于等于质之和的，小于等于RA加上RB的。 这玩意儿它是最大的这玩意儿它是最小，还记得吗？记得这个结论吗？我现在就可以用它看清楚了，我是不是就可以得到。你这个RA加上RA减1，这就是质之和，它是最大的，它是大于等于什么？我就用这个。因为这里面相加减的话，你想一下A减去这个A减一得到什么是单位证，所以它肯定大于等于。 看清楚了，就是A减去A减1，这能看得懂吗？我这里打个中括号，那这是什么？这是单位证，单位证的值是多少？你这里是N阶单位阵，所以自然这就等于N了，想得通吧。 因为这个玩意儿它就是一个单位阵，所以你看我现在得到了什么，看看清楚了，这个家伙它的值大于等于N它的值就小于等于。你说它什么两个一夹就把它夹出来了，夹出来它的值就等于RA加上RA减一的值就等于N那么接下来我相信你就懂了，你会证明出来这个A它是能够相似角化的。为啥？因为你看啊因为你看现在我们就说A矩阵特征值是一或者0，你去想一下，我去解特征值一对应的特征向量，那其实就是去解什么？那就是去解这个一减AX等于0，或者A减1X等于0，这都是一回事，是吧？我去解这个特征值零对应的特征向量，我就是去解AX等于0。 好，那我解出来有多少个新闻特征向量呢？上面这个东西解出来有多少个？是不是N减去RA减1N减去系数矩阵，N减去系数矩阵的值，那这个东西我解出来有多少个新循环特征向量呢？是不是就是N减去系数矩阵的值？N减去RA是不是这个逻辑？ 好，那么合在一起。没有多少个线性无关特征向量，是不是这么多？加上这么多是吧？那么你把它合在一起，你写一下，我把中间这个推导过程就擦掉了。我往左边写，合在一起它就有N减去RA减1加上N减去2A这么多个。那合并整理一下就是2N减去2A减一加上2A个。这玩意儿刚才不是证明出来它是N吗？所以合在一起就是2N减N就N个，也就是说A矩阵一共就有N个线性无关特征向量，所以它当然可以相似对角化懂了没有？ 就是这个东西以后你是直接作为结论去用的。就是不可能说以后考试碰到这个条件，你还慢慢的老老实实在草纸上去推。为什么？这个A可相对的话，何必？已经给大家说过多次了，直接用懂不懂？大题你要跟我这样去写一下，大题你要这么去证一下，但是选择填空题直接用的。 所以我们以后拿到这道题目，应该立马脑子里面非常清醒，马上写出来A可相似调化，这个对小真不是别的，就是特征值的排布。特征值是什么？特征值就是一或者0，所以有一些一有一些0。 好，至于有多少个一多少个零我暂时还不清楚，但是还有个条件没用，RA等于RA矩阵的值等于R还记得前面说了一条必要条件吗？当A可向缩小化的时候，A矩阵的值就等于对角阵的质。对角阵的质体现为什么非零特征值个数？所以它的值等于R意味着什么？意味着非零特征值有多少个？有R个，也就是说这些一有多少个有R个，10多少个N减去二个跑不掉的，懂了没有？所以我们就把这个对角阵彻底给搞清楚了。 你把对角阵搞清楚之后，你求这个3E减A的，3E减A的行列式是不是轻而易举？求3亿减A的行列式本质上求的是什么？求的是不是3亿减A的特征值。那我只需要知道A的特征值，我是不是自然知道三一减A的特征值。你现在知不知道A的特征值？当然知道是不是门芯，非常清楚，所以我自然就会发现，也就是说我到这一步为止，我就其实我就知道了这个A的特征值的分布了。 这A的特征值有多少个呢？就是说有2个1N减二个0，是不是这个逻辑？那你对应到3亿减A特征值你清不清楚？三减一清不清楚，那对应的就有二个多少，换到他的身上就是2。然后AA的零特征值对应到3E减A身上，那就是多少，那就是三，所以它就有这个N减去二各多少3。那么你求它的行列式是不是就是特值的乘积，那就是二的2次方乘以这个三的N减去2次方。 懂这个逻辑没有，所以这道题就是这样，懂了吧？这就深刻的考察了相似调化的一些性质，你必须要非常熟练，你这道题才能做得快。好吧，我希望你以后能够这样炉火纯青，就这个问题。 好，接着我们再往下看，我们看一下例2，另外这道题目A是三阶的矩阵，然后P为三阶的可逆阵。P点AP是等于这样一个对角阵。换言之也就是说这个A是可相似对角化的，这些其实代表着A的特征值，对吧？然后他把这个P矩阵列方块告诉我们了，那这三列的含义你应该懂前面两列对应的特征值是一，也就是说阿尔法一阿尔法二是对应特征值一的特征向量。最后一列阿尔法三是对应这个特征值二对应的特征向量，这个先要翻译清楚，然后给了这样一个Q矩阵问我们Q逆A伴随Q看清楚，A伴随Q等于什么？ 这个题目是有一定难度的，我先把这个难度降一下降成基础阶段的难度。先不看这个了，我先去想一个问题，就是QDAQ等于什么？先不想A伴随，Q逆AQ等于什么？把这个问题先想清楚。你看大家思考一下，我问你阿尔法一、阿尔法二既然都是特征值一对应的特征向量，那么把阿尔法一加上阿尔法这样一个线组合，是不是还是特征值一对应的特征向量？没毛病它还是特征值一对应的特征向量。然后这个阿尔法三阿尔法二就颠倒了个位置没有关系，颠倒的位置没有关系。总之这三列是不是仍然是A矩阵的特征向量，只不过隶属于不同的特征值吗？ 是这个逻辑，你这个第一列对应的就是就对于A矩阵来讲，对于A来说的话，它就相当于是特征值一对应的特征向量。这里面就对应的特征值二对应的特征向量，这里面对应的特征值一对应的特征向量是这个逻辑？并且这三个特征向量它是线性无关的，就很容易证明这很容易证明他们之间是线性无关的。 所以这说明一件什么事情？说明我是不是能够通过这样一个Q矩阵使得A像素转化。就是说Q0AQ它肯定是等于对角阵的，是不是这个逻辑？想一下这像素量化的定义，就是我把一些线性无关的特征向量，这都是A线性无关特征向量，我给它组合在一起，是不是就构成了A相似对角化的一个手段，所以Q0AQ是可以相似对角化的。 这个对角阵是什么呢？就对应特征值的排布。你现在特征特征值的排布是什么？应该是121，它是121。这件事情先搞懂，Q0AQ等于对角阵，等于121。把这个事情搞懂之后，你才处理这个问题就会简单了。 加上这个你会不会翻译？这个要会翻译。我们知道你现在既然这个Q矩阵能够让A相似的话，这个Q就是A的对应的特征向量，是这个逻辑。那我说既然这些家伙，既然Q的这些列是A的特征向量，那我问你这些列是不是A伴随着特征向量？ 当然是啊，前面讲过特征值与特征向量的那个表格关系，我们知道了A的特征值特征向量的信息，那么A的这些特征向量它也能够作为A伴随的特征向量。还记得吗？还记得吧？所以你这些列同样也是A伴随的特征向量，没毛病。 所以我问你我这个Q矩阵，我这个Q矩阵是不是也能把这个A伴随进行相似调化没毛病。因为Q的这些列也是A伴随线性无关的特征向量，所以能够把这个伴随相似对角化。那么相似对角化成一个什么样的对角阵呢？这个对角阵长得就不一样了。你比如说我们为了区分开，这里叫角的话，这里我把它叫角一。那这个角一是什么？这角一是何方神圣？这角一就是对应A伴随的特征值吗？是不是这个逻辑？ 所以你就所以这种问题，它的核心就是去寻找特征值与特征向量的一个对应关系。把这句话给我牢牢记住，像这种题型，它的它这个题型是特征是非常鲜明的，它就是寻找特征值与特征向量的对应关系。你比如说你这个Q的，看清楚，你这个Q的这三列对应到A的身上，特征值是这玩意儿，那对应到A的伴随身上，你会不会对应特征值？我问你这是不是表格关系一列就出来了，对应到A伴随身上，那就不是特征值一了。 那就是A的行列式除以对应的特征值，那就是这里A的行列式很明显是这个2，所以就是2除以一就是22除以2就是12除以一就是二对应到A的伴随方向去，就是这三个特征值。因此这个角移是什么？这个角一就是对应的特征值，就是A伴随着特征值就是R1R结束了，懂这个逻辑没有？所以这种题你看懂了没有？它核心考虑就是特征值与特征向量的对应关系，一定要把这个路要想通要想通好吧？ 仔细揣摩一遍，这个量是我自己编的一道题目，非常的好。我觉得大家好好体会一下，它不难，但是很巧妙很巧妙。它比基础阶段这种题目的难度要大一点，大家要仔细体会好吧？就这个例案，然后把这个例二再搞难一点，再变难一点，就是例3例3是一道比较有预测性比较好的一道题目，大家要仔细体会。真题他有的时候就喜欢这么考考一点，跟你平常练的比较多的题目稍微有点不一样，但它又不是很难。你看这个题就是这个特征，A是三角矩阵，然后P是肯定矩阵，然后给你PDAP等于这玩意儿。好，实际上这就告诉了我们A可向缩小化，并且给了我们特征值与特征向量的对应关系，是不是？你既然是121这么排，那么我就清楚，阿尔法一阿尔法34A对应于兰姆达一等于拉姆达三等于一的这个特征向量是吧？ 阿尔法二就是A对应于兰姆达二等于二的特征向量，好吧，这是我们已知的条件，然后给了这样一个Q矩阵，这个Q矩阵和上道题就有所区别，大家发现没？这Q矩阵有点讨人嫌，它把这个不同特征值的特征向量给它组合在一起了。我们是不是学过一个结论，我们说不同特征值的特征向量你就给它组合在一起，那这个四不像，那就不再是A的特征向量了，是这个逻辑吧。所以你像这一列，它还有还有这一列它就不再是A矩阵的特征向量了。那么你再去把这个QDAQ给它乘起来的话，大家想象的到，既然你这个Q的，比如说这一列，这一列它就不再是它的特征向量了。那你这玩意儿肯定是不能够使得它像塑料化的这可以理解。所以这道题它和上题有区别。 但是我们可以借用这个像素最小化。大家发现没有你这个Q矩阵，我是不是可以理解为Q的每列都是阿尔法一、阿尔法2、阿尔法三的线性组合。所以我是不是可以把这个Q指针给表示成这玩意儿。大家想一想，既然如此，我这个Q指针是不是可以理解为阿尔法一、阿尔法2、阿尔法三去乘以一个1-4 3，这个527，这个020，想一想这基本功它乘以第一列得到这玩意儿，好，乘以第二列得到这，乘以第三列得到这，好吧。 所以把Q矩阵写成它之后，我们可以把看清楚，我们可以把这个矩阵叫C矩阵，这个矩阵就题目的这个P矩阵，也就是说Q等于PC，Q等于PC我写右边，所以我现在这个Q逆AQ，我要求的QDAQ就相当于是PC的逆乘以A乘以这个PC那么你把前面这个逆矩阵乘开，那就C逆P逆APC看懂了没有？那我们这个PDAP等于什么？等于对角阵，等于对角正。所以它实际上就变成了AC力去乘以这个对角阵121，然后去乘以CC是已知的。所以你接下来要做的事情就是把C逆给求解出来，然后让这三个矩阵相乘，这个计算过程大家自己去算，好吧，包括这答案也给大家了，你自己算完之后把答案也对我这里就说一个最终结果，我们最后算出来就等于这个100010-2 1结束。 你看这道题是不是就相比这道题稍微巧了那么一点点，有了这么一点点巧劲，大家要仔细体会。他把这个矩阵乘法和这个矩阵相似量化问题给融合在一起了，这个题要重点去体会一下，这个例2例3都是很重要的。好吧，这两个题好好体会一下。OK这都是利用我们的这一些性质去处理问题，这是第一类题型。 然后我们接下来讲这一块的第二类题型，就常常也会这么考，就是让我们去判断或者说证明一个矩阵是否可以相互调换。我这里给了两道经典的例题，一道具体的具体的一道抽象的那知道抽象的又是具有预测性的，大家仔细体会。我们先看一下例4例4相对而言就比较基础了。哪些不能相似掉化呢？A矩阵可不可以？A矩阵包可以的。因为很明显它是个实对称矩阵，你看到没有？它是个实对称矩阵，所以它一定可以相似对角化，一定是可以相似对角化的。好吧。 那么B选项可不可以相互对话呢？我们发现它是个什么？它是个上三角矩阵。上三角矩阵我们说了它的特征值非常好求，就是对角线元素。这个在基础阶段就讲过了，对不对？所以它的特征值就是134，因此它有三个不同的特征值，所以它可以相似调化，这是充分条件告诉我们的，这两个都可以。 然后C选项你一看，你就会发现这家伙好像每列成比例，有没有发现第一列和第二列是一样的，第三列差了个负一倍。所以它是个典型的置尾矩阵。并且我们说这样一个至为矩阵，它的矩阵的即对角线元素之和不等于0，所以它也可以消除掉了。这都是经典判据，必须要非常熟练的，所以马上排除，这个排除法我们就选D了。 那D是不是确实是不可以向最小化呢？你很容易发现它这个上三角矩阵，所以它的特征值很好求拉姆达一等于2，兰姆达二等于兰姆达三等于一。那问题往往出现在重根这里，我们看一下这个重根底下到底能不能解出两个线性无关特征向量。如果它能解出，那就能相似对角化。如果解不出来，那就不能相似对角化吗？ 所以我们看一下，那实际上也就是去解什么呢？解这个E减去这样一个系数矩阵是吧，不妨把它叫D矩阵，X等于0，看它能不能解除截出来。那这个E减D我们很容易发现，这个E减D就是一个负一，然后零然后零，然后-2 00、-3 00，这就是E减D那么你很容易发现这个E减D它它有两个非银行，看到没？所以它的质，就这个系数矩阵的质，它是等于二的。所以我这个N减去RE减D它就等于3，减去2，等于一。也就是说这玩意儿只能解除一个线性无关的特征向量，懂了没？它的几何重数是等于一的，几何重数和代数重数不相等，它不能相似的化。所以这道题D是啊D是不能相似调化的，也就选D好吧？ 就这个问题，这个具体性问题比较简单比较简单。然后接下来我们看一下这个抽象型问题。例5，这个题目就难了，设三阶矩阵A下列条件是A可向最小化的充分但不必要的条件。有看清楚，充分但不必要什么意思？比如说某个条件是它的充分条件，那说明什么？那说明这个条件能够推出A相似对角，不必要的意思就是说A相似对角是推不出我们这个条件的，因此充分。但不必要的意思就是说我们这个条件它能够推出A相似对角，这叫充分性。但是不必要就是说这个方向推不出来，你就看哪个条件符合这个要求。 圈一A有三个不相等的特征值可不可以推？有三个不相等的特征值当然可以推，A可相最小化，这是典型的充分条件是吧？但是你不能说一个矩阵相最小化就能推，它有不同的三个不同的特征值。所以穿衣是符合题目要求的，它就是充分但不必要。 然后我们再看然后我们再看这个圈二是不是满足要求的，有三个线循环特征向量，这个是充要条件，说的很清楚，它是充要，所以并不满足题目意思。这家伙是冲要圈二是冲要，然后圈三个量量线性无关的特征向量，这个条件很有意思，这是真题考过的，大家一定要把这个两两线性五官和三个线性无关要区分开来，两两线性无关可比三个线性无关要弱多了。你比如说举个例子，如100，010和110这3个向量，它就是两两线性无关的。但是假如说有这样三个这样三个特征向量就能说明它能够相似的话，说明不出来。你想一下这个东西这个东西这三个向量，你会发现它这个整体还是线性相关的，它做不到三个线性无关的特征向量，说白了就是什么呢？三这个条件太弱了，它是没有二这个条件强的，它推不出来的。 你比如说我这里给大家举个例子，如什么呢？如这个A等于0010000就是我们经典返利。你去解，你会发现这三个家伙都是A矩阵对应特征值为零的特征向量，没有问题，但是你也就只能做到三个两线有关。你这样一个矩阵，你是绝对找不出三个线循环特征向量的这前面已经给大家解释过了是吧？它是绝对找不出三个线循环特征向量的，所以它不可相似的化，当然这种反例没有必要要求大家能够举出来。我说了举反例在现代当中还是一个比较强的一个能力。我不要求你有局反应的能力，但是你要很清楚一件事情，就三它是推不到二的。 其实我们在讲A相似的对角化的那些充分条件的时候，前面我们在讲知识点部分给大家证明的时候，你会发现它都归根结底归到什么？就那些杂七杂八的充分条件，最后都推出来A有N个线性环特征向量，从而去说明A可相似的化，是不是这样的？但是你现在这个条件，我说了这个条件它它推不到，它有三个线循环特征向量，那自然就不能作为充分条件去用。懂这个逻辑了吧？ 啊，所以三它是不对的。但我这里补充一下，三的必要性是没有问题的。如果说A可相似掉的话，那意味着A有三个线性环特征向量。那三个线循环特征向量当然可以推出3个2两线性无关，所以这个圈三的必要性是没问题的。圈三它是不充分但必要好吧，大家自己补充写一下，不充分但必要。 好，然后我们讲圈四圈四说的是A的属于不同特征值的特征向量互相正交。这个条件给出来，大家有可能会联想到这个实对称矩阵。因为实对称矩阵它就是不同特征值对应的特征向量，是天然正交的。但是大家注意，这个条件和A为实对称矩阵还是有区别的。实对称矩阵我们说的是时对矩阵一定可以正交相似对角化。但这里面这个圈四只强调了一个正交的特性，他没有强调可对角化，这个圈四没有强调可对角化，所以这个圈四的条件它是远远比实对称矩阵那个条件要弱的，实际上这个圈四它它推不出推不出A可相似对角化。 就是说不同特征值对应的特征向量。我们知道对于一个任意矩阵来讲，你这个不同特征值对应的特征向量它是天然线性无关。好，你现在把它变成正交了，正交是比线性五官更强的一个条件，它要更强一点，但是没有用。你现在也只能说明这个不同特征值的特征向量是线性无关的而已，这不足以得到A有三个线性无关特征向量，比如说A的特征向量，它如果长这个样子它一个特征值在这个Z轴的方向，好吧？不，它一个特征向量在Z轴的方向。然后另外两个特征向量，比如说它都平行于这个X轴，那这确实不同特征值对应的特征向量是相互正交的。但是你这同一个特征值的特征向量，它是成比例的那你搞是不是，那你也推不出来，能理解这个逻辑吧？所以的话这样的话也不行，就是说它它仍然不能作为一个充分条件去有啊。 当然这个反例也不要求大家举了，因为举重反例很没意思。你核心要把这个理论要理解，懂吗？没有必要每个都东西都要找出一个反例，反例的答案也有，大家感兴趣可以自己看一下。总之这个肯定是不充分的，不充分的，也不必要也不必要。因为A相似对角化只能说推出这个线性无关，哪里能推到这个正交这么强的条件？是不是推不出来，所以它既不充分又不必要。 就是前面四个，然后我们再往下看圈5，实际上应该很熟悉。它圈5就是套用前面我们讲的那个结论，在讲知识点部分我重点证明了，我这里就不再重复说了好吧。就是A减去AE乘以这个A减去BE等于0，且A不等于B那么就可以推出它可相似的化。这里面无非就是你想一下，我们这个A方加上2A减去3E它实际上就可以写成一个A减去RE，不对，这是一个。我看一下，这是一个A加上3E乘以一个这个A减一对吧，对不对？你看这就是这个形式，就是它的一个特殊形式，所以我这里就不再重复说了，大家自己去推一下好不好？自己去推一下，你会发现这个A是可以相似最小化的。所以这个圈5可以作为A相似对角化的一个充分条件，没毛病。 但是它是不是必要的呢？难道说A可像最小化就一定满足这个式子吗？这个不对，你比如说零矩阵它可以像最小化了。0矩阵当然可以相似最小化，零取值当然可以相似的化。但是你会发现把零取值带进来，0减去3亿，它不等于0，它不满足这个等式，看到没有？所以圈五就是充分，但不必要，没毛病，他是对的，圈五就是我们要的。 然后圈6A的3次方减去A的平方可向数量化。它什么条件？这玩意儿可相似角化，能推出A可相似角化。这个前面重点讲过的，重点强调过易错点。这就相当于一个FA的结构，FA可相似的多角化，我是推不到A可相似对角化的，还记得吗？ 你比如说这里面圈6，我就可以取个经典返利，我写右下角我取个经典返利，我就取这个A矩阵就等于001000000，这是个幂零矩阵。那么A的平方，A的3次方全都等于0，全都等于0。那你这玩意儿就是个零取值，零取值当然可以像素小化，但是你能推出A可以像素小化吗？推不出来。所以圈六不能作为这玩意儿的充分条件，但是它可以作为必要条件。 想一下如果A可相似的化，是不是一定能推出FA相似调化，所以圈六是什么？圈六听清楚，是不充分，但必要不充分，但必要条件懂了吧？就必要不充分条件，必要不充分条件。这穿六每一个都跟大家讲的很细，大家仔细体会。因为这个题目真的是很好，你要好好体会。 这道题目融合了两个真题和一个模拟题，然后这个圈7圈7给出了一个质的不等式。我们想一下这里面A是三阶矩阵，所以A矩阵值最多是不是3。然后又因为你这是严格的不等关系，那当A的值为三的话，那这里面就有两种可能性。比如说它的值为二，它的值为一，这是可以的。或者它的值为三的时候，这里为一，这里为零，是不是也有可能？ 好，然后还有什么可能性呢？就是说A矩阵的质，它它它这个它它这个它这个不为三。比如说A矩阵制为二行不行？A矩阵制为二的话，那这里面因为你这里是个严格不等关系，所以只有一种可能性，就是说这里是零，这里是一，就是说一共就这三种情况，一共就这三种情况。 其中这三种情况当中有两种，你出现了质位0，置为零意味着什么？讲一下置为零意味着这个A加上5亿就是个领域的。所以这下面两种情况，下面两种情况其实对应着这个A加上五一等于0矩阵，也就意味着A等于负的五一。这下面这种情况，那么如果说A等于负的5亿的话，A等于负的5亿的话，你这个A减一的值它就一定等于3，不可能等于一，是不是这个逻辑？是这个逻辑，所以这里面就矛盾了。看到没？这里面矛盾了。因此下面两种情况都被毙掉，这两种情况根本就不可能存在。 所以这道题这个不等式这不等式它唯一对应的这么一种情况，这是需要靠分析的，把这件事情分析出来。那么接下来就好说了，我往右写，我往右写也就意味着什么呢？也就意味着A加上5亿的值等于一，A减一的值等于2。 那么我现在你想一下，我现在是不是可以得到什么？你由这个你是不是可以推出特征值-5对应的特征向量，特征值-5对应的线性无关特征向量，你能找到两个。因为很明显N减去RA加上五一的值，这三阶矩阵它它就等于这个，我就可以得到N减去A减去一的值就等于3，减去二就等于一。这解出来不是别的，这解出来对应的就是几何重数，是不是两个？这里面就是特征值-5对应的就有两个线性关特征向量，这里特征值一对应的就有一个线性关特征向量，所以合在一起是不是有三个线性关特征向量，所以A矩阵是不是就可相似量化？懂了没有？ 所以这个圈七也能够推出A可相似量化，它是可以作为充分条件的，但是它是必要条件吗？难道说A可相似的话，一定就有这玩意儿的值等于一，这玩意儿的值等于2。它的A可相似的化，它的特征值还必须是负五合一，这肯定不对，是不这个逻辑。所以AA可相对的话确实推不出7，那七不就是完美的充分但不必要吗？所以这道题七也是正确选项。 因此我们最后数一下有哪些呢？就有这个157157157，他们就是满足题意的。好，关于类型我们就说到这儿，大家仔细去体会，自己去总结一下，就到底哪些东西能够去推出A可消掉化，把那几个重要充分必要仔细的去体会一下。这个例五是很好的一个题目好吧？ 好，接下来我们再看到类型3，就是利用矩阵相似调的话去求解矩阵的高斯密。利用矩阵相似角化的一些计算问题，我们这里重点就要说一下这个矩阵的高斯密，还有其他的一些类型。它往往会和矩阵相似揉在一起考，所以我没有单独列在这里，我把更多的这种矩阵相似板块的计算型大题都是放到下一个小节A相似于B那个地方，这里跟大家说明一下，所以关于A相似的化的计算问题，我们这里只给出一种核心的题型，就是求解矩阵的高次幂，也是一道今年的真题，我们一起看一下。他给出一个这样的数列，首先首项告诉我们了，然后数列的满足这样一个递推关系，即阿尔法N等于这玩意，写出阿尔法N等于A矩阵乘以阿尔法N减一的矩阵A，并求出A的N次方。 以及这玩意儿这题目这道题目大概它的它是一道早很早年的真题改的，大概隔了十几二十年。所以当时考出来，有些同学说我平常没有复习到这个，我觉得实际上是不应该的，为什么呢？这种题目如果你做题做的多的话，肯定会碰到。其次就算没有做过，他绝对算不上一道难题。它就是个送分题，无非就是加了一点这种数列应用的背景而已。它本质上还是考察一个矩阵相似角化的问题，以及求解矩阵高斯密的问题，对吧？你就按照题目要求来，你不要被他吓住了。 题目要你干什么你就干什么。题目让你写出写出这样一个关系式的矩阵A你就把它写出来就行了。那阿尔法N是什么东西？你告诉我，我写右边，我跟大家一起列一下。阿尔法N就是XNYNZN吃啥饭呢？好，按他的意思等于一个矩阵，这很明显是个三阶的矩阵A是吧？它要乘以什么？阿尔法N减一是什么？阿尔法N是这玩意儿，你说阿尔法N减一是什么？是XN减1、YN减1、ZN减1，这还要说吗？ 然后你想一下，根据题目的这个条件，我们能不能快速的写出这个矩阵，这个意识要建立起来，我们这种东西在座位变换那里，在基础阶段我们讲二次型，讲座位变换，你看到这个东西应该也能够联想起来。这很明显你可以想成一个坐标变换是吧？或者说从分组的角度，你你把你把这等号两边调换个位置，把右边想成这个把把这边想成那个非骑士非几次线方组的常数项，你也能够写出一个方程组的矩阵形式，那不就这个吗？所以怎么会把这个A选项写不出来呢？真是抠破脑袋都想不出来，为什么会写不出来是吧？实际上这三个方程就代表着什么？这三个方程就代表着用XN减1，YN减1，ZN减一去表示XN去表示YN，去表示ZN吗？所以这个系数应该还是很好填的，他填的就是这个-2 020、-2-2、-6、-33。 因为它乘以它得到的就是XN就这个第一个方程第二行乘以它得到YN就这个方程，第三行乘以它得到的就是这里这个方程。这是基本功，一定要能够快速的把矩阵A写出来。好，现在有了A矩阵之后，然后让你求解A的N次方。那么一般一般方法我们说了在矩阵高次幂那个小节都跟大家总结过是吧？那有那么一些类型，如果说这个A矩阵它特征没那么明显的话，我们就可以采用一般性的方法，就是利用矩阵相似的话来求解高斯密码。所以我们就拉姆达一减为一斜，求出它的特征值。这个特征值这个特征值好不好求求特征值好不好求求特征值其实非常明显。 你用第一行和第二行相加，这个我带大家算一下，我怕有的同学这个又不会算了，这怎么能不会算呢？你把第一行第二行相加，得到拉姆达加2兰姆达加200，拉姆达加22633A减3不动。然后接着按列来把第一列的负一倍加到第二列去，把这里给它干成0。能理解我意思吧？完了之后从这个元素展开，很快就可以算，这具体的计算我就不写了。 这思路跟大家说一下，算出来等于这么个玩意儿，算出来的这么个玩意儿，然后三个特征值又不一样，那么解这个特征向量应该也是非常基础的过程，是吧？咔咔一顿求解就完了，好吧，总之把它解出来，从这把它解出来，解出来之后然后把它一拼，把特征向量一拼，得到这样一个肯定矩阵P我们就有PDAP等于这样一个对角，对应特征值的排布，一定要对应关系对应好。你既然特征值是这么排的，那么P的第一列就一定是特征值零对应的特征向量，P的第二列就一定是特征值一对应的特征向量，P的第三列就一定是特征值负二对应的特征向量，是吧？这个一定要注意，然后这个P矩阵显然是不唯一的。因为我们说了特征向量不唯一，所以你求出来的答案不一样也没有关系。只要最后你算，你可以自己做完了去验算一下，看一下这个P角P0是不是等于A矩阵，因为A矩阵是已知的，A矩阵是唯一的。大家注意，如果你算这三个矩阵相乘算出来发现和这个A矩阵不一样，那说明你P矩阵求错了，P圆求错了，或者说你在算这个矩阵相乘的过程中算错了。好吧，这个要注意一下。 总之有了这样一个东西之后，我们要求A的N次方就非常基础了。我们前面讲矩阵高次幂也都跟大家说过的。那么A的N次方就等于因为A等于这玩意，所以A的N次方等于很多个P角P逆相乘P角P逆P角P腻，这样一直乘下去，那么非常明显。你想一下这中间很多个P逆乘以P这种结构是不是都被约去了，因为PN乘以P就消掉了，是吧？是最后只留下开头的一个P和最后的一个PI中间就是很多个角，对角，那很多个角就是对角的N次方，所以最后A的N次方就等于什么？就等于这个P角的N次方P懂了吧？对角线的NN次方是加好求的，它就是对角线零的N次方、一的N次方、-2的N次方是吧？完了之后你再算这三个矩阵相乘，这个计算过程大家自己去算，我就不算了不浪费你们时间，是吧？所以这个过程还是有一定计算量的。你要求一下这个逆矩阵完了之后还要算三个矩阵相乘，所以一定要细心，最后咔咔一顿算，把它算出来，好吧，算出来。 然后至于说你要去求这个XNYNZN好不好？求？好球，你就回到最开始这个表达式，阿尔法N是等于A矩阵乘以它的这个递的关系应该会研究，你阿尔法N等于A乘以阿尔法N减1，然后我们继续阿尔法N减一是不是可以如法炮制的地推。因为阿尔法N减1，阿尔法N减1，重新写一下，阿尔法N减一是等于A乘以阿尔法N减2的吗？我给它带进来，所以这是不是进一步就等于A乘以阿尔法N减2。这前面合在一起是不是A的平方阿尔法N减2，你看懂了没有？它可以表示成A的1次方乘以阿尔法N减1，A的平方乘以阿尔法N减2。 如果一直这样递推下去，最后就会等于什么？那是不是A的N次方乘以阿尔法零这个次数要会写要会写。这有点像前面我们讲那种地推型行列式，我教大家怎么去写。那个次数和下标一样，你想一下它这里下标是N减1，次数是一，加在一块是不是N呢？这是二次数是二，下标是N减2，加在一块是N。所以最后也是一样，下标是零的时候，次数就是N，这个要写对，这个要写对，所以阿尔法N这样一个向量，最后就可以递推到A的N次方乘以阿尔法0。这也就是为什么这道题的第一问是让我们求A的N次方的原因。因为你把A的N次方求出来了，然后阿尔法零题要知道这两个一乘不就得到了阿尔法N。 你得到阿尔法N得到了阿尔法N之后，阿尔法N就是这玩意儿。那自然的XNYNZN是不是也都知道了？所以这就是这道题的一个思路，我们最后就可以得到阿尔法N之后，这个玩意儿就是XN这就是YN就是ZN懂了吧？这就是这道题。所以你看起来有点吓人，套了个数列的壳子，但实际上它不难的，就是一个矩阵相似角化和矩阵高次幂的计算，这种分数一定要拿到，这属于基础分数了。这在真题当中属于基础分数了，只是看起来有点吓人而已，这个大家要搞清楚好吧？好，关于矩阵熵最小化我们就说到这里。那么更多的这种矩阵相似的大体计算，我们还是要在下个小节A相似于B那个地方去说好吧。 （内容由AI生成）