Hello, 大家好，我是没咋了。这节课我们继续学习现代强化的3.4小节矩阵相似。在上节课我们研究了一类特殊的相似问题，就是A的相似对角化。那这节课就是更一般一些，研究的就是一般性的A相似于B问题。好，关于A相似于B，我们先复习一下相关的定义和重要的性质结论。设A与B都是N阶矩阵，假如说存在着这样一个可爱的可逆矩阵P使得P逆ap等于B成立，PEAP等于B成立，我们就称A是相似于B的，它的符号就记为A相似于B关于这个定义，我想给大家说明这么几点，强调这么几点。 首先第一点，就你在碰到矩阵相似的抽象性问题的时候，我们用这个式子反而用的少。因为在抽象型问题的时候，往往这个P矩阵不清楚，所以你这个拼音很难去表示，懂吗？很难去表示，所以我们就是为了处理问题的方便，会写AP等于PB的形式。因为这两个式子实际上是等价的。但是这个式子有个什么好处呢？它没有出现这种睥睨结构。在抽象性问题中，这个批腻是很难去表示出来的，懂吧？所以抽象性问题往往用这个用的多，这个我们待会儿再讲题目的时候也会有体现，好吧，这是第一件事情。 然后第二件事情我想强调的就是关于A相似于B的这个符号，一定要把它和这个矩阵等价，还有合同要区分开来。好吧，这三个事情不要搞混了，我这里写在右边给大家强调一下。首先矩阵等价，矩阵等价实际上是一个非常弱的性质，对不对？两个同阶的矩阵如果等价的话，只能说明它们的值是相等的，是吧？所以等价的符号是这样的，这个要记得。 然后我们这节课讲的这个相似的符号是这样的，后面二次型讲的合同是这样的？这个符号一定要区分开来，哪个性质是最强的呢？很显然相似是最强的，其次是合同，最弱的就是这个等价。因为相似的话，我们待会要讲的这个必要条件，你会发现它们质也是一样的，特征值也是一样的，对不对？合同只能说明它的特征值的正负情况是一样的，是吧？等价只能说明两个矩阵的值一样，等价是最弱的，这个要区分开，这第二件事情。 好，然后接着我们就来说一下它的必要条件。关于相似的必要条件它有很多，那么这些通通都可以从这个定义出发去推导出来。你比如说首先它们的特征多项式一样，这个非常好推，这在基础阶段也给大家推过。你就把这个B等于PDAP给我带进来，就根据这个定义式B等于PDAP带进来，很容易去证明这两个是一样的，好吧，这里我就不详细去说了，大家可以自己去证一下。 由于特征多项式一样，那算出来特征值当然就是一样的喽。既然特征值一样，大家思考一下，我是不是能知道行列式和这个矩阵的记忆是一样的。因为行列式就等于特征值的乘积，矩阵的积就等于特征值的和，所以由这一个就能够推到这三个，懂了没有？所以这四个大家都一样，完了之后还是利用这个相似的定义你带进来，很容易发现A和B这两个矩阵的质也是一样的，为啥呢？因为B矩阵就等于这玩意儿，它就相当于A矩阵的基础之上组成一个P匿右乘一个P那不管是PD还是这个P都是可逆矩阵。你在A矩阵基础上佐成可逆阵，右丞可逆阵改不改变它的值？不改变，所以A与B的值是一样的。同样在离用这个定义你带进来，你也同样能证明这两个东西它们的值是一样的，这里我就不具体去去写了，总之都是围绕着这个定义出发，都能够证明出这样一些性质必要条件。 这有几条就有六条，对不对？这有六条。那我想跟你补充说明的是，我们最常用的是这两条，这两条是用的最多的，往往在碰到那种利用相似的调条件去求参数的时候，我们首先考虑的就这两条。因为它最容易观察，最容易计算，这个你要清楚。 然后还想说明的一点就是这六条当中有一条是杀手锏，最后一条就是杀手锏，这个杀手锏我们一般不轻易用，一般不轻易用，只有当你前面不好用的时候，我们考虑用这个。因为就是你要去算这两个东西的痣，往往来说没那么方便。相比于行列式和G而言，它还是要算起来要麻烦一些。但是它前面解决不了的时候，不要忘了杀手锏，因为杀手锏它能够提供最为丰富的信息。我告诉你杀手锏这条，它能够提供最为丰富的信息。所以前面处理不了的参数问题，后面可以求出来，这是第二件事情，你要清楚。 然后第三件事情，关于这个必要条件，我想重点强调的就是你记住了这只是必要条件。哪怕这六条必要条件都满足，我也不能够去说明A相似于B因为它只是一个必要条件。这个例子不要求大家掌握，你就听一遍好就可以了。你只要心里面清楚这件事情就是必要条件，不能够推相似就可以了。这个例子其实我们在这个阶段也讲过，对不对？A等于这样一个矩阵，11010000，然后00001101。然后B矩阵。 等于。 1000011000110001，这两个矩阵你感兴趣可以自己验证一下，但是节约时间不验证也行。总之你听我说一下，这两个矩阵它满足这所有的必要条件，但他们就是不相似的。好吧，你清楚证明这件事情就可以了，就是关于必要条件我们说到这里。 好，接下来我们复习一下矩阵相似的常见性质。这几条性质都非常重要，大家一定要把它记清楚，要非常熟练的全传递性。A相似于CB相似于C那么根据这个传递性，以C作为一个中介桥梁，我们就能推出A与B相似这所谓传传递性。 好，然后第二条性质，如果A相似于B我们能推到什么呢？除了上面讲的这些必要条件，我们还能够推出KA和KB是相似的，当然要求K不等于零因为K等于零就没有了，两个零矩阵它当然是相似的是吧？两个同阶的零矩阵的话当然是相似的。好，然后A的M次幂和B的M次幂也是相似的，FA相似于FB，这都可以由A相似于B推导出来。 好，除此以外A项CB还能够推到他们的这个三大运算矩阵，也有这样的关系是吧？比如说转制之间是相似的，伴随之间是相似的。如果这个矩阵可逆的话，这个逆矩阵之间也是相似的。看到没？所以A相似于B他们的三大运算矩阵也是相似的，它能够推到你看A逆相似于B逆的话，那FA腻自然也相似于FB腻，这都可以推出来。还有一条非常特殊的，我们蓝色重点强调一下非常特殊的这一条，大家也可以记一下，就是当A相CB的时候，并且A可逆的时候，然后我们能推到AB和BA是相似的，这个非常好证明。 你看我证一下AB在AB的基础之上，我左乘一个A匿右乘一个A你发现它就等于什么？那这一块是不是抵消掉了，所以是不是就等于BA，所以它就等于BA那你看这不就是相似的定义吗？我把AB和BA都看成整体，这个矩阵的基础之上，左乘A匿右乘A等于这个矩阵，这不就是相似的定义吗？你就把这个A看成我们定义当中的P矩阵是吧？这不就是相似的定义，所以我们就能推到AB和BA是相似的，这个大家要非常熟练才能够反应的过来好吧？ 当然你把这个A列的条件换成B可逆是不是同样可以推？你把它换成B可逆能不能推？当然也可以推，是不是？无非就是如果是换成B颗粒的话，我们也能够说明，你就相当于在这个BA的基础之上，那就是左乘一个B例，右乘一个B呗，它是不是就等于我们的AB了？所以这个是不是也能说明BA和AB是相似的？都一个道理。就是说A相似于B并且这其中一个是可逆的，我们自然能够推到这两个矩阵是相似的。好吧？ 好，这说远了，说远了，我们回到这里，回到这里，我们继续说一下第五条性质，就是关于一个分块的结论。关于这种分块的结论大家也要清楚。如果说A相似于CB相似于D那么由它构成了一个分块，对角矩阵也能够相似于这样一个分块。就垚举着，所以你就什么意思呢？就相当于你这各自的小块之间是相似的，那么把它拼在一起形成的这个大块也是相似的，就这个道理，好吧。这几条性质希望大家牢记，这五条性质牢记。 然后这五条性质我还想特别强调一点，就是因为现在考题这个现代的风格就是这样。就是你熟练的东西，平常用的东多的东西，他反而还不考它，就考一些你平常没有注意到的点，这是这几年的一个风格。所以我想特别强调一点，就是这些结论都是A相似于B我们能够推到什么是吧？A相似B能够推到什么？我问你后面这些东西能不能反过去推？A与B相似，有没有想过这样一个事情？那我要重点强调一下哪些可以推呢？这就和前面我们讲特征值与特征向量那个表格，哪些是可以倒推，和那个地方非常相像。 这个KA和KBKA和KB然后如果A可逆的话，AD相似于B例，还有这个A转制相似于B转制，这三个家伙是可以倒退的，就是这三个家如果成立的话，能够倒推出A相似于B但其他的不行，其他的比如说这玩意儿M次幂，A的M次幂和B的M次幂相似就能推到A相似于B吗？这不纯纯扯淡吗？我这里搞两个不同的幂零矩阵，这个M次幂M搞大一点，那都会变成零矩阵？难道两个零矩阵之间相似，你能推到A与B相似吗？不对，伴随矩阵是不是也同样存在这样一个问题？因为伴随矩阵我们说只要这个A矩阵和B矩阵的值都小于N减1的话，那这个伴随矩阵通通都是零矩阵，都是鸭蛋。你能够由两个零矩阵相似，能够推到原来这个A与B相似，这都扯淡是吧？所以这些都不能倒推，那这个就更不用说了是吧？ 所以一定要清楚哪些是能够倒推，哪些不能倒推，这个务必要牢记，好吧，务必要牢记这几个。为什么可以倒推呢？你直接从定式出发就能够推导出来，你就由定式出发，由相似的定义出发。你比如说我就给大家证一个，我就证这个A逆相似于B你怎么去推A相似于B好吧，我这里写在右上角给大家写一下，若AB相似于B力，那么很明显根据相似定义我们就有存在的P逆A力，P等于B力，对不对？我在这个基础之上只需要在两边什么两边取力就行。因为你要得到。 A与B. 的一个关系，所以我就在这个基础之上两边取。你看清楚，我两边取匿，那么自然就可以推得红色笔。重点强调一下这个会成，所以P腻放到最前面来，然后中间就是A逆的逆，中间A逆的逆，那就是A跟上，然后最前面这一个就是睥睨的逆，放到最后面就是一个屁，然后等于什么？右边就是个B所以你看这是不是能推到A相似于B，所以它是可以推导出来的，它是可以完全的根据这个定义倒推的这两个也是同理，这三个是可以倒退的，请你记住了，请你一定要记住好吧。就这个事情当然我不能说，因为我强调这个倒推的事情，你这正向的结论反而搞忘了，那不行，这正向的这五条也非常常见的，大家要把它搞清楚。好，关于性质我们就说到这里。 然后接下来要重点强调一个问题，就是如何去判断或者说证明两个矩阵相似。请你记住了，在考研范畴当中，我们判断或者证明两个矩阵相似主要就是靠这个定，你根据题目的条件去验证。PDAP是不是满足的？PDAP是不是满足了，或者一些抽象型问题，我们就是验证这个AP到底等不等于PB我们说抽象性问题往往不出现这个PE？ 就验证这个或者是根据相似的传递性也可以。你比如说你要说明A与B相似，我找到了一个中介矩阵C我发现A和C相似，B和C相似，那我也能够根据传递性推出A与B相似。然后我特别想说的就是这个中介矩阵C往往就是这样一个对角矩阵，所以我们处理两个矩阵相似问题，就这两条路，你要么用定义，要么用这个传递性。记住了吧？要么用定义，要么用传递性。 好，接下来接下来我想用这个流程图语言重点给大家讲一下这个相似的传递性问题。用关于相似的一个传递性问题，在这个相似的大题当中考的非常多。所以请你一定要把这一类问题要作为一个模型给它记下来，要搞清楚好吧？ 如果说A相似于B并且AB都能够相似对角化，让你求可逆矩阵P使得PAP等于B这类问题一定要深刻理解。既然它们都可以相似对角化，然后我又说A和B是相似的，也就是说他们肯定相似于同一个对角阵，是吧？因为根据题目意思，A相似对角化，那这个对角阵不是别的，就是特征值的排布。B也能够相似对角化，这个对角阵也是特征值的排布。拉姆达1，兰姆达2，兰姆达3，我就以三阶为例，这家伙也是拉姆达1，兰姆达2，兰姆达3。你会发现这个对角阵是一样的吗？是吧？因为它们特征只是一模一样，所以我就可以这个对角阵作为一个中介桥梁作为一个中介桥梁。 因此我们就有根据上节课相似对角化的知识，我们知道相当于就存在着一个可逆矩阵P1，使得P1逆AP1是不是等于这样一个对角，下面是不是相当于就是有一个PREBPR等于对焦。接下来你就把这两个式子给它连接到一块去连接到一块去。这个个连接的过程，我们可以采用这种矩阵运算。我在右边给大家写一下，可以采用矩阵运算。没毛病，相当于就是PP1逆AP1等于对角，等于PREBP2。好，接着过河拆桥，把中间的给它拆掉，把中间拆掉。 好，接着你再想一下。 你要求的是PDAP等于B你要求的这个式当中B是孤00的单独的那这里面B矩阵是左拥右抱，左右为难，都把它包着，但是很不好处理。怎么想办法把这个右边给它弄干净，怎么弄干净呢？方法也是有的，我们给它左乘一个PR右乘一个PRE不就完了吗？你这是个等式，所以两边要进行同样的操作。我也给它左乘个PR右乘个PR逆，看懂没有？所以经过这样一个变形之后，你会发现这里约掉了，这个B就被露出来了。 所以B等于什么呢？就等于A矩阵右乘这个P1P2的力，左乘这个矩阵你可以去验证一下，很容易验证它正好就是P1P2逆的力，很容易验证它就是P1P2逆的逆。所以接下来你把这个矩阵看成一个整体，看了一个整体，那这不就是相当于这玩意儿的力乘以A乘以这个矩阵等于B吗？所以我们就找到了这样一个P矩阵，这个P矩阵不是别的，就是这个东西看懂了没有？就是这样一个过程。 但是这个数字运算，很多同学他不是很熟练，又或者我个人觉得这样去写这个过程还是有点慢了，还是有点慢了。所以我设计了一套流程图语言，这样理解起来会更为方便。这里希望大家把这个流程图语言要记得我写在左边，把这个流程图写在左边。我们一定要学会这样一件事情，就是给你这个式子，我可以用一个流程图语言来表示这样一个变化的过程。 看清楚了，就是A通过一个某个作用变到了对角阵，这是起点，这是终点。通过什么样的作用呢？是不是左成P1逆右丞P1，核心就是通过一个P1矩阵，所以我们作用的手段就是P1矩阵，作用的手段是P1矩阵。记住了，我们定义的作用手段是这个相似的定义式当中的右边这个玩意儿，定义的是右边这个玩意儿。 好吧。 所以我们就定义这样一个流程图源，这一幅流程图就对应的这个式子，这幅流程图就对应这个式子。下面这个那自然就是用B箭头通过PR矩阵的作用到了对角阵，是不是这个意思？然后这里要特别注意的是，我们这样一个变换的过程，它是可逆的，就是A通过P的作用到了对角阵。那么反之也是成立的，就是这个对角线对角阵记住了。 我通过。 这个通过PE的力，PE的逆的作用也能够回到A矩阵，懂吗？这个过程变化的过程都是可逆的。下面是同样道理，这个对角阵通过PR逆的作用也是能够回到B矩阵的。好，我们翻译这个过程，我请你现在就把这个流程图的原就下面这个对角阵通过PE逆的作用回到A矩阵。这个流程图的语言翻译成这样一个矩阵等式，你要会翻译，就正过来，反过来你都要会好吧。翻译就指的是对角正通过霹雳的作用，通过批逆的作用。 我们说了我们定义的这个作用的矩阵是定义的是这个相似的定义式当中相似的定义是什么？相似的定义是方框的力乘以一个乘以一个乘以这个A矩阵是吧？然后乘以这个方框，那等于了一个B矩阵。我们相似的定义式当中是把右边这个式子定义为我们的作用矩阵，好吧？所以你看对矫正通过PE的力的作用回到A所以就是对矫正的基础之上，右丞这个作用矩阵，然后左丞这个作用矩阵的逆PE力的力，然后等于这个A，想一下是不是这样一个过程？这不就是P1角PP1逆等于A. 那我们。 很清楚如果说P1逆AP1等于对角，那自然就等价于A等于P1角P1逆。这个大家都非常清楚的是吧？啊，有的同学可能会觉得引入这个流程图语言，反而把这个问题搞复杂了。他说我从这个推到这个，我非常清楚。这我都形成肌肉记忆了，一下子就可以写出来。然后你推导这个设置，我可能也非常熟练。但是这里在处理更复杂的问题的时候，比如说三个矩阵，又或者是这个变换的过程，它不是这个套路，它是A到角，然后角到B这样一个过程。有的时候会有点麻烦。所以为了照顾所有基础的同学，用这个流程图语言去分析问题会更清晰一点，懂吗？ 你看它清晰在哪？首先我们把这个正过程、逆过程都给大家解释清楚之后，接下来你再处理所有的这种相似传递问题，你只需要把这些过程给它拼接在一起就行。所以接下来做一个重要的事情，重要的工作就是要学会拼接流程图，要拼接怎么拼接也非常简单。 你看我们就是以对角阵作为桥梁，所以你就把这里合到最右边去就行。那怎么合？因为你的起点是A终点是B中间要用对角线作为桥梁，所以你这个流程图整个的完整过程肯定是A通过一个P1的作用到对角，然后角通过一个什么作用到B角通过什么作用到B呢？那很明显是角通过PR逆的作用到B，所以就角通过PR逆的作用到B然后你记住了所用的这个作用手段之间是相乘连接的，作用手段是相乘的，就这些作用矩阵是相乘连接的。因此这整个过程可以描述为A通过就把这个过程最后合并等价为一个，就是A通过一个P1乘以P2。逆的作用到了B矩阵。我说了作用矩阵之间是相乘连接的关系，你看是不是这个就是这个。 所以以后要学会。 在脑子里面或者在草纸里面建立这样一个相似的流程图，好吧？这对我们分析问题往往能够起到帮助，使我们分析问题思路更清晰，这个要会好。接着我们这一块先不说例题，先把方法论讲完，我们后面会讲这对应的例题。其实我们有道真题就是考察这个问题，我们先把方法论给大家讲完好，我们再接着再讲一类问题。就是请你思考一下，如果说A与B它都不能够相似的话，那完了我们找不到这样合适的桥梁了是吧？他们都不能相似的化，那么我们该如何去判断或者证明A与B相似呢？ 请你记住我们前面说了，判断或者证明A与B相似就两个手段，要么从定义，要么用这个相似的传递性。现在他们都不能相似，对角化的时候你往往就不好找那个中介矩阵，所以传递性这个路大概率是行不通了。所以你就从定义出发，记住，在这种情况下往往是从定义出发，从定义入手从定义入手从定义入手从定义入手这一块往往用这种抽象的关系，就是从AP等于PB入手。而且往往我们是要自己人为假设出P矩阵，假设出这个矩阵P然后根据这个定义式进而转化成一个方程组。问题去处理。 好吧，这是这类问题的思路，这类问题思路，这类问题考研倒是现在还没考过，没考过，大家可以作为一个比较新的点，一定要留个印象。我们后面也有个小节，专门就讲了这一类问题。我们绝对相似的最后一个小节，其中就会讲到这种题型，我们到时候结合那道题目再具体给大家展开去讲。 好吧？先有个印象OK，那么讲到这儿，我们相似的支点部分也就都说完了。接下来我们看到矩阵相似这个小节的立体部分。这一块内容主要有4种题型。 首先类型一就是利用矩阵相似的必要条件以及性质去解决一些问题。有类型我们要会判断或者说说明两个矩阵之间为什么是相似的，或者说为什么是不相似的。第三个就是要学会严格的证明，要能够证明两个矩阵之间是相似的。第四种类型就是要求两个矩阵之间相似的变换的手段，就是那个P矩阵，PDAP等于这个B这个P矩阵如何求解？这个也是基本功好吧，主要就考这四种类型。 接下来我们就依次来讲。我们先说类型一，就是利用矩阵相似的必要条件以及性质去解决问题。这里面比较常见的，我们会利用这个必要条件以及性质去求解诸如说这个参数问题了，诸如说行列式了，又或者是矩阵的痣等等，这都有啊。 我们依次来看，先看例一给出这样两个矩阵，说它们相似，求解这个参数B怎么求解？利用必要条件，你比如说利用这个矩阵的G是不是能得到一些信息。我前面也跟大家提到了，我说这个相似的必要条件，先用这个矩阵G因为最好说明毫无计算量，非常好用。所以你看这个A矩阵的既对角线元素之和加在一起，很明显就是小A减一喽。然后B矩阵它是个对角阵对角阵，它是个对角的，它的这个矩阵的G加在一起就是一个这个B加一是吧？从而我们就可以推导把这个AB移到一边，A减B等于2。 但是这一个方程你还挤不出这个参数，所以我们还得找一个，那就再来一个必要条件，用什么呢？我们常常就是说用这个行列式，是吧？行列式相对而言也是比较好算的。因为这里面B是对角阵，A第一行又有两个零，所以都比较好算。你像A的行列式很明显就是一个从第一行展开的，就是负二的，就是A减2，这个可以理解吧，从这里展开算很容易算得。然后B矩阵它是个对角阵，行列式也好说就是-2B好，接下来我们可以两个-2可以约掉，把AB移到一边，所以它也一项整理得到A减B等于2A这里就奇怪了，你会发现这两个得到是同一个方程，那同一个方程怎么解出这个参数B能解不出来，这个时候不要慌怎么办？继续用更强的必要条件，你比如说我们就可以利用什么，我们这个时候就可以考虑一下，我写右边，我们就可以利用这个特征值相等或者说特征多项式相等是吧？ 这是一个意思我们。 就可以用这个，这个就要比这两条就稍微强一点。那我还告诉你，如果说发现用这个都搞不定的话，那杀手锏启动是不是？我们杀手锏就得启动了。就前面讲的兰姆达一减A的质，等于兰姆达一减B的质，这个家伙他是最强的，最好用的那我想告诉你这个题型，真题当中他只在选择填空题当中考过，在大题当中没有考过。所以他万一以后可能就会改变一下。 比如说在某个大题的相似问题当中，我设置一个第一问让你求参数。这个参数用这个求解不出来，用这个求解不出来，用这个也求解不出来，你非得用这个，那你就不要忘了这一点，这个杀手锏有的时候可以用。我还想说，如果他考到这个杀手锏去判定的话，他常常会取这个拉姆达，是重根的情况，因为重根提供的信息更丰富，好吧，重根提供的信息更丰富。因为你去观察一下真题，就是现在大家可能没有这个体会。你等强化完了，你后面去做真题的时候，你会发现你去观察一下真题那些矩阵，真题当中这些矩阵的三阶矩阵的特征值往往是拉姆达1，拉姆达等于拉姆达3。类似于这种结构是出现频率最高的，就三个特征值当中带个重根，这种是真题最喜欢考的，好吧？所以它有的时候可能就会怎么样呢？你就取这个特定值为重根，然后这两个值相等，就得到一些参数的信息。 这个杀手锏单要有这样一个印象，好吧，OK回到这道题，我们就还不至于动用它。其实用这一条就能够解决问题了，用这个特征值或者说特征多项式就够了。我们会发现这个B矩阵是个对角阵，那对角阵的话实际上就意味着这三个元素就是它的特征值。换句话讲，其实这个条件讲的是什么呢？讲的是A相似于这样一个对角阵。其实这个对角阵这三个元素就指的是A矩阵的特征值，能理解吧？所以我们就可以利用特征值这个信息，它会更强一点。 我们去把lambda一减A这个特征方式给写出来，把A矩阵特征值给求出来，好吧，我们求一下拉姆达一减A的行列式，它就等于先写对角拉姆达加2，然后是lambda减A兰姆达减1，其他地方填负号，00-2-2这个-3-1对吧？好，这样一个行列式，我们很明显从第一行展开是比较好算的，很容易就可以算的。我写下边它就是一个lambda加2乘以一个兰姆达减A然后兰姆达减一减去一个没毛病。好，那么我们就是说你令这个拉姆达一减A等于0，就令它等于0。按理来讲，你解出来特征值是什么呢？是不是就对应的是-1 2B，是不是这个逻辑？好，那很明显从这里就可以解出来一个-2，这个负二只能。 是谁。 想一下，因为这里已经有负一和二了，它都不是-2，所以这个负二就只能等于B了，是不是？因为它三个特征值，三个特征值是-12和B现在已经解出来一个负二了，那你说这个B是不是只能取负二了？所以这道题我们马上就可以推得，这个B等于-2。 当然你如果感兴趣。也可以去把这个参数A给求解出来。能不能理解就是怎么去求解这个参数A呢？我们就可以把这个特征值负一以特征值二带到这个里头来。你拉姆达等于负一，这个根拉姆达等于2，这个根肯定是从这里面出来的。所以把负一或者二带进去，肯定是满足这玩意儿等于零的。 所以我们就带入，比如说拉姆达等于2，代入这个兰姆达等于2，肯定就有2减去A乘以2减1减去2，它就必须要等于0，是不是这个逻辑？所以我就能推出来这个二减A，它就应该等于一个二，所以就可以推出来A等于0，因此这个小A也可以解出来，懂了吧？所以这道题大家就要学会利用这种矩阵相似的必要条件去求解。好，关于这道题我们暂时就说到这里。 说到这里，接下来我们再看一下例2。第二给出了一个三阶方阵，然后阿尔法一、阿尔法2、阿尔法三是线性无关的三维列向量。接着给出三个这样的条件，这三个条件我们在向量章节就见得非常多了。它往往是怎么用呢？往往我们把右边给它理解为阿尔法一、阿尔法三的格线组合结构。把这三个式子给它拼在一起，形成一个分块矩阵乘法，从而利用这样一个式子的特点再进行处理，对不对？限量章节就频繁用吧，那么这里也是一样的处理操作。 实际上这道题是我拿真题改的，真题原题是什么样的呢？是这样的一个结构，这是AR法一，这是A阿尔法2，然后这里是A阿尔法3，它左边结构要简单一点。那这种条件我们王老师怎么做？我们是不是把这三块拼在一起，所以我就得到A阿尔法一、A阿尔法2、A阿尔法3，它就等于你把它拼在一起，这就是阿尔法一加上四倍的阿尔法2，加上两倍的阿尔法3，然后给它擦一下。第二列就是一个四倍的阿尔法一加上六倍的阿尔法2喽，然后就是四倍的阿尔法一加上阿尔法2减去阿尔法三了。我现在不是在讲这道题，我就现在就把左边的换成蓝色的，我看你会不会处理，会处理。就得到它，得到它之后，然后我这个家伙我可以写成一个A乘以阿尔法一、阿尔法2、阿尔法3。 然后这个家伙我也可以给大家写成一个什么，写成一个阿尔法一、阿尔法2、阿尔法三去乘以一个数字矩阵。这个数字矩阵就是142，然后460，然后4141。我就讲一列，我就讲一列。比如说这第一列怎么来的，就是由它乘以这个第一列得到的。你看它乘以什么东西才能得到阿尔法一加上四倍的阿法，2，加两倍的阿尔法3，是不是对应的系数就是142？142就填在这里。 所以接着你就看我就得到了个什么条件，就得到了一个A矩阵乘以这样一个矩阵，等于这样一个矩阵乘以一个数字矩阵。那这个条件在矩阵相似这个章节怎么用呢？是不是感觉和矩阵相似的定义是很像。我们这里面阿尔法一、阿尔法2、阿法三是线性无关的三维列向量。所以这三个列拼在一起的这个矩阵，它是质是等于三的，它是一个三阶方阵，它是一个满字的三阶方阵，它是一个可逆阵，所以它就相当一个可逆矩阵P因此这道题我们条件就得到AP等于一个P乘以一个数。具体的数字矩阵懂了没有？就可以这么去处理，所以这道题它整体的思路就是这样一个方向。 那么我现我们现在回到原题目，就把蓝色的部分擦掉，回到原题目他麻烦了一点，这样改变之后麻烦了一点，麻烦在哪呢？麻烦在左边的处理，它左边结构要复杂一些。但是大家想一下，我是不是可以利用这些式子同样可以得到A阿尔法一、A阿尔法2、A阿尔法3。你比如说我用这一块，我去减去这个A阿尔法一，是不是就只留下了A阿尔法2？我如果用这个A乘以阿尔法2加上阿尔法3A乘以阿尔法2加上阿尔法3，我就减去一个A阿尔法2。是不是只留下A阿尔法3？所以我进行这样一个相减的操作，马上就可以回到刚才那道真题。这懂了吧？ 因此我们这里面你就用这个A阿尔法一加上阿尔法2减去A阿尔法一，这就可以得到我们要的AR法。它等于什么呢？你用这一块去减去这一块，这个两式一减就得到一个三倍的阿尔法一加上两倍的阿尔法2，减去两倍的阿尔法三类似的道理。A阿尔法三是不是就可以用这个A乘以阿尔法3加上阿尔法二去减去A尔法2，所以它就等于这个四倍的这么多，加上这么多，加这么多，去减去这玩意儿，好吧，两个一减得到的是这个阿尔法一，减去阿尔法2，是一个是一个加上阿尔法3。好，得到这个。 那么接下来这个问题就好处理了，我们就利用这三个条件看清楚，我用荧光笔把它圈起来，这个条件，还有就是这个条件以及这个条件，然后你给它拼在一起，就思路是一样的。我们就把A阿尔法一、A阿尔法2、A阿尔法三给它拼在一起。那么你会发现它等于这里就是阿尔法一加上四倍的阿尔法2，减加上两倍的阿尔法3。然后这个式子怎么这么长，我往下写好不好？然后拼上这个三倍的阿尔法一加上两倍的阿法2，减去两倍的阿尔法3，阿尔法一减去阿尔法2加上阿尔法3，接着你像这个式子，我们就可以写成乘法的形式，阿尔法一、阿尔法2，阿尔法3乘以一个数字矩阵，就是14232-2 1-1 1，能理解吧？左边左边就可以写成一个A乘以阿尔法一，阿尔法2，阿尔法三好，现在盯着这个式子看，也就是说A乘以这样一个可逆阵等于这样一个可逆阵乘以一个具体的数字矩阵，这就是矩阵相似的定义。 我们说你令这一块等于一个P矩阵的话，就是AP等于PB了，所以就得到A相似于B了。那么你这个什么A的这相关的行列式问题通通可以转化到B的身上去，转化到B的身上去，懂了没有？所以根据矩阵相似的性质，我往上写，写到这儿，所以我们就有A腻加上E的行列式等于B腻加上E的行列式。 所以你接下来要做的事情就是把这个B腻加上E的特征值求出来，是吧？因为特征值是成绩就是行列式，所以关键就是要求B逆的特征值，那也就相当于求B的特征值，就是要求B的特征值就好了。好吧？这个大家就自己去求一下好吧，就这样一个具体的数字矩阵的特征值，我就不带大家去求了。总之大家在草稿纸上浅浅的偷偷的求一下，你就可以求出来。 就说这样一个B矩阵的特征值，它就是-32和5这样三个特征值。既然B矩阵的这三个特征值是这么多的话，那我问你BE加上E的特征值你会不会求？会求，因为B的特征值如果是这么多表格一画，B逆的特征值就是什么？是不是取倒数，渠道数就是负的3分之1、2分之1和5分之1。好，BD加上E的特征值就在这个基础上再加一个一，所以自然就得到了这个3分之2、2分之3和5分之6。行列式就是特征值的成绩。所以把这三个特征值乘在一块，3和3约掉，二和2约掉，留下5分之6，是不是这个道理？所以最终结果就填5分之6，懂了吧？这就是这道题的一个思路，这道题的一个思路大家要理解。 好，然后我还给大家补充说明一下，这道题它这个计算还是比较仁慈的，主要体现在左边这一块。如果左边这一块它也搞得很复杂。假如说这道题设置成这个样子，就左边也很复杂。不是说两式相减就马上能得到A阿尔法一，A阿尔法A阿尔法3。假如说左边搞得很复杂，那你就用这个矩阵乘法去表示。你比如说我就以这道题为例，我们这个A阿尔法一，A阿尔法一加上阿尔法2，就把左边给它拼拼起来，A阿尔法3加上阿尔法2，你也可以这么去理解它它就是相当于A矩阵乘以这样一个阿尔法一，然后阿尔法一加上阿尔法2，然后阿尔法2加上阿尔法3。 那么这样一个矩阵，同样可以利用分块矩阵乘法，你可以把它写成什么呢？写成这个阿尔法一、阿尔法2、阿尔法3乘以一个数字矩阵。这个数字矩阵很明显就是100，然后110，然后011这个会写吧？这个会写。你比如说以第一列为例，它乘以第一列得到的应该是阿尔法一，你自然就填100，这样相乘才能得到阿尔法一。第二列的话很明显就是填的110，第三列你这里阿尔法2加上阿尔法3，所以填011。 如果左边结构比较复杂，不是说一眼能看出来，两式相减，它它就能得到A阿尔法2，A阿尔法3。那你就可以用这个形式去去处理，懂了没有？把这个矩阵叫做C矩阵。想一下，也就是说接下来我们就得到A乘以这个阿尔法一、阿尔法2、阿尔法三乘以这样一个C矩阵等于右边我们刚才说了，这右边右边是不是可以写成什么？右边是不是可以写成阿尔法一、阿尔法2、阿尔法三去乘以这样一个142，然后460，然后这个41-1 2。把这右边给它拼在一起是不是等于这么多好。那么接下来你会发现和前面的形式好像不好像有点不太一样，它这里多了个讨厌的C矩阵，这个不用担心，因为C矩阵它是一个已知的数字矩阵，你只需要两边乘以CD就好了，两边又成CD懂吗？然后这里就被干掉了，然后无非就是说这一块把它重新算出来。 比如说它叫一个D矩阵，所以你同样能得到A乘以这样一个可逆证，等于这样一个可逆阵乘以D矩阵。这个D矩阵也是一个已知的数字矩阵，那就得到A与D相似。懂了没有？如果说左边不能够直接观察出来的话，你同样可以利用这种矩阵乘法把它给写出来的。 这个不要慌，好吧，这个问题大家要会，这是很典型的一类这种矩阵相似的题目。主要是见到这种条件要学会怎么去处理，好吧，这个很关键。然后这里也顺便给大家总结一下，就是在处理这类问题当中，往往这个可逆矩阵P题目会有非常强的暗示。 你比如说这里面阿尔法一阿尔法三是线性无关的三维列向量，所以把它拼在一起正好就是个可逆阵。那么这个可逆阵是很有可能作为矩阵相似的手段，作为那个P矩阵去用的。好吧，这是出题人的一个暗示，这个大家要有这样一个意识。OK关于例二我们暂时说到这。 好，接着我们看例3例3也是考察这样一个相似问题。他说三阶矩阵A的特征值是123，然后说B矩阵等于这玩意儿。那我问你这个条件是不是可以理解为B等于FA没毛病吧？B等于FA然后让我们求B阶段的值，你会怎么去求呢？是不是可以利用这个相似的性质因为你看啊我们这个A矩阵，这个A矩阵的特征值是已知的三个不同的特征值，所以A矩阵它是可相似的化的。这个对角阵就是1233个特征值互一，然后B既然等于B等于FA那我问你它是不是相似于F角，是不是这是不是相似对外化的一个性质，没毛病吧？A相似于这样一个对角阵，那么FA就相似于F角。 是这个F角是什么呢？F角就是这玩意儿，就是对角阵减去单位证，对角正减去2E，对角正减去这个3E你就相当于在这个式子当中，把A矩阵换成这个对角阵，这就是F角。那么你就可以把这三个矩阵给求出来，对不对？因为对角阵现在是一阵，你就可以把这三个对角阵求出来。求出来之后，然后你再利用这三个矩阵相乘，就可以得到最终的结果了。 你自己去算一下好吧，最终你会算出来，它等于一个零矩阵。我这样的话我就得到这个B矩阵相似于一个零矩阵。B矩阵既然和0矩阵相似，那B矩阵的质当然也就等于零了，这就求出来了。 这是第一种解法，就利用矩阵相似对角化的性质去求解。但是这个解法当中有一个不好的地方，我觉得这还不够，不是最优秀的解法，为啥呢？因为他要算这三个矩阵相乘，这是比较麻烦的。思考一下是不是这样的那有没有更合适的方法，更好的计算方法呢？我们说当然是有的，这题还可以用解法2，我们可以这样去想，你看A是可以相似对角化的那我们就很清楚，根据相似对角化的性质，那这个B矩阵它也能够相似对角化是吧？它也能相似的话，相似于自己的对角阵叫角B好了。 好，我们前面就讲过，如果一个矩阵能够相似对角化，那么我们是可以利用非零特征值的个数去反映这个矩阵的质的。所以接下来问题就是去求解B矩阵的非零特征值个数就好了。是不是可以这么考虑？那B矩阵特征值好不好求呢？我们说太好求了，因为这道题B等于FA所以它的特征值对应的就是f lambda是不是没毛病？ 假如说我记A的特征值，A的特征值为拉姆达的话，那么这个B矩阵的特征值就是F拉姆达。这个知道吧？F拉姆达是什么？F兰姆达取的就是兰姆达减1，乘以兰姆达减2，乘以兰姆达减3。好，你现在把特征值123给我带进来，把拉姆达等于一、等于2、等于三带进来。你会发现得到的是什么？是三个零。所以这道题B矩阵的特征值就是三个0，B矩阵没有非零特征值，懂了没有？既然如此，那B矩阵的值就是零吗？ 再次强调，什么时候可以用非零特征值来反映矩阵的值？我说了就是你很清楚这个矩阵它一定可以相似对角化的，好吧？一定要记得这个易错点，不然你是不能够用非零特征值去反映一个矩阵的值的。所以这道题这样去做用特征值这个角度去做，它才是最快的OK。 我们现在总结一下，就是如果你要从相似的这个角度去处理矩阵的痣，那么常有两种方式。第一种方式把这个矩阵这个矩阵它相似于某一个矩阵，相似得到的这个矩阵，它的值比较容易看得出来，比较容易计算。你像这个对角阵，它就好计算？我就利用这个好计算的这样一个矩阵去反映我们要求的这个矩阵的值，这第一个手段。第二个手段，如果说这个矩阵能够相似的话，马上就把它转化为非零特征值的个数，用特征值去处理更为快捷。好吧，这个大家要清楚。 除此以外，这道题还有一个方法，就是说你也可以去特殊矩阵。你这里面A的特征值不是123吗？我就取什么我就取A就是这样一个对角阵，A就是123行不行？A就等于123，取这样的特殊矩阵，然后去进行计算也行，万不得已也能够这么做好吧。所以这个问题我们就讲到这儿。然后接下来类似的我们就可以处理例四了。 其实例4的思路和例三是非常相像的，无非它的更复杂一点，它是个这个它是个四阶的它是个四阶的矩阵。好，那这个问题怎么做？这个问题首先第一个方法大家想一下，首先法医我们可以这样的，你B不是相似于A吗？那么我这里面RBRB. 就可以。 转化为RA这个A矩阵就已知的，就可以处理。然后你像这个RB减1，我也可以转化为RA减1，然后B减去RE，我也可以转化为A减去RE的值。我们知道这三个矩阵都是已知的，所以它的质自然是可以判断出来的。 你比如说A矩阵的值，A矩阵的质好不好判断力我们来求一下。A矩阵的值就相当于这样一个，这可以理解为是一个分块对角矩阵，懂吗？就是个经典的分块对角矩阵。比如说这是一个块，然后下面是一个块，这能不能看懂？比如说把上面这个矩阵叫C下面这个矩阵叫D的话，所以A矩阵就相当于是C00D的质。而很明显上面这个C矩阵是不是很经典的质，V矩阵这两行成比例的，D矩阵的值是不是也是等于一的？我们这种分块矩阵的质是个公式的，这种分块对角矩阵的值就等于RC加上RD，所以就等于1加1等于二了是吧？ 这个A矩阵值是好求的，你像A减一的值我们也好求。这个A减一的值我们把它写出来，它就是这样一个矩阵，这对角线全部都减1，那就得到的就是00，然后这11，然后0000，然后0000，然后减1，这里一一，这里2，是吧？那么你会发现这样的话得到的仍然是等于这样一个它仍然是这样一个分块对角矩阵，那它的值就等于这部分的质加这部分的值，那上面注意这个部分的值现在就变成了二是吧？这部分的痣也变成了2，这很容易看得出来的。行列式是不等于零的，所以这里的痣就等于2加2就等于四了。 类似的道理你也可以求A减去RE的值，A减去RE的值求出来等于3，我这里就不写了，这是很类似的，所以就可以用这种方法把它求出来。那这就有点类似于什么？这有点类似于这个例三的方法，一懂了没？就把一个这样的B矩阵的相关的这种问题转化到A矩阵上面去。但是我个人感觉这个求治还是麻烦了。这道题有没有更好的思路，类似于上道题的方法，我们把它转化为特征值问题，是不是可以转化为特征值问题，为什么呢？因为你会发现这个A矩阵它其实是挺特殊的。这个A矩阵这个A矩阵我们写一下，所以这道题罚这么做就更快了。 A矩阵它是可以写成一个分块的结构，C00D。好，那我问你这个C矩阵能不能相似角化，是不是可以？这个质为矩阵是可以相对角化的，它既不等于0，这个D矩阵是不是也可以相似对角化，并且它相似相似对角化是什么？我们也很清楚，C它应该相似于20，D矩阵应该相似于40。它的特征值一个是20，一个是40。 那么根据矩阵相似的性质，其中有一条就是关于分块对角矩阵。还记得吗？你这种分块对角矩阵，你这个子块可以相似转化，这个子块相似转化，那么整体就可以相似转化，对不对？所以这个整体就相似于什么，告诉我相似于什么，是不是相似于2040，所以A矩阵就可以相似成这样一个对角阵。懂这个逻辑没有？ 相似成这样一个对角阵，那么其实我们到此我们就知道这个A是可相似对角化的，并且我们也知道A矩阵的特征值是什么呢？就是240。那么当我们得到它的特征值又知道它可相似角化的时候，那么接下来去求什么B矩阵，B减1和B减2E的值是不是通通都可可以转化为转化为AA的值以及A减一的值，以及A减二一的痣，是不是？ 所以我接下来就写一下，就是R一就等于2B等于2A因为A是可以相似对角化的，A是可以相四角化的，所以2A等于非零特征值个数几个两个，所以得到它等于2。然后RR等于B减一的痣，也就等于A减一的痣。A减一的痣怎么处理？别忘了你既然我写右边A可以相似角化，那么FA也都可以相似角化，是不是这样的？等于什么B减，所以你这个什么A减1，A减去RE，它都能够相似角化的。那么A减一的值仍然可以通过A减一的非零特征值个数据反映。那我问你A减一菲林特值有多少个？ 这个时候基本功来了，我在左边列一下我们的熟悉的表格，你这个A矩阵的特征值既然是2400的话，那么A减去E的特征值应该也是非常熟练的。我们马上就可以写出来。它就是对应的是多少，是不是不是13-1-1，所以你会发现它有四个非零特征值，懂了没有？因此它的质是多少？因此它的值就等于4，是这个逻辑。 然后R3等于B减去R一的值，也等于A减去R一的值，它就等于什么呢？通过A减去RE的非零特征值个数据反映，仍然是看到左边A减去RE的非零特征值个数有多少个。在这个基础上特征值减2的话，那得到的就是这个02-2-2对不对？所以它的非零特征值就有三个，所以它的值就等于3，这样做也是可以的，这是方法。 然后还可以补充一下，其实在这道题当中，就是我们推这个特征值，推这个A壳镶四角化，其实也可以换一些手段，这个方法是很多的。你比如说这个A矩阵，大家发现没有？这个A矩阵它实际上是个实对称矩阵，是不是可以看出来它是个实对称矩阵？那么实对称矩阵就必可相似的化，所以你不需要费劲巴拉的用这个分块矩阵的性质去证明它可相似的化。直接就是一句话，A等于A转，所以A矩阵可以相似量化。 那么求特征值，我们也可以用其他的手段，不一定非要用这个。这道题求特征值可以怎么去求？求特征值不一定要这么去求，我们也可以用拉姆达一减A的行列式去求解，好吧？也可以这样去求的，就拉姆达减1，拉姆达减1，然后-1-1 00000000，兰姆达减2，兰姆达减2，负二也可以用这个去求。那接下来就利用拉普拉斯行列式，就等于这个小行列式乘以这样一个小行列式，使它等于兰姆达减1的平方减去1，然后再乘以兰姆达减去2的平方，减去这个4，令它等于0，我们自然就能解出特征值，自然能解出特征值。是2400好吧？这个方法也是可以的，所以方法。 并不唯一。 除此以外交题我们也可以用特殊矩阵去做。你不是这个B矩阵相似于A吗？我就让B矩阵就等于什么？就等于A我说你胆子还不够大，我说你胆子还不够大，你A矩阵不是相似对角化可以相似成这样一个矩阵。我就可以利用相似的传递性，我这个B矩阵就是什么？B矩阵就是这样一个对角阵，行不行？B矩阵就取2400，懂了没有？B矩阵我就取2400，然后我就可以把这几个矩阵都可以写出来，同样可以很快速的得到它们质的关系。 好吧，其实这道题方法是比较多的，大家一定要仔细体会。它的思想和前面的例三非常相像，只不过它这个矩阵要更复杂一点而已。好吧？那么关于这个利用性质来处理问题，我们暂时就说到这里。 好吧，接下来我们再看到类型2。类型二就是要会判断一个具体矩阵或者说抽象矩阵是否是相似的。那么接下来这道经典的例题，请你务必要深刻体会。这个例子很有意思，就是往往去判断这种两个矩阵是否相似，我们会先从给大家写清楚，写在右边好吧，我们先从必要条件入手必要条件入手这个必要条件，相似的必要条件，但凡有一个不满足清楚，但凡有一个不满足？ 直接就pass. 你相似的必要条件不满足怎么可能相似呢？这必要条件当中只要有一个不满足就pass掉，好吧？尤其是这种选择题，我们往往就先从这个角度去排除，先从这个角度去排除，因为你直接去说明相似。我前面也讲了，在考研的范畴我们直接去说明相似，他其实还挺麻烦的。你要么就通过定义，要么就通过这个传递性，那作为一个选择题，你值得这样去操作吗？其实没有必要，我往往是先排除是吧？ 那么必要条件怎么去排除呢？你先从一些简单的，比如说矩阵的G它都不相等，那能相似吗？不行，这个行列式它都不相等能相似吗？也是这样由浅入深的去去排除，懂吗？但是这道题它比较恶心的是什么？你会发现这几个矩阵他他喵的都是上三角，它都是上三角的话，那就是说特征值都是111喽。那那那我们题干这个矩阵特征值也是111，所以你好像从这个矩阵的G，从行列式，从特征值好像都都没啥方法了。这个时候不要忘了杀手锏启动，杀手锏来了，这个时候就可以用这个，用什么呢？ 拉姆达一减A的值，这里这道题特征值是一，这道题特征值是一，所以就是一减去一减去我们题目的这个矩阵，不妨把它记为M好吧？E减去M的值，我们分别就去分析它到底等不等于E减去A的值，到底等不等于这个E减去B的值，到底等不等于E减去C的值，到底等不等于E减去D矩阵的值，你就去分析就行了。如果说他们之间不相等，pass懂了没有？就这样去排除。 所以我们接下来就去看一下题干的这个一减去M的值是多少。那一减去M好对角线是不是全都变成零了？一减去M其他地方填负号，那这里就是负一，这就是负一，所以一减去M这个矩阵很明显，它的值是2。这里有个二阶指数不为零，一减去M的值它等于。 好，接下来我们依次分析这四个家伙的值，比如说一减A的值，那一减A我直接在A选项当中去改。一减A是什么？它是不是就是000，然后其他地方填负号，这就负一。然后这里是一，这里是负一，这就是一减A矩阵。 一减A矩阵很明显有个二阶指数不为零，所以它的值等于ARM，所以它的值等于2，它的值等于二写在这儿，因此这个等号是成立的。成立就是说它至少来讲它是满足相似的必要条件的，是吧？但是我们前面也说了，你哪怕所有的必要条件都满足，也不能说明这两个矩阵就是相似的。你在考研范畴，你就是通过定义，通过这个传递性才能够去严格的证明，所以A选项我们只能说暂时放在这里。 但是我们去接下来去看一下，比如说一减B1减B你看一减B那这00其他地方填符号，这里是一，这里是负一。你会发现一减B是不是很明显？一个正为矩阵它有两个列是零，最后一列是非零的，所以B据这个一减B的是很明显，它就等于一了喽。所以这里面我们很明显它就不相等。既然这两个家伙是不相等，那就不可能相似，懂了没有？所以B选项就可以严格给它排除掉类似的道理。 C选项那一减C它就是000，我直接在选项当中改，所以这里是负一。然后这里是一，你会发现它下面两行都是零了，所以一减C的值也等于一了，所以这个也不可能C选项也排除掉。然后D选项这里就是000，一减D，然后这里就是个一，所以你会发现它的值也等于一，所以这也不可能D选项也排除掉。既然如此，排除法是不是只能选A作为选择题？我们就可以这样去做，它是比较快的，就这种问题，然后我们最后把这道题再给大家深入的去解读一下。 当年这道题为什么作为选择题出呢？因为作为大题去出它太难了。实际上你会发现，你想要去说明这个M矩阵和这个A矩阵它为什么是相似的，其实很困难的。因为我们说了相似往往通过定义或者相似的传递性，我们这个传递性往往利用对角矩阵是吧？ 但这道题你会发现，其实这个M矩阵它是不能够相似量化的。因为很明显M矩阵它的三个特征值。它都是一，但是你会发现这个E减去M的值，它却是等于二的，是吧？也就是说你这个E减去M乘以X等于0，它只能解出一个线性无关特征向量，就是说这个特征值一底下只有一个线性无关特征向量，那它能相似对角化吗？不能，相似最小化我们就要求你这个三重根底下要解出三个线性无关特征向量，是这个逻辑吧？ 所以当他不能相似的化的时候，那么你在考研范畴去说明这两个矩阵相似，就唯独只剩下一个手段，就是利用定义。那这道题利用定义你要去找那个P矩阵是很困难的，懂了吧？至于如何去寻找这种P矩阵，我们后面会讲，我们后面还会说的就是如何去说明两个不能相似的化的矩阵之间是相似的。这个可以通过解方程的手段去求解。好吧，这里咱们先不说，总之这道题为什么当年作为选择题，就是因为这个原因，你要正面去说明很困难，懂吧？ 所以在在考场上很多同学他就会比较懵，因为他会发现他很难严格的去说明为什么和A选项相似。所以我说你在考场上就不要去死抠了。其实当你把BCD排除掉的时候，你就把这个A自信满满的给我写上来，五分拿到手走了就做下一题。懂了没有的时候不要太纠结，因为当年这道题考出来是很新的，现在大家肯定都会了，好吧？所以想跟大家说一下这个考试的一个策略性问题，好吧？ OK接下来我们再往下看这个例6。例6就和例五不一样，例五是个具体性的问题，例六是个抽象性的问题。那就要求我们对前面讲的一些相似的性质要非常熟练了。好，根据我们前面讲的，我们说当两个矩阵可逆的时候，如果说A逆相似B力，这个是不是可以倒推？那么A相似于B我们是不是可以倒推出来就是说A是相似于B的，是这个逻辑。 好，那接下来我们看这四个序号对的有哪些呢？比如说序号一AB相似BA对不对？对的，这就是我们前面性质。我们说了当A相似于B且其中这个A矩阵或者说其中的这个B矩阵可逆的时候，那么你马上就可以推出AB是相似于BA的原因是什么？原因是看清楚了，因为我们这个AB你只需要左边给它乘个A逆，右边给它乘个A你会发现它得到的就是那那在相乘过程中这里就抵消了，它就只留下BA，所以它等于BA好，你现在盯着这里看，这就相当于P逆乘以这玩意儿乘以个P等于了这个BA那就不就得到这两个矩阵之间是相似的吗？是吧？所以圈一是对的，圈一是对的好吧，圈一是对的，然后圈二这个就稍微有点难了。 A加A伴随相似于B加B伴随，对不对呢？我们前面说了，你A相似于B我们确实可以推A伴随是相似于B伴随的，这个没毛病，这个没毛病。但是这两个相加是不是相似的呢？思考一下，这里面我们要深入研究一下，A相似于B那实际上也就是说我写下边，也就是说PDAP是等于B的，没毛病吧？我们前面说过由它怎么去推出这两个伴随相似呢？实际上很简单，就在这个是两边打伴随，在这个是两鞭打伴随，就PDAP的伴随等于B的伴随。 好，那接下来你看接下来你看这个家伙，实际上我们可以利用伴随着计算公式把它展开。根据先来后到原则，它就等于P的伴随就跑到最前面来，然后A的伴随，然后P逆的伴随，没毛病。那这个P逆的伴随相对而言它处理起来就没那么方便。我们可以利用这个矩阵运算的规律，力和伴随之间运算次序可交换。所以把它转化成P的伴随的力，它就好处理一些好处理一些P的伴随着力，我们就可以这样，我们接下来这个整个式子，你就可以把这个伴随矩阵往逆矩阵上去转化，你看就可以转化为往上写好吧。你像最前面的这个P的伴随，就可以写成P的行列式乘以P的逆，然后A的伴随不动，然后你像这一坨，这一坨我们也可以把它写成什么，告诉我这一坨我是不是可以把它写成P的行列式乘以P的逆，这就伴随，然后括号的逆，括号的力，那这会写，这里面自然就是一个P的行列式分支，就是说P的行列式分支，这个P矩阵对吧，所以它就是一个我把它写过来，它就是一个B的行列，4分之1乘以一个P矩阵，这就这然后等号右边，等号右边就是B的伴随。 所以就可以得到这样一个规律。 得到这样规律之后，你会发现P的行列式是个数和P的行列式分之一，是不是抵消掉了。所以它实际上就是什么呢？实际上就是一个睥睨，然后A伴随乘以P等于我们的BB它就可以推出这个，推出这个就有意思了。 大家会发现，你看实际上你A相似于B的这个手段，这个P矩阵它是不是也作为了A伴随相似于B伴随的这个手段。也就是说他们用的是同一个手段，看到没有用的是同一个这个P矩阵用的是同一个手段。所以接下来我可以把这两个式相加就可以得到什么？就可以得到P乘以A加A伴随乘以P等于我们的B加B伴随。所以A加A伴随是不是相似于B加B伴随？你的定义式都写出来了吗？这不就是相似的定义式嘛嘛，所以他们之间确实是相似的，也是对的。懂了没有？也是对的。 类似的大家也可以去说明，我举一个R的姊妹篇，类似的你也可以说明A加上A逆，它是相似B加上B例的。这个也很好说明，就是你会发现你会发现当PDAP等于B的时候，你同样能证明P逆A逆乘以P它也是等于B逆的。这个很好说明，你只需要在这两里面取力就行取匿比取伴随更简单。 大家可以去去去写一下，我往左边写，我好吧，我把圈一擦掉，就是说有PAP等于B你两边取匿，你想一下得到是什么？那这里先来后到原则就是P腻放到最前面，然后A腻然后P逆的逆放到最后面。P腻的腻就是P，P睨的睨不就是P。所以就得到这个式子你会发现这个A腻和B逆确实也是相似的，相似的手段仍然是这个P举人，懂了没？所以你接下来把这个式子和这个式子加在一起，自然就会能得到它们之间是相似的这是相通的，希望大家能够理解是吧？这圈二我们就说到这。 好，其实也是类似的道理，我们也能够去说明这个A转制和B转制是相似的。就是由这个A相似于B我们也能推出转制之间是相似的。这个也很好证明是吧？我把这边擦掉，我这边擦掉。 A转制。 和B转制也是相似的，就是说PDAP等于这个B的基础上，我两边就取转制。这一次我就能得到A转和B转的关系，那这个就是B转，然后A转就是乘以我们的P逆的转，P逆的转也可以写成P转的逆P转的力，然后等于我们的这个B转。那现在你看是不是就你注意这两个矩阵之间什么关系。假如说把它叫成一个C矩阵的话，前面是不是相当于C的力，因为P转的腻，如果再逆一下不就等于P转。所以前面这玩意儿可以理解成这家伙的逆所以这也是一个相似的定义式，就说明了A转是相似于B转的。相似的手段，用的就是这样一个家伙。所以你看就是说A转和B转之间确实是相似的。但是他们的相似的那个手段，那个矩阵就不再是P矩阵了，它是一个这个家伙它比较复杂，看到了没有？所以这个时候这个时候你如果把这个式子和和这个PDAP等于B给它加在一起，那就不是那么回事儿了。 你把这两个式子加在一起，那就没办法处理知道吧？因为他们相似的这个手段不一样，它相加你得不到任何的结果。你像刚才我们把这种相同的P矩阵，可以左边给它提出来，左边PD提取出来，右边的这个P提取出来，对吧？可以加在一起，但这里就加不了。所以这个圈三它是不对的。你可以说A转相似于B转没问题，但是你不能说它加它相似于它加它，因为相似的手段不一样，不能够叠加，好吧，就这个问题。 然后最后我们看到圈四圈4就和圈三它是不一样的。它是一个分块矩阵。大家注意分块矩阵，我们就可以利用分块矩阵的那个相似的性质。就是说你这样一个子块之间如果是相似的，下面这个子块如果是相似的，那么它们整体就是相似的。那么这没毛病，你A确实相似于B，A转相似于B转的，所以它们。这个分块矩阵之间就是相似的圈四是对的，懂了没有？ 所以这道题一定要把这个三和四要区分开那么四这个相似的手段我们可以去找一下这个圈4，也可以带大家找一下。因为我们知道你左上角这个子块它是靠什么相似，它是这个PDAP等于这个B对不对？你右下角这个子块是靠什么相似？刚才我们也写了，它是一个这个PP转乘以A转乘以P转的力，等于这个B转，对不对？它是靠着这个家伙相似的，那么我们就可以这样，就是A00A转，它相似到这个家伙用的手段，用的就是这个东西，就是把这个P矩阵放到左上角，然后这个手段这个P转的力放在右下角，形成这样一个分块阵。你如果把它叫做Q的话，Q就是我们相似的手段。前面呢前面。 就填这个Q的力。 前面呢前面就填这个，前面就填这个Q的逆矩阵，就这整体它就等于我们的这个BB准，它就是靠这个矩阵来相似的，懂了吧？所以这种分块对焦矩阵这个相似的手段大家会找了没有？以后你要会找，你看这个家伙和这个家伙相似用的什么手段，用的P矩阵，这个家伙和这个家伙相似用了什么手段？用了这个那么你就把这两个手段拼在一起，这就构成了我们这个整体这个分块阵之间相似的手段。好吧？这个感兴趣大家也可以自己动手去算一下，我这就不算了。这是这道题。 这道题是比较有预测性的，就这种抽象的这种考察相似性质的问题是很重要的。好吧，大家一定要留个心眼，这是我们的例6。好，接下来我们看到类型3，类型三就是证明矩阵相似，它相比于类型二就更近了一步。你类型2，你就是说不需要特别严谨的说明，你比如说利用一些相似的必要条件要进行排除都可以。但类型三就不一样，就是要严格的证明。 这个在甄真题当中也是有考察过的。有一件真题它就让你证明这两个矩阵之间是相似的，为什么？那么大家会发现这两个矩阵很有特点，是不是？它都是置为矩阵，看到没有？这每行都是1，这前面都是零，只有最后一行分0，它都是这位矩阵。所以你对这位矩阵熟悉你就很清楚。 那么你像这个A矩阵，它就是一个值唯一矩阵了，然后它的G也很好算。很明显你你既然这两个矩阵相似，你很明显从B矩阵当中你可以看到它是个N阶的方阵，对吧？12一直到N，它是个N阶的方阵，那你A矩阵它肯定是个同行的，它这也是个N阶的方阵。好，这个A矩阵的G就对角线这N个一加在一起，它也是N不等于0。所以实际上我们就能知道我们就能知道这个A是可以相互调化的。 A相似于什么呢？A相似于这样一个对角阵，就是一个特征值是一，不是呸呸呸，一个特征值是N其他特征值都是0，对不对？有多少个零呢？有N减一个0。那么类似的我们也知道B矩阵，这个B矩阵的值也是等于一的，它的G你会发现它也是等于N的，是不是？它的积也是等于圆的。所以我就知道这个B矩阵也是相似于这样一个对角阵的，它也相似于这样一个对角阵。 好吧？那么我们就可以。 利用这样一个对角阵作为一个桥梁，从而去推出A相似于B这就是这道题的思路。那作为大题，我们接下来就把这个过程稍微严谨的给大家写一下，好吧？带大家书写一下这个过程思路。我们应该是理清楚了。我们可以这样，我们先求一下，就装模装样的你知道吧？考试的时候你要学会装模装样，就作为矩阵的特征值。我们都是在书写的时候要学会装模装样，我就写一下，把这个拉姆达1减1个，吭哧吭哧的写一下，兰姆达减1，那么减一，兰姆达减1，就是骗一下出题老头，是不是？-1-1，然后复议什么的，复议都都写一写，写一写，然后你也不要去算了，数学老头也不会让你在答题卡上要去写出这个好像是严格的一步一步的计算过程，没有必要你就写个结果就行。 结果是什么？结果我们心里面很清楚。它特征值是一个NN减一个0，所以它的特征装饰一定是长这个样子。懂了没有？直接写，等于0，然后装模装样的写一下，兰姆达一等于N兰姆达二等于兰姆达3，一直等到这个兰姆达AN，它都是等于零的。这有多少个呢？只有N减一个，就这么写懂了吧。 然后接着我们就可以根据什么，我们就可以根据你这个A据是它不是等于一吗？所以你想一下，我们就是说有RA等于1，这个不需要去说明了。你在这个在答题卡上你不用去说这个很明显看出来它每行成比例，你就写RA等于一就行。我们就可以推到什么？推到这个AX等于0，是不是有N减一个非零解？AX等于0有N减一个非零解，不是别的。这N减一个非零解解出来就是零特征值对应的特征向量，是吧？这反复强调了，所以你这里就可以写一句，就是说野鸡野鸡A矩阵属于兰姆达二等于兰姆达3，一直等到兰姆达AN等于0，就有N减一个线性无关的特征向量。好吧。 就写一下这句话就可以了。 那么接下来就可以说明，这个A确实是可以相似的化的，这就够了。好吧，把那个对角阵给我写出来，就是N00000，这就是关于A那么关于B就是非常类似的一个步骤，你再重新再写一遍就行了。拉姆达一减B的行列式，这个也很好算，对吧？那你你会发现拉姆达一减B它就是个经典的上三角。好吧，我们来写一下，我们也都给大家写一遍。Lambda一减B的行列式，你也装模装样的写一下，它很明显是lambda，lambda一直到最后一个就是拉姆达减N。然后其他地方天赋号主要就是这里-1-2一直到什么的是吧？它是个上三角的这样的行列式，所以它等于拉姆达的N减1次方乘一个兰姆达减N它等于从而去推出它分值。他也是那玩意儿，拉姆达一等于N，拉姆达二等等到拉姆达N它是等于零的，好吧，N减一个N减一个，我同样的我去说明这由于2B等于一了，所以姐姐BX等于0。 有什么有N减一个线性无关的这个非零解，有N减一个这个线性无关的非零解，然后这N减一个线性无关的非零解，也即什么B矩阵对应于特征值零的这个特征向量，从而去推出这个B矩阵，它也是可以相似的化的。然后再根据这个对角阵作为中介，从而去推出A与B相似。你就利用这个传递性就把这个问题就说明了，就是这样懂这个逻辑没有，其实这道题我们就可以这样。 除此以外，这道题其实在处理AA矩阵的时候还可以更简单一点。因为这个A矩阵很特殊，大家发现没有？这个A矩阵它是个实对称矩阵，它是个实对据，实对称矩阵B可相似对角化，所以你都不用去不用通过那个什么支唯一去说明，直接就是由于A等于A转，所以它必可相似对角化。那这个对角阵就是特征值的排布，就是N00000，这样就更省事儿更省事儿。好吧，这个利器我们就说到这里。那么证明矩阵相似的这个严格步骤大家要清楚。 好，接下来我们再往下看啊，再看这个例8，例八也是一个证明矩阵相似的问题，那么它比例七就要更难一点。例七是个具体性问题，例八是个抽象性问题。你看这是个经典的真题，A是二阶的矩阵，然后B是阿尔法A阿尔法那你去品一下，既然A是二阶矩阵，那你这个A阿尔法要有E的话，这个阿尔法肯定是个二维向量，这没毛病吧？阿尔法肯定是个二维向量，所以你这里是个二维向量，这里是个二维向量，因此P矩阵它也是个二阶的矩阵，这个先要先反应过来好吧？然后他说阿尔法是非零向量，且不是A的瞬间向量，这个条件很少见。平常我们都说什么什么是它的正向，怎么来一个不是它特征性了，那这个条件要怎么用呢？ 好，我们先放在这，我们看一下他第一问要证什么，第一问证明P为可逆矩阵，那这个怎么证明呢？我们刚才说了P是个二阶的矩阵，对不对？二阶的矩阵要说明它可逆，本质上就是要说明什么，说明这两列不成比例不就完了吗？这两列不成比例，那么它的值就是2，它的值是2，那不就对应着这个二阶矩阵可逆吗？最核心就是要说明，第一问就是要去说明A阿尔法不等于L倍的阿尔法，他们不成比例懂吗？就是要说明它们不成比例，那为什么他们不成比例呢？ 我们可以用反证法，我们用反证法，你可以假设A阿尔法等于L阿尔法，就他们假设它的反面，那么由于阿阿尔法是非零向量，阿尔法是非零向量，那这个式子一写出来，它就构成了特征值与特征向量的定义式。那么马上就可以说明这个阿尔法是A的特征向量，是不是这个逻辑，所以就相矛盾了，与题目条件就相矛盾了。矛盾说明我们假设不成立这个东西不可能取等号，它一定是A阿尔法不等于阿法，他们之间肯定不成比例，他们之间肯定不成比例。因此这两列构成的这个矩阵构成的这个二阶矩阵，它就是可逆的。懂了吧？所以这是第一问，第一问我们就可以这样去证明。 然后重点我们说一下第二问，重点说一下第二问。第二问给出了这样一个条件，让我们判断A是否可以相似调化拿到这个条件肯你肯定是懵了，大脑一片空白，为什么？因为这道题A矩阵都没告诉我们A女生是个未知的东西。 也就是说这是一个什么问题呢？这是个抽象性问题。我们现在一定要学会识别类型，这是很重要的。你一定要清楚这是个具体性问题还是抽象性问题。比如说这个矩阵数字都告诉你了，它就是典型的具体性问题。像这种你这种矩阵都不清楚的，这个A矩阵都不清楚的这是典型的抽象性问题。 面对抽象型的相似问题，我之前是不是跟你讲过，你要去寻找一个什么关系？你要去寻找AP等于PB或者AP等于P对角的形式。对于抽象性问题，我们说了不要去找PDAP，因为这个P逆它往往因为它不是具体已知的，那么这个逆矩阵你怎么去求解呢？它是不太好处理的，我们往往都找这个形式是吧？一定要记得。 所以这道题我们识别出类型之后，我们马上就去找A乘以一个这样的可逆症等于什么？就是说这个AP，那P据称是什么呢？我是不是说了处理老头往往会给你暗示，P真在这里低温要让你证明它是可逆。你说P矩阵还能是什么呢？是不是暗示的非常明显了？这道题的P值我们就不妨去尝试一下，这P矩阵就取这个阿尔法A阿尔法，这就是我们的AP这就是AP好，那AP等于什么？我们最终的目的是要证明出来它等于这个P乘以一个什么东西，好吧，乘以一个B矩阵或者是一个对角矩阵。但是我们中间可以算一下，你这个中间可以算一下，这家伙乘乘出来是一个AR法，A方A方阿尔法对不对？ 好，那我问你。 你怎么把这个A阿尔法A方阿尔法写成这个东西，乘以某个东西会不会写？利用题目条件，利用题目条件，你看哪里面出现了A方阿尔法，是不是这个条件这里有。所以你拿着这个条件看清楚了，拿着这个条件去去把它整理一下。这个A方阿尔法是不是等于六倍的阿尔法减去A阿尔法。所以这就意味着A方阿尔法也是可以用这个阿尔法和A阿尔法进行线性表示的。我们这里面的这个A阿尔法也是可以用阿尔法A阿尔法线表示的。也就是说这两列其实都可以用阿尔法A阿尔法先表示。既然如此，那他不就可以拆成阿尔法A阿尔法乘以某个具体矩阵吗？ 是这个逻辑？什么意思？就是说你这个家伙它实际上是A阿尔法，六倍的阿尔法减去A阿尔法，懂了没有？它是不是完全可以写成这玩意儿乘以一个什么呢？乘以一个01，然后是六负一。因为它乘以01得到的就是A阿尔法，它乘以第二列得到的这六倍的阿尔法减去A阿尔法，所以我们就得到它。得到它之后把一些该拆的都给它拆掉，过河拆桥都给它拆掉。于是我们就得到A乘以这样一个P矩阵，等于这样一个P矩阵乘以这样一个B矩阵。 是这个逻辑吧？是P矩阵，所以实际上就有AP等于PB。那实际上就是说A相似于B我们根据A相似于B是不是就可以去做这样一个判断了。 你判断A是否可相似，调化是不是可以就可以转化为判断这个B可否相似调化。如果说B如果说这个B因为B决定完全已知，B如果可以相似调化，那根据传递性A也可以相似调调化B矩阵。如果不能相似最小化，那根据传递性A也不能相似的话，是不是这个逻辑？ 所以这道题接下来就好处理了。我们去研究一下这个B矩阵，你会发现兰姆达一减B行列式算一算，这二阶行列式算一下它是拉姆达，然后拉姆达加一负六这个负一，所以你一算你就发现兰姆达方加上方的减去一个六，它是一个这个它是一个这个兰姆达减加3乘以兰姆达减二等于0。你会发现这个B矩阵特征值算出来是什么？B矩阵特征值一个是这个-3，我写左边一个是二。这个二阶矩阵有两个互异特征值，你说它能不能相似量化？它当然可以相似调化，所以再根据传递性我们就知道A也能够相似调化。这就是这题的逻辑，听懂了没有？ 所以最后我们总结一下，其实这道题核心在于什么？核心在于你要有这样一个解题的思路。就是我们在面对这种抽象型的相似问题的时候，这个据A矩阵一个元素都没告诉你，完全是抽象的。那么我们就是按照这个逻辑和这个逻辑去找，你肯定能够找到这个破题点，懂吗？一定要把这个方向要找准，好吧？这是我们这样一道题目，OK。那么关于证明矩阵相似证明矩阵相似我们暂时就说到这里，我们一共就讲了两个题目，一个具体型的，一个就是抽象型的。好吧，大家好体会。然后最后我们看到类型四就是去求这个肯定矩阵P也就是求解这个相似变换的手段。 那这类问题怎么去处理呢？其实我们在基础阶段就讲过，基础阶段讲了一个2019年的真题，大家自己去翻2019年的真题。我们当时让你去求的是肯定矩阵P10的PDAP等于B。当时那道题怎么做的，我不知道大家还有印象没有，我们是找了一个P1，使得A矩阵相似调化，又找了个P2，使得B矩阵相似变化。那么它们特征值一样，这个相似对角化的这个对角阵是一样的，就可以利用这个对角阵作为中介，作为桥梁把它架起来，所以就得到它等于PREBP2。然后根据这样一个式子就可以去推出就可以去推出这个，我们就可以推出A矩阵，右乘P1P2逆，左成P1P2逆的逆就等于B所以我们的P矩阵就是要求的这个东西。这个我们在基础阶段讲过，我只是带大家简单的回忆一下，我不知道你们还有印象没有？ 好，我们这里面这个例9比那个道真题就要稍微难一点。其实思路完全是相通的，稍微难点，只不过它带了一个求参数的问题。我们来看一下A有三个线性无关特征向量。首先我们就要根据这个条件把这个参数A给求出来。怎么求怎么求？首先把这个特征值求一下，是不是拉姆达一减A那拉姆达一减A写一下，它等于拉姆达减3，拉姆达加1，拉姆达加3，然后是-2 2A负A-4-2。 好，这样一个式子怎么去求特征值？这个会不会求你比如说我们把最后一列加到第一列来，因为这里有个A这里有个负A我们加过来可以消消一个0，所以自然可以得到兰姆达减10，兰姆达减1，然后后面两列不动可以理解吧？就得到它好，得到它之后再可以怎么算，你比如说这里都是兰姆达减1，所以我可以把第一行的负一倍加下来，可以给它干成0。所以这个变化其实比较自然的，我们就可以得到就是前面两行不动，就前面两行不动，把第一行的负一倍加到最后一行来，这里得零这里得零，然后这里是个拉姆达加1，这里是个拉姆达加一好，那么你会发现他就得到了一个上三角的行列式。上三角行列式就等于对角线元素相乘，所以其实这个行列式就可以化为兰姆达减1乘以兰姆达加一的平方。所以实际上它很特殊，尽管它有参数小A但实际上它的特征多项式和小A是没有关系的。 它的特征值可以解出来，兰姆达一就等于这个一，然后兰姆达二等于兰姆达3就等于负一好吧，就是它的特征值OK。那么接下来说A矩阵有三个线性关特征向量，这个条件怎么用？这个条件你一定要会用。这就说明我们这个二重根底下是不是有两个线性完特征向量，是这个逻辑吧？这就说明了这个二重根底下有两个线循环特征向量，那实际上也就说明什么呢？我往左边写，就是说负一减AX等于0，它能解出两个线循环的解，是不是？两个线相关的这个解向量，那也可以转化为秀矩阵质的信息。实际上这就说明了这个负一减A或者说一加A的质。 这个稀有矩阵的值就应该等于一。它稀有矩阵制等于一的时候，它才能解出两个线循环的解向量，是这个逻辑。所以实际上你核心条件就转化为它就转化为这个质等于一，利用这个质等于一，你把一加A一写出来，一加A一写出来，利用这个质等于我们就可以去推了好吧？ 我们把这个一加一给写一下，也就是4040，然后-2，其他地方不变。二-2，然后负AA42，其他的值等于一。那么你很明显能看到这两行是成比例的，然后第二行也得跟他们成比例，因为你是唯一三行都要成比例，然后中间有个0，那只能是怎么样？只能是第二行是个零行，只有可能是第二行是个零行。或者你可以利用这样一个二阶子式等于0，二阶子式等于0，因为你是唯一，所有的二阶子式都等于0，那也能够把这个小A给算出来，总之手段很多，我们就可以算的。这个小A它是等于零的，这是这道题，所以小A我们暂时就算出来等于0，我就在这里标出来，这是第一步，万里长征第一步我们就结束了。 接下来我们重点就是要去求解这个肯定矩阵P使得PDAP等于A转制。那这个问题可以怎么理解呢？我们就可以利用这个相似的这种传递性。大家想一下A矩阵现在有三个新循环特征向量，就说明A一定可以相似角化，对不对？也就什么意思呢？也即存在着一个P1矩阵，使得这个P1逆AP1等于对角。 懂了逻辑没有？那么怎么样得到它和转制的关系？前面是不是就讲过，我们是不是在这个式子两边打个转制就可以出现A转制，所以很快，你这个推一下你就知道，两边打转制，那就是P1逆APE的转置等于这个角的转对角阵的转置，就等于它本身没毛病。 好，然后你再把这一块打开，所以它就可以得到一个P1的转乘，以A的转乘，以P1逆的转。P逆的转就相当于P1转的逆，是这个逻辑吧？这其实前面已经见识过了。我们在前面讲那个抽象矩阵的判断，抽象矩阵相似问题不就是得到过这个式子的吗？其实已经见过了。好了，现在我们就可以利用这个式子和这个式子它这个相同的对角阵作为一个桥梁，把它沟通起来是吧？ 我们用流程图语言来说一下这个问题，实际上说的是什么呢？就是说A矩阵通过一个什么样的手段？我说了右边这个叫手段，就这个相似的定义式当中，右边这个矩阵我们把它叫手段，它通过这个P1这个手段得到了对角。然后我们的A转制，A转制是不是通过这样一个手段到这个对角阵？所以画在下面，A转制是通过什么呢？A转制是通过这个P1转的力到这样一个对角阵。 那我问你这样一个流程图的逆过程是什么？绘画？就对，矫正它就是通过上面这样一个矩阵的逆矩阵，也就是P1转，它是通过P1转就可以相似到A转制的。 你接下来要做的事情就是把这两个流程图给它拼起来，会拼吧？啊在前面讲这点部分我们就讲过这会拼，所以把它往上一拼，就是说对角线是通过P1转到我们的这个A转制的。所以整个来看，因为你题目要求的什么，你题目要求的不就是A相似到A转制用的这个手段，所以A相似到A转制用的什么手段？就是把中间这两个相乘，而且乘的方向千万不能错，一定是P1在前，P1转在后。好吧？也就是说我们综合起来，我们就得到这样一个流程图，综上我们就得到A通过P1乘以P1转到我们的A转折。 把这样一个流程图语言翻译成这样的标准的相似语言。也就是什么呢？也就是说P1P1转的力乘以A乘以P1P1转等于我们的A转，这就是手段，懂了没有？要会翻译，这个流程图语言和这种标准的相似定义语言，大家一定要能够转化，要会转化好吧？ 这就是跟大家讲一下这道题的思路。其实那其实分析到这里你会发现，其实这道题本质上求这个肯定矩阵P求是什么？是不是只需要把P矩阵求出来就可以了？我只需要把PE矩阵求出来，那就是说P1P1矩阵，然后乘以这个P1的转制就结束了。 好，那问题P矩阵是什么？P矩阵是不是本质上就是由A的特征向量拼起来的。所以对于这样一个完全已知的矩阵，你去求解它的特征向量，拼成这个P矩阵是不是一个比较简单的操作了。 接下来的事情就比较轻松了，主要是这个思路不太好分析。把这个思路分析清楚了之后，那这道题也就好处理了，知道吧？所以我们接下来就可以这样子，我简单写一下，我就不详细写了好吧，我简单写一下了。我们就是说有啊这个A的三个特征值，就是兰姆达一等于一，兰姆达二等于兰姆达三等于负一。我就解它的特征向量，解特征向量比如说有一减AX等于0，那解出来就是对应特征值一对应的特征向量，解出来这个阿尔法一，大家自己去去求解一下。 好，解出来是101好吧？有这个负一减AX等于零就解特征值。负一对应的特征向量解出来阿尔法R等于一个这个-1 20，阿尔法三等于011这个大家自己去记记出来，然后你就把阿尔法一、阿尔法2、阿法三拼在一起，就得到个P值。我往右边写，就得到我们的P1矩阵。P1矩阵就等于阿尔法一、阿尔法2、阿尔法3，你给它拼起来，然后最后再算一下，这个P1乘以P1转就得到了我们的答案。 当然这道题根本就不唯一。 答案根本不唯一，因为你这个PE矩阵算出来就不唯一是吧？你比如说这里乘个两倍一点毛病没有，这P矩阵不唯一。所以你最后算出来这个PP矩阵，它有无数种答案，你和答案如果算出来不一样，这个没有关系，你可以自己去验证一下，就你算出来的P矩阵是不是满足这样一个等式关系。如果是满足它就是对的，好吧？这个答案是并不唯一的。就以我这个为例，就以我算出来这三个向量为例的话，那么最终算出来的这个P矩阵，我写最上面，就P1乘以P1的转，它就等于大家自己去算一下，最后等于一个2-2 1-2 51112好吧。 然后这里跟大家说一个彩蛋。 说一个彩蛋就是我们算出来这个P矩阵，你会发现它很有意思，它是个十度线矩阵。你发现没有？她是个时对圣女，为什么呢？因为我们前面就讲过形如AA转的这种形式，或者是A转A，她一定是个时对圣女的，看到没？所以这道题其实可以稍微改编一下，我怎么改编呢？我把它搞难一点，让你更摸不着头脑。我把这个可逆矩阵改成一个让你求一个实对称矩阵，那有的同学可能就是更更傻眼了。 好吧。通过这样一通分析。 我相信大家应该能够理解这种相似的这种传递性问题了。就是如何去处理普通的A相似于B问题呢？考研考的最多的就是利用传递性，往往是以这个对角阵作为一个桥梁，好吧？ 然后这道题我还跟大家说一下，就是关于这个流程图，是辅助你分析的。你考试在答题卡上千万不要把这个流程图给它画出来，好吧？这是辅助你分析的，它是很好的一个分析问题的工具。我们在考试的时候书写步骤，你可以这么写，听清楚了我教你怎么写，你可以这么写。你在考试的时候你就可以这么写，其实你只需要写出简单的几步就行了，你就写这么几步。你就是说首先不是求这个特征值，把特征向量求出来，那P1矩阵就知道对不对，所以我们就写有啊P10AP等于它的对角阵，对角正你也可以写出来，就是1-1好吧。你在就是在这个是两鞭打转制，所以我进一步就有P1逆APE的转等于角的转等于角，所以进一步把它化简，就可以推得那就可以推得这个P1的转A转，然后P1的转的逆等于这个对角阵，懂吗？你就这么写。 好，接下来就是根据这个式子，我框起来，这两个式子你就把它给合在一起。怎么合呢？你就写进而有我教你写标准的步骤。既然有PE逆ap等于对角阵，等于这玩意儿把它复制过来懂吗？ 等于这玩意儿就写这一步，写到这一步之后，不需要写任何多余的东西，直接就跳到这一步。懂了没有？直接就跳到这一步。有的同学说我中间不写一下这个变化的过程吗？没有必要，这种细节不需要写，这就像装模作样一样。就是我们在答题卡上把这个流程图一画，我就很清楚了，你这个手段，这个P矩阵其实就是这玩意儿，只不过我中间我就要装模作样的把这两步给写出来而已，好吧？这是标准的步骤。 大家在答题卡上你就这么写，至于具体怎么去变形，怎么在这里怎么又成一个矩阵，左成一个矩阵？然后得到这玩意儿，这个过程不需要体现，懂了吧？你就这样去写就行，好吧？这是标准的书写步骤，就跟大家说一下。 所以在处理这种矩阵相似问题，流程图语言是非常好的一个工具，非常好用的分析工具。我希望大家一定要掌握这样一个工具，好吧？OK关于类型四我们就说到这里，整个小节这样一个A相似于B问题我们就说完了。这是考研非常喜欢，考也是非常重要的一个小节。我希望大家好好的把这个例题自己好好的动手做一遍，好吧。 （内容由AI生成）