Hello, 大家好，我是没咋了。这课我们继续学习现代强化的3.5小节正交矩阵实对称矩阵。首先我们从正交矩阵入手，因为正交矩阵是把斜对称矩阵相似角化的一个重要手段。我们先复习一下正交矩阵的定义和性质，正交矩阵就是这样一个N阶的方阵。当然一定要记住，正交矩阵首先有个前提，必须是N阶的方阵才谈正交矩阵。这样一个N阶的方阵，它满足它的转置乘以它等于它乘以它的转制等于单位阵，我们就把这个矩阵称为正交矩阵，这是它的一个定义。通常大家注意，通常这个正交矩阵我们一般是用大写的Q来表示，就是一般用Q来表示。
	关于这个定义特别强调一点，实际上这有点像逆矩阵的定义，就是我们并不需要这两个式子，实际上你只需要一个个就行，后面这个可以划掉，或者说后面这个拿着前面这个划掉，只需要单个就能够推出来。因为根据逆矩阵的定义，我们知道一旦有这个A转置乘以A等于单位阵，实际上这两个矩阵就是可交换的，它就立马能得到，它就是等于A乘以A的转置的，是吧？因为这就相当于根据逆矩阵定义的话，就是A的转置和A互为逆矩阵，是吧？所以只需要验证单个就行。
	如果一道题目让你验证这个矩阵是不是正交矩阵，我们只需要验证这单个就行。懂我意思了吧？这一点大家需要注意。
	然后紧接着我们来说一下这个正交矩阵它有哪些良好的性质，性质非常多，我们分成两组去讲，我们正交矩阵一般写成Q，所以就是QTQ等于单位正，这就是它的一个定义是吧？由这个定义出发，我们能推到它的很多性质。第一条它的行列式肯定等于正一或者负一，为啥？你在这个两边是不是取行列式就可以得到，我们来证一下这第一条我们Q转至Q直接取行列式，它就等于Q转的行列式乘以Q的行列式。那么Q转制的行列式就等于它本身的，所以这就相当于Q行列式的平方是吧？那你看它是等于单位，真的？所以按理来说它应该等于E的行列式，E的行列式就是一好。现在盯着这个这里看是不是立马能推导出来，就是Q的行列式就等于正负一，所以这个结论我们直接取行列式就可以正好。
	然后第二条性质就是Q逆等于Q转制，这个想必很好理解。从这个定义出发你就能发现Q转制就是Q的力是吧？它们是互为逆矩阵的，这个Q转制就是Q的力，所以很快就可以得到。
	并且我告诉你这一条，第二条它可以作为正交矩阵定义的一个等价命题。你想一下是不这个道理。因为一旦某个矩阵的力等于它的转制的话，你很容易验证就能够推到这个东西是吧？这很容易验证。因为Q转制既然等于Q逆，那Q转制乘以Q的话，它就相当于是Q逆乘以Q那这不就是单位阵，所以很快就可以得到这个东西，看到了吧？所以这是等价命题，所以它可以作为验证正交矩阵的一个命题。
	并且从这个结论当中我们能够发现正交矩阵有一个非常良好的特点，就是正交矩阵的逆矩阵相比于其他矩阵而言好球非常多。因为一个矩阵的转置那是很好处理的，是吧？但逆矩阵我们要通过前面初等行变换，或者用伴随矩阵需求，那都很麻烦。但正交矩阵不一样，它的逆矩阵就等于它的转制，所以很快就可以求解出来，这个你可以记在旁边，正交矩阵好求你。所以他非常好啊，他非常好，就是关于这个性质的说明。
	然后第三点就是正交矩阵它是由规范正交基组成。那么初一的同学学了前面向量空间，那就很清楚规范正交基到底是什么意思。说话书上的同学也不用担心，我给你解释一下这句话到底怎么去理解呢？我们就可以这么去说，就是这个Q矩阵，Q矩阵它的这个不同列向量之间是两两正交的，并且每一个列向量都是单位向量。就这个意思，它的不同列向量之间是两两正交的，随便取两个它都是正交的，并且每一个列向量都是单位向量，那这样才能拼起来叫规范正交基。行向量也是同理，注意Q的每一行，每个行向量也是两两正交的，随便取两个都是两两正交的。然后每个行向量也是单位向量，正所谓由规范正交基组成。
	这里面我也给大家证明一下，我们来证明一下这个结论怎么证。我写下边，我们这里以三阶矩阵来给大家证，好吧？比如说这个Q它就等于一个伽马一家，马二伽马三这三列。那我问你那我问你了，现在这个Q转制乘以Q这必须要非常熟练。我们说分块矩阵转置的话就是大转加小转，所以你这么拼要变成竖着拼，并且每一个还要加转制。因此Q转实际上是啊伽马一转、伽马二转、伽马三转，懂不懂？
	然后乘以这个把这个我写下来一点，强迫症乘以这个伽马一家、马2、伽马3，那么这个相乘等于什么？你告诉我第一行男嘉宾和第一列女嘉宾是吧？所以就是伽马一转乘以伽马一。然后就是第一个男嘉宾和这个女嘉宾就是伽马一转伽马2，伽马一转伽马3，伽马二转伽马一家，马二转伽马2，伽马2转家马3，伽马3转迦马一，伽马三转伽马，伽马3转迦马3，对不对？
	好，按照我们定义，我们知道这玩意儿它就是等于单位，真的，所以它等于单位阵。单位阵是什么呢？三阶的话就是111呗，其他地方就是000呗。那么对应的相等，你要知道这个一行乘以列这都是数，也就是说这个数等于一，这个数等于一，这个数等于一，也就是对角线。
	我把它标出来，对角线这三个地方它就是一，那么其他地方就都得是零，其他地方我换个颜色，其他地方都得是零。那这样看的话，你是不是就很清楚了？我们就知道这个向量的转置乘以它自己等于一的话，是不是意味着这个向量是单位向量，就它模值的平方是等于一吗？所以这个向量它就是单位向量伽马一、单位向量伽马2、单位向量伽马3单位向量是不是意味着它每列都是单位向量，并且不同列之间肯定是正交的，为什么呢？因为你看这两个地方是0，所以你家马一和伽马2做内基，伽马一和家马三做内基，这都得是零。这是不是意味着他们正交？所以正交矩阵它就有这样一个性质，它每一个列向量都是单位向量，都是单位向量模长为一，然后不同列之间它是两两正交的。
	好吧，这就给大家证明了一下，简单的以三阶矩阵为例去证明这个性质。你要熟。好，这是这一组。然后后面一组就是进阶的性质，我们也来给大家证明一下。
	首先第一条，正交矩阵的三大重要矩阵，三大重要矩阵，三大运算矩阵转置伴随逆，三大运算矩阵同样是正交正。这个如何证明呢？这个怎么证明？我仍然是写左边，我们来证一下。你首先有这个定义，Q转至Q我们说了这两个是可交换的，它等于Q乘以Q转制等于单位转是吧？那你现在就以这个Q转制为主体去看的话，那是不是从这个式子当中就相当于是把这个Q就可以看成Q转的转？这个Q就可以看成Q转的转乘，以这个Q转等于单位转，是不是可以这么理解？你把这个Q转看成整体，那是不是意味着这个整体的转乘以这个整体等于单位整，这是不是正交正的定义，这就是正交矩阵的定义，所以我们能轻易验证出来这个Q转制，它是正交正。
	这是。
	第一个。然后伴随你又如何验证呢？伴随你想一下，伴随我们实际上可以这样去验证一下，我们就验证这个Q伴随的转置乘以Q的伴随到底等不等于单位？如果满足这个的话，它就是正交正好。那么你注意我们说了矩阵的三大运算次序可以交换的。我们把这个伴随和转置换一下运算次序，它就变成Q转的伴随乘以Q的伴随。能看懂吧？
	好，现在在利用公式AB的伴随等于B的伴随A伴随。利用这个公式，我们是不是把它合在一坨，它就变成了Q在前，Q转制在后整体的伴随。Q是正的话，那么这个东西是不是正好就等于单位正E，所以它就等于E的伴随，E的伴随仍然是等于单位正。你看这不就是验证出来了吗？所以当Q是正交正的时候，那么Q的伴随仍然是正交正。懂了吧？就这一条，然后Q腻的话那就好说了。因为既然Q是正的话，那么Q逆就等于Q转了。Q转正我们刚才验证过了，所以Q腻，Q腻它也是的。好，这是这条结论就给大家证明出来了，这条非常熟悉。
	好，接着第五条，若干个同阶的正交正相乘仍然是正交正，这个怎么证明呢？你比如说我们来我们来若干个同阶的，Q1Q2、Q3，我觉得以三个为例，三个臭皮匠它相乘为什么是正要证？那实际上就是要验证这么一件事情，就是它的这个转置乘以它自己Q1、Q2、Q3。到底等不等于单位阵就是要验这个东西。
	那到底等不等于呢？来我们算一下，我们来算一下，它就等于你往下写这玩意儿转制，我们根据前面的公式，我们就知道ABC的转是等于C转B转C转的。不，呸呸呸C转B转A转的还记得吧？先来后到原则吗？你最后面的放到最前面去，先来的放到最后面去，是吧？所以它就等于那它就等于这个Q3的转乘，以Q2的转乘，以Q一的转，乘以后面的Q1、Q2Q3不动。
	完了之后消消乐来了，大家最喜欢的消消乐环节，从中间消，那么这个Q一的转乘以Q1根据正交正的定义，它是不是等于单位阵呢？单位阵可以不写划掉了，然后紧接着Q2的转和Q2是不是挨在一起又消掉了，然后剩下Q3的转和Q3是不是又消掉了，所以整个它就等于一个单位整，你看这不就验证成功了吗？所以我们知道若干个同阶正交正相乘仍然是正交正好，这个大家要清楚。
	那我现在问你了，那我现在问你，你看，比如说你随便验证一个，我说这个QQ是正交正的时候，那么让你验证Q乘以Q的Q的伴随，然后乘以Q的腻，然后乘以什么是比如说这三个相乘，让你验证它是不是正交正，你是不是能很轻松的验证出来。因为我们知道当Q是正证的时候，这个都是正交矩阵。这就相当于若干个正交正相乘，那它当然是正交正等等，灵活运用这些结论，这必须要非常熟悉。
	好，接着我们再往下看啊，再往下看特征值，拉姆达等于一或者负一，为什么呢？为什么正交矩阵的特征值就一定只能为一或者负一呢？这个证明过程可能稍微有一点点难度，大家可以把这个证明过程稍微记一下。大家注意，我在讲这些定理，讲这些性质的证明的时候，如果我没有额外提到要你去注意这个证明的思想，证明的过程，那你就不用管，就是你跟着我一起过一遍就好了。但是你发现有一些地方我会特别向你强调，我说这个证明的思想蛮重要，以后做题可能还会碰到类似的情况，那么你要重点注意好吧？包括我上节课也跟大家讲了，我没有额外指出这个定理的证明是要求你先证再用的，那么你都是可以直接用，除非我特别说明了，我说这个证明过程你必须你在查在那个答题卡上要书写出来，你才能用这个结论。
	那你就老老实实按照我说的做，如果我没有额外说明，那就是可以直接用，好吧？你像这个地方这个过程，大家可以把他的思想要记住。我们可以这样，我们是Q这个阿尔法等于兰姆达，阿尔法就假设出它的特征值，特征向量的定义式。当然这个阿尔法不能等于零是吧？现在要求它的特征值我们怎么求呢？因为你要用上这个正交阵的性质，用上正交正的性质，那么就离不开它的转制是吧？从这个定义也可以看得出来，它就是Q转和Q紧紧挨着等于单位值。所以你要想办法构造出Q的转制的形式。所以我们想在这两边打上转置，所以进一步就可以得到看清楚两边打转制，在这个是两鞭打转制，就是Q阿尔法的转等于兰姆达阿尔法的转。这个我们在转置矩阵那个地方也教过大家，你会打，所以实际上就有，是不是阿尔法转乘以Q转等于兰姆达倍的阿尔法转。
	因为数字这个我们可以提出来，是吧，所以右边就等于这东西就要跟上。然后接着我们把这两个式子稍微结合一下，看清楚怎么结合，看清楚怎么结合，我们直接用这个乘以这个等于右边的这个乘以这个，所以就得到阿尔法转Q转乘以Q阿尔法。有同学问为什么会想到这样乘呢？因为我们正交正当中，因为我们正交正当中，它就是Q转乘以Q能够化成单位阵是吧？你如果反过来乘用这个QR乘以阿尔法转Q转的话，那么这个Q和Q转隔这么远，你怎么用上这个定义，是吧？你就不好用，所以这些思想都很重要。然后我们就得到右边就是兰姆达阿尔法转乘以兰姆达阿尔法，所以这里根据正交正，我们就知道它就是个单位阵，直接把它划掉。因此就是阿尔法转阿尔法等于兰姆达平方。
	阿尔法转阿尔法能看懂吗？这个数字可以合到一块去，阿尔法转阿尔法它实际上也是个数，这个东西也是个数，然后我们移项整理就可以得到，一减去兰姆达平方乘以阿尔法转阿尔法等于0。你注意阿尔法是什么？阿尔法是我们假设的特征向量，它是不等于零的。我们知道只要这个向量不是零向量，那么转制乘以它自己就一定是大于零的，一定是非零的，对不对？所以这个东西想要等于0，那么就必然可以推得一减去兰姆达方等于0，也即兰姆达等于正负一，懂了吧？所以正交矩阵它的特征值只能为一或者负一。至于有多少个负一，那我们不清楚，但是它的特征值一定在这里面去懂了吧？好，这么一些东西就是正交矩阵所有的性质了，希望大家好好掌握好吧？
	就是这一块我们就说这那说完了知识点部分，我们做一道题目来巩固一下这道题，说N阶的正交矩阵A等于这玩意儿，然后A的特征值全部为正数，伴随矩阵这么去表示。问你下列选项中正确的是什么？首先根据我们刚才复习的正交矩阵性质，我们很清楚，既然它特征值全部为正数，那这特征值就全部都是一，就是全唯一，特征只是全为一，那么A矩阵的行列式实际上也就清楚了。因为正交矩阵行列式只能为一或者负一，行列式也就等于一了。
	所以我们看一下我们现在还能推到什么，我们能推到首先A乘以A的转置，根据正交矩阵性质，它是等于单位阵的，对不对？其次你看这道题涉及到了伴随矩阵，我们可以想一下，我们说到伴随矩阵很常用的一个公式结论是什么？是不是A乘以A的伴随等于A的行列式乘以单位整，由于这个行列式就等于一，所以进一步这是不是就等于一？所以你发现这个A乘以A的转置也是单位阵，A乘以A的伴随也是单位阵。并且这个A矩阵它由于是正交矩阵，正交矩阵它都是可逆的，正交矩阵都是可逆的那你现在想，既然这样的话，根据逆矩阵定义，我们是不是能得到这个A的转制，就是A矩阵能力是吧？A乘以A的伴随又等于单位的，所以你这个A的伴随也是A矩阵的力呗，因此我们就有推出来，就是不管是A的转制也好，还是A的伴随也好，它们都等于A的力，所以它们是相等的。
	既然它们相等，我们在前面在讲矩阵复习课的时候就跟大家强调过这件事情。我说了就是当我写一下，写在右边，当这个A我用这种形式表示小AIJN乘N表示的时候，那么你要能够迅速的写出A的转置和A的伴随。是不是A的转置是小AJIN乘，A的伴随就是大AGIN乘，这个应该要非常熟练的。
	所以我们现在你看，既然选项问的都是大A和小A的关系，所以我们利用这个矩阵相等，我们就得到它们当中的每个元素都相等。每个元素是什么呢？看到右边是不是就这个和这个，所以我们就知道所有的这个小AJ，不抱歉写错了，所有的小AJI都等于大AJI那你这样的话，我再把它求个和，再把它求个和，I从一到N是不是还是相等？这也不就是我们的B选项吗？所以这道题就做出来了，就这么去做。
	说到这里我还想跟大家补充一下，这道题也可以在选项这里稍微动点脑筋，我可以把它调整一下。你想一下是不是这个道理，就是这个小AJI既然等于大AJI了，我其实把这个下标换个位置也是一样的。因为你注意，我跟着在后面写，不管是小AIJ等于大AIJ，不管是这个还是这个，实际上都表示的是大A和小A对应的所有位置的元素都相等，都能够代表这个含义。它是一个意思好吧？所以我完全可以把这个B选项下标这个JI同时换成IJ，同时换成IJ这样仍然是正确选项。懂了吧？你不要推断出来这个，你判断不出来这种形式，那这样就不行。好吧，这个我们在前面都是强调过的，这是我们的例一，正好就借助这道题，我们来看一下这个正交矩阵的性质。
	好，接着我们继续往下复习，我们看一下3.5.20对称矩阵的性质。我们这里重点探讨实对称矩阵在特征值特征向量这一块的性质特征值特征向量这一块的性质。首先第一条N阶实对称矩阵A有N个十的特征值，也必有N个线性弯的特征向量。有N个线性弯特征向量，是不是意味着它的几何重数和代数重数都相等，是吧？那么关于第一条性质，大家注意是不要求掌握证明的。我这里打个星号，打个星号的意思意味着他的证明不要求掌握，他的证明是超纲的。但是这个结论是可以直接用的，你也要把它记住，平常也用的非常多好吧。
	实对称矩阵他的特征值都是实数都是实数。然后实对称矩阵一定有N个相关特征向量。这句话意味着什么？非常重要，是不是意味着实对称举证天生可对角化。
	它。
	天生可以相似对角化，天生可以相似对角化。因为它有N个线相关特征向量，这是它天生的性质，懂吗？这一点不要求大家证明，所以你以后看到一个矩阵，如果是十对称，立马下结论它是可以相似的化的，懂吗？就是这一点。
	然后我们看第二条性质，实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量B是正交的。这就比前面那个一般性的矩阵要扭。前面一般性的矩阵我们是怎么说的？不同特征值的特征向量是线性无关的，但这里在线性无关的基础之上再上一层它是正交的，所以它更特殊更牛逼。正交就意味着不同特征值底下的特征向量，你看不同特征值的特征向量，它的内积等于0，这就是正交的含义。
	这条结论也是可以直接用的，大家注意，也是可以直接用。但它的证明过程，大家可以简要的了解一下，好吧，简要的了解一下，我们取两个不同的特征值，A这个AX一等于兰姆达1X1，AX2等于兰姆达2X2。现在我们这样在上面这个式子，在上面这个式子的两边，给它做成X2的转，左乘X2的转。看清楚，因为你要验证的就是验证这两个向量的内积等于0，是吧？那怎么出现这两个向量内积等于0，我就直接在这里左乘X2转，这不就出现内机了，是吧？然后接着大家注意，我们把等号左边这个等号左边这个稍微变形一下，因为这个A是实对称矩阵，那么现在这个A矩阵你给它写成A转制，看清楚，尾部操作，我换个蓝色写成A转制。
	那么现在这个结构是不是结构可以看作是个什么东西呢？是不是可以看作AXR的转置？想一下你把AXR的转置打开，是不是XR转放前面，A转放后面。所以我们把它改成这个东西，改成这个东西那就有意思了。
	为什么要改成这个呢？因为你要用上下面这个条件，改成这个东西之后，我们就里面这个AXI就换成lambda x，所以整个左边就变成了什么？你跟着我走，整个左边就变成了一个兰姆达2X2的转置乘以X一能不能跟上？这一块换成它它就相当于与这个东西的转，懂吗？换它，然后乘以这个X1，乘以这个X1，右边就是一个lambda一倍的X2转X1。
	然后我们知道这个数字的话可以提取出来吗？不影响，所以进一步就得到它等于兰姆达二倍的X2转X一转，不是呸呸呸X2转乘X1，等于兰姆达一倍的X2转XE好，接着移项整理，这两个东西都是相同的吗？一项整理我们就有兰姆达减去兰姆达一倍的X2转X一等于0。又因为你注意我们现在研究的是两个不同特征值底下的特征向量，兰姆达一是不等于兰姆达二的，所以这个东西不等于0，这个系数不等于0。那这个式子想要等于0，是不是只能这个内积等于0？那么就得到这个内积等于0，得到这个内积等于0。内积等于零不就是意味着他们正交，所以这就水灵灵的给大家证出来了，懂吗？
	这个证明过程其实最难想的有两个地方。第一个就是你要证明它正交，也就是内积等于0。怎么构造出内积这个形式呢？我们就想在上面给它组成XR的转，左成XR的转，这里就会出现内机的形式，这是第一步难想的。第二步难想的就你两个条件都要用上，那么怎么用上下面这个条件，怎么用上下面这个条件，那我们只能从这个地方入手了，我们就是把这个东西改写成这个形式，就能用上这个条件，这是这两步比较难想的。所以这个证明过程不要求大家自己去想出来，你只需要听一遍就可以了，好吧？
	就这一点有了实对称矩阵对应于不同特征值、特征向量正交这个规律之后，我们就能够得到第三条结论。那么N阶实对称矩阵它不只是可以相似对角化，它还能够正交相似对角化。这什么意思呢？就是说前面这个相当于是个一般情况，一般性这个一般性它能够相似的话，是由于这个得来的。因为实对称矩阵一定有N个相关特征向量，所以它一定是可以相似的化的。这个相似的手段，你就随便找一个可以与人P就是它的特征向量拼在一起，就能够把它相似调化。
	那至于为什么它可以正交相似对角化呢？这个就非常特殊了。这个所谓正交相似调化是非常特殊的，就是利用正交矩阵作为手段把它相似对角化。这是为什么他为什么能够用正交矩阵相似量化呢？实际上这由于第二条结论，为了大家理解的方便，这里我们以一个四阶矩阵为例去写。好吧。假如说四阶矩阵，四阶矩阵它是一个实对称的，这是一个实对称矩阵，它的特征值分布假如说是这样一个样子，兰姆达1，兰姆达二等于拉姆达3、拉姆达4，也就是说它的特征值情况就是这拉姆达一是单根，拉姆达四是单根中间的拉姆达，拉姆达三相当于一个二重根。好吧，因为这就比较具有普遍性，这种情况就比较具有普遍性，我们就讨论这种情况好吧。
	那为什么它能够正交相似对角化呢？大家思考一下，你这些单根是不是解出来单个的特征向量。比如说它的柯塞一，最后一个是科塞斯。那至于中间的这个重根，它就能解出两个线段的特征向量。那你要知道两个线性弯的特征向量它进行线组合实际上代表了一个平面，对不对？两个线段特征向量它进行组合是不是正好表示了一个平面？也就是说它的特征向量是一个平面，懂不懂？它的特征向量是有一个面构成的。
	那么我们可以在这个平面当中取两个特殊的，我们自己人为的取两个特殊的，我们取两个。在这个平面当中取两个垂直的向量，我们取两个科赛2、科赛3。所以中间我们稍微取特殊一点，取科赛2、科赛3，满足科赛2、科赛三是一个垂直关系，是一个正交关系。
	那么现在你再结合这条性质你就能看懂了。我问你这个向量和这个向量是不是正交的？因为它属于不同特征值的特征向量，科赛一和科赛四也是不同特征值，特征向量它也是正交的。你会发现这四个向量现在就满足两两正交。然后接着我只需要把这些两两正交的向量进行一个单位化，得到伽马一家、马二家、马三家、马4。那么这四个向量拼在一起就会形成一个正交正。听懂我意思没有？这四个特征向量拼在一起就会形成一个正交正，我们就可以利用这样一个正交正把实对称矩阵A进行相似调化。
	所以实对称矩阵它好就好在这它可以用正交矩阵。相似的话，当然你不要只知道这个特殊情况。虽然它可以特殊，它也可以一般它也可以用一个普通的可逆矩阵P进行相似对比哟，不要忘了这一点，好吧？不要只知道它可以用正交矩阵，他也能够。
	用一般手段。
	这个需要注意。所以我们用矩阵语言去表达，就是说存在着正交正Q，使得Q逆AQ等于对角，QDAQ等于对角线。而根据正交矩阵的性质，我们知道Q逆就等于Q转制，所以这个Q力AQ又可以写成Q转AQ等于对角。那么这个式子就非常有意思了，你后面会知道它就很好的沟通了矩阵相似和二次性。至于他们在二次型当中又摩擦出什么样的火花，我们下一章再来讲，好吧，这是第三条性质。记住，它不只是一般相似对角化，还可以正交相似对角化。
	实际上关于第三条还有一点需要补充的，就这句话倒过来说也对。大家注意我们平常说的比较多的都是N阶实对称矩阵A能够正交相似的话。那我现在问你个问题了，一个这样的N阶实矩阵，如果它能够正交相似的话，注意N阶实矩阵它能够正交相似角化，我们能不能判断这个矩阵一定是实对称的呢？那有同学就不太懂，因为这个性质好像是啊是这么说的，但是倒过来说对不对，他就不清楚了。实际上我们可以来验证一下，我给你写在这就写在这，我们来验证一番。
	如果说实矩阵实矩阵A满足它能够正交相似的话，也就是有Q逆AQ等于对角，实际上我们立马能推得A是不是等于Q角Q逆的Q逆实际上就是Q的转置，所以这个东西就可以也可以写作Q乘以9乘以Q的转置，这可以跟上吧？这应该可以跟上了，所以也就是能推到这。假如说实矩阵A满足正交相似的话，我们能得到A矩阵可以这么去表示，懂吗？A矩阵可以这么去表示，那么为什么A矩阵一定是个实对称矩阵呢？
	我们这里给大家验一下，这很容易推得出来。你去验证A转等于什么？A转实际上就等于Q角Q转的转，这个打转制你会算吗？先来后到，把最后面的放到最前面去，所以就是Q转的转乘以角的转乘以最前面的Q转，Q转的转反成性等于它本身等于Q。对角阵的转置等于对角正自己，然后乘以后面不动。
	你发现没？这个东西不是在给你卖萌，这个东西它就是A矩阵，所以它就等于A它就等于因此A转制等于A那不就说明它是个对称矩阵吗？再结合它是个实矩阵，因此它是个实对称矩阵，懂了吧？所以这一点也可以反过来说，这个要清楚。好，到此我们就把实对称矩阵关于特征值、特征向量这一块的性质就给大家说完了。
	好，复习完实对称矩阵性质之后，我们来做几类经典的题型。这里给大家总结了第一种类型，它会这么考，就是利用实对称矩阵的性质，看你能不能解决一些问题。比如说我们的这个例案，已知实对称矩阵A满足这样一个多项式，这不是数字零，这打错了等于0矩阵，等于0矩阵。好，然后证明A等于单位证。这个应该怎么入手去分析呢？
	请大家。
	思考一下，我有这样一个式子是不是能推到它的特征值信息，前面就教过大家，只要给出这种FA等于0矩阵的，我们就能够对应的推出F兰姆达等于这个数字零，对不对？这个具体原因应该不用在这里反复解释了，也可以给大家写一下，实际上这个过程怎么推出来呢？就是设因为这个证明题我不妨给大家写一下详细过程，秀出它的特征值和特征向量的。这个定义式是A阿尔法等于兰姆达阿尔法，阿尔法不等于0。好，那么自然你想一下由这个我们是能推到，因为这道题会用到A方A的3次方，所以我们写一下A方阿尔法就等于兰姆达A方阿尔法A的3次方阿尔法等于兰姆达的3次方阿尔法，对不对？
	那接着你再把题目当中这个式子两边乘以阿尔法向量，又乘阿尔法向量。所以我们就由A的3次方加上A的平方，加上A减去3E乘以这个阿尔法向量，等于这个零矩阵乘以阿尔法向量。那很明显左边这就是这几项各自和阿尔法相乘，那对应的是不是变成了3次方，是不是变成就是拉姆达的3次方，阿尔法加上拉姆达的平方，阿尔法加上拉姆达，阿尔法减去三倍的阿尔法等于右边就是零向量，你这个阿尔法向量都可以合到一块去，所以实际上得到了一个拉姆达的3次方，加上兰姆达平方，加上l mm da减三倍的阿尔法等于零向量。由于阿尔法向量不等于0，所以只能是什么？只能是前面这一坨等于0，就拉姆达3次方加上兰姆达平方，加上兰姆达减三等于0，所以以后会推这个东西了。我现在就是给你详细解释了这一步是怎么推导出来的。
	把这个证明过程给你写出来了以后，其实在选择填空题当中，我们是可以直接用的。大题你就设出这个定义式的形式，你跟我这样走一遍，最后就能得到这样一个式子，懂了吧？就这个好，现在我们很明显这个东西你要会看。实际上我们从要证明的结论也能看得出来，既然A等于单位制，那它肯定是有特征之一的，对不对？
	这里拉姆达等于一很明显是满足这个方程的，因此它肯定含有一个lambda减一的因式。至于其他的我不清楚，那么其他怎么算，我们可以用长除法去算，用长除法去算。这个我们在讲高数基础课，高数强化课都给大家说过是吧？
	在讲那个有利函数的积分那块，教过大家的多项式乘除法，拉姆达的3次方加上拉姆达平方，加上拉姆达减3，我除以这样一个因式，兰姆达减1，很明显你由于开头的是3次方，所以我第一项就是上来一个拉姆达平方，那这样的话就得到一个拉姆达3次方减去拉姆达平方。好，余下什么？是不是余下一个两倍的兰姆达平方，加上兰姆达减3，所以这里是不是继续加上两倍的兰姆达，然后这里就是两倍兰姆达平方减去两倍拉姆达，余下什么？余下是不是一个三倍的拉姆达减3，所以这里是不是来一个三结束了，所以就是等于这么多。因此最后这个式子就可以拆分为兰姆达减1乘以这样一个东西，拉姆达方加上2，兰姆达加3，写过来等于0。好，这里面很明显，它是一个构成了拉姆达A加1平方加上二的一个结构是吧？所以你看这个式子想要等于0，那么由这里解出兰姆达等于一，这里肯定解出来是个虚数，但问题是我们这道题的A矩阵是个实对称矩阵。
	我们说实对称矩阵有良好的性质，它的特征值必须为实数，就下结论由于A等于A转，它实际上拉姆达全为实数，全为实数，下结论过拉姆达全部都等于一，特征值全部都等于一的话，那你思考一下，那这道题就有意思了。因为我们知道实对称矩阵是必可相似对化的这题A是B可相似角化的，并且还能够通过正交矩阵相似角化。就是说存在着Q正交矩阵Q使得Q逆AQ等于Q转，AQ等于对角阵，而这个对角阵特征值都是一，对角阵就是特征值的排布，所以这个对角阵就是什么？就是单位值。
	好，由此你是不是能解出A等于QEQ逆等于这个QEQ转，这么写都可以是吧，就反解也会解了，反解出A怎么反解？如果用这个去解的话，就是两边左乘Q右乘Q腻，用这个去缓解就是左乘Q右乘Q转，是一个意思，总之就可以解出来。那么有这个三个矩阵相乘，中间单位证如果划掉不写的话，它是不是就等于Q乘以Q腻，或者说Q乘以Q转，这是不是就是单位证？故正碧懂了吧？就这么去做，这就是这道题一个基本的思路。所以你以后记住了，从这题当中我们也得到一个启发。
	如果说一个实对称矩阵，他的特征值全部为一的话，那么这个实对称矩阵只能是什么？只能是单位阵。记住了吧？好，这是这道题。这道题就用了实对称矩阵的好几条性质，所以大家要把它好好吸收。好，这是一道比较好的题目。
	好，接下来我们再往下看第三道题很有意思，很有意思。很多同学之前没见过这类题型的话，做不出来都非常正常。所以这道题是值得积累的一道题目，值得积累的一道题。他说三阶实矩阵A的特征向量这么三个，问你A必定是什么矩阵，那毕竟是什么矩阵标题。首先你要有这种数字的敏感度，很明显这三个特征向量满足一个什么关系，是不是一个两两正交的关系，你发现没有？阿尔法一阿尔法二算那一集，还是说阿尔法2阿尔法三算内积，还是一和三算内积，它都等于0。所以它是个两两正交的关系，并且这都是非零向量，这一眼能看得出来，那我们是有一条结论的。这里如果不知道的话，大家要做个笔记补充一下。
	就三个这样的非零向量，如果说满足两两正交，那么他们一定是干嘛？他们一定是线性无关的线性无关的与之相似的一条结论，我们在前面讲向量反复强调过，有一个就是三个非零向量如果说满足两辆线性无关，这三个向量是不是线性无关的呢？大家思考一下，三个非零向量满足凉凉无关。
	凉凉无关我就捡起来。
	能不能推出他们无关呢？大家注意这个是绝对推不出来线性无关的。这种例子前面给大家举过很多个，比如说这个100，然后这个010，110、110这3个向量你可以去发现这个两两都是不成比例，所以两两都是线性无关的。但是你整个放在一块，它就线性相关，所以一定要和上面要区分开，两两正交这个条件可牛多了，两两正交这个可牛多了，它能够推到线性无关，这个证明要好好证明，你可以用这个定义法去证，可以证明它们线性无关，好吧。所以也就是说这样三个非零向量它满足两两正交的话，实际上它就是怎么样构成了一个线性无关的向量组。又因为他们是两两正交的一个关系，所以实际上它正好构成了这三个向量。它可以构成三维空间的一组积，或者说叫三维空间的一个极大性弯组。它能够表示任意的三维向量，它具备这样良好的性质，这一点大家要知道这一点大家要知道，你要做好笔记好吧。
	所以这道题如果你有这样一个知识积累，拿到手之后我们就说你这个阿尔法一、阿尔法2、阿尔法三这三个向量实际上就怎么样，就已经是正交化了的，它已经正交化了。所以我想一下，这个特征向量我说了乘一个倍数进行拉伸进行伸缩，乘个K倍仍然还是对应那个特征值的特征向量就是特征向量的性质。所以我只需要给他乘一个倍数关系，是不是就实现了这个单位化的操作。待会的话我们就得到这个伽马一、伽马三这三个特征向量。那么你只需要把这三个特征向量拼在一起，拼成一个矩阵，是不是就是一个正交矩阵Q了？思考一下是不是就是一个正交矩阵Q了，那么这个Q矩阵是不是又可以把它怎么样相似对角化呢？所以我们进一步就有QEAQ就等于对应的对角阵，这个对角阵就是对应的三个特征值，拉姆达1、兰姆达2、兰姆达3。是不是有这样一个事实成立有这样一个事实成立，我们这道题开头才给大家讲的？我现在可以用正交矩阵相似掉的话，那这个矩阵就一定是。
	实对称矩阵这个也很好推，在右边给大家写一下。那根据这个QEAQ，正交矩阵Q溺是等于Q转的，是等于Q转AQ等于对角是吧？我很容易反解出来，A就等于Q角Q转，这不是在跟你卖萌，是不是看起来很可爱。完了之后他就我们来验证一下他到底是不是实对称。你给他打个转置，打个转正，你看一下等于什么，那就是先来后到或者去上这最后一个搬到最前面去。Q转的转就是Q完了之后，对角的转完了之后Q转是吧？对角阵的转置就等于它本身，所以它就进一步就可以写为Q叫Q转。
	你发现没？刚才我们才说的这个A就等于Q叫Q转，所以这玩意不就等于A所以你验证出来A转等于A所以下结论A为对称矩阵。又因为它实矩阵，所以可以合在一块叫实对称矩阵。所以这道题选C选项，懂了吧？
	这就是这样一个结论，清楚反复强调实对称矩阵一定可以用正交矩阵相似对角化正交相似对角化，能够正交相似对角化的矩阵也一定是实对称矩阵。好吧，这个要记得。然后我们接下来再看例4，例四是2013年初一的一道真题设置这两个矩阵相似的充分必要条件是什么充分必要条件是什么？
	我们观察可以发现。
	前面这个矩阵是一个实对称矩阵，后面这个矩阵是一个对角阵，所以它和它相似。这个对角线三个元素就对应的应该是它的特征值，想想一下是不是这个道理，对不对？就一定是它的特征值。只要这2B0是它的特征值，那么这个矩阵也一定是相似于这样一个对角阵。因为实对称矩阵它不存在说你要去判断能不能相似对角化。16岁人天生具有良好的性质，它就是天生可以相似消化的。所以现在只需要满足一件事情，就是这玩意儿的特征值是2比0就完事儿了。
	懂了没有？这点你要想通，所以我们就是要去说明这个矩阵的特征值是这个2B0，我们不妨求一下它特征指标，那就是兰姆达减1，兰姆达减B兰姆达减1，其他地方填负号算行列式是吧？其他地方填负号就是负A-1负A负A-1负A好，这个行列式其实应该是比较好观察的。
	怎么去算？我是不是可以利用第三行的负一倍加到第一行去，完了之后把这里消0，你会发现前面这就是拉姆达，后面是负拉姆达是吧？然后再做一次裂变换，就把零就消的差不多了，所以拉姆达零这是负责的。然后下面两行不动，下面两行不动，我也不妨直接偷个懒，复制过来。
	所以是这样完了。
	之后我再做一个裂变化，把第一列加到这里去，把这里消领完了之后从这里展开就完事了。所以它就等于。
	兰姆。
	达负A-1，然后零兰姆达减B负A这就0-2A这就是兰姆达减2对吧？从这里展开，所以它得到的结果就是一个拉姆达乘以兰姆达减B乘以兰姆达减2，然后减去2A方。看到没有？现在我令这个特征多项式等于0，令它等于0，令它等于0。你看一下解出来是不是兰姆达等于0，是一个是吧？还有两个从这里面解就令它等于0。那由于你最后特征值要是2B0好，现在零已经有了。也就是说你从这里面是不是要解除特征值2. 
	解除特征值B那比如说。
	我们就用特征值R带进去，那特征值二也就是说你要满足这玩意儿等于0，代进去它是满足这个方程的。你把兰姆达等于二代进去，你会发现这一块为零，这块为零。所以你这个-2A是不是要等于0？负A等于0，我们就推到A等于0，就是说我们代入兰姆达等于二应满足方程，故而推得A就必须等于0。A等于零之后，那这一块没有了，这块就没有了。这块没有了你会发现，那那就是这三个相乘等于0，那自然推出来就是兰姆达等于0，兰姆达等于B拉姆达等于2，蛮好。我们要的就是2B0，要的就是阿鞞。所以这就已经能够满足前面意思了。
	也就是说兆体就是想要这个矩阵特征值是2比0，只需要一个条件，就是参数小，A等于0，B无所谓，B可以愿一曲，是不是这个道理？所以这道题是不是选我们的B选项？所以这道题它其实并不难，主要就是算一个特征值。
	完了之后你要知道十对称矩阵有这么一个性质，它必可相似的化，是吧？那个对角阵就是对应特征值就完事儿了，这是我们的第四第四我们再看例5例5，这道题其实和例一有一点点像，不是和例二有一点点像。我们可以采用例二那个思路去做也可以。
	我简单说一下，就是采用仿照之前立案那个思路，你很快就可以得到，就由它得到F拉姆达等于0，那自然就是一减去二拉姆达加上拉姆达平方减去不减去这个两倍的拉姆达3次方等于0。好，很明显这里提个公式出来，提一个拉姆达的平方出来，兰姆达平方乘以一减去阿兰姆达，加上前面一减去阿兰姆达等于0。再提公因式一减去阿兰姆达乘以一个一加上兰姆达平方等于，这可以跟上。由于实对称矩阵特征值全部为实数，所以你这里拉姆达解出来正负I肯定是不行了，要舍去这虚数，要舍去，所以解出来。就说由于拉姆达为实数，我简写了，所以解出来拉姆达全部都等于2分之1，懂吗？全部都等于2分之1，也就是说你这个十对称女人，因为实对称女人必可以像最小化。
	我刚才利亚讲的一样，那么A矩阵A矩阵可以用正正交矩阵向最小化，它就有QDAQ等于这个Q转AQ等于对角阵的都是这个特征值2分之12分之一。那这不是别的，是不是正好对应的这个2分之1倍的E，对吧？所以我们反解出AA就等于Q小Q转等于这个Q乘以2分之1倍的E乘以Q转。好2分之1常常数零前面去，它等于2分之1QEQ转单位阵划去不写2分之1的QQ转就等于2分之1倍的一结束，这是方法一，我们可以这样做。
	还有一个方法，这里也简单跟大家说一下这句话还可以怎么做呢？我们可以直接从这个矩阵方程入手，两边整理很明显得到一减去2A然后加上这就是A方乘以一减去2A了，等于0矩阵。那这提取公因式E减去2A是不是乘以一个一加上A方等于零等于0矩阵，这零矩阵就是一般的矩阵方程，我们说由AB等于0，你是推不到A等于0或者B等于零的，这个绝对是错误的是吧？在讲矩阵乘法那里反复强调的。但是如果说其中一个矩阵可逆，那是不是就可以推了？但你思考一个问题，这个E加上A方，它是不是一定是一个可逆矩阵？一定是一个可逆矩的。
	为什么我们可以从特征值角度去分析A方的特征值呢？如果说A的特征值是拉姆达，A方的特征值就是兰姆达平方。你想一下，如果说这个拉姆达为实数的话，它为实数的话，兰姆达平方就一定是大于等于零的，是吧？所以A方加上E的特征值对应的是兰姆达平方加1，它一定是大于等于一的，对不对？所以也就是说它的特征值。
	是不是全为正。
	就是A方加E的特征值是不是全部为正，这很明显，特征值全部为正。既然特征值全部为正的话，那么A方加E的行列式那肯定就是大于零的了，所以它是可逆的，看到没有？它是可逆的，加上可逆的话，我由这个矩阵方程就可以进一步退化了。直接退化成一减去2，A等于0，所以推到A等于2分之1。这样做也可以也可以，你只要把这件事情说清楚就可以了，好吧？
	这是我们的例5，这是我们例五好，接着我们再看一个题目，也是考察时对称女生性质这一块。那例六这道题目就要难一点点，大家静下心来跟我一起分析，设三届的实对称矩阵A仅有两个不同的特征值。好，仅有两个不同特征值。然后说A的伴随。
	等于这玩意儿。
	让你求这道题目乍一看会感觉脑瓜子一翁，这在说啥？感觉这几个条件风牛马不相及，怎么就要求这个参数了。但你静下心来想一想，你看这里面条件实际上一共有这么几个，就是A是实对称矩阵，对吧？第二个条件就是说它有两个不同的特征值。第三个条件就是AA的伴随矩阵告诉你了一部分。
	好，首先我们有A是实对称，其实我们知道那么A的伴随是不是也是实对称矩阵？思考一下A的伴随，A的伴随的转我们很容易验证它等于A转的伴随就等于A的伴随是吧？这很容易验证它同样为实对称。那么由于A的伴随矩阵是实对称的话，那你这里面实际上有一些元素就知道了。
	实对称矩阵我们知道这对应的沿着对角线的元素应该是对称相等的，所以A就等于一，B也等于1，这个C也等于一，这可以理解。所以我们下结论就有A等于B等于C等于1，所以此时这个A的伴随矩阵，我们就已经知道一部分了。它就是一个11111111D对吧？就这个参数D还不知道，其他的都知道的。那这个时候你就会发现，实际上A的伴随矩阵它有两行是完全一样的，所以这个A的伴随矩阵肯定不满足。思考一下是不是对不对？A的伴随矩阵肯定不满足，但是A的伴随矩阵，这个伴随矩阵很有意思。
	我们说伴随矩阵的质，我们前面有结论了，它的质就三种状态，伴随矩阵这就三种状态RA伴随它，要么因为这道题考的是三阶矩阵，要么等于3，那么对应的就是说A矩阵的值等于3，要么就等于一，对应的就是说A矩阵的值等于2。要么对应的就是零，对应的是A矩阵的值是小于等于一就这几种状态。那这道题你觉得这个伴随舆论的质是哪种状态？它不满值的话，那不可能是这个了。那只有可能是这两个，然后是不是也不可能是零？就很明显这个伴随矩阵它不是零距离人质，怎么可能为零呢？因此这道题实际上定死了，就是这种状态，就是这种状态就对应的伴随矩阵制就等于一，A矩阵制对应的等于2。好，伴随矩阵制等于一是不是意味着这三行都应该成比例，这个才能为一，所以这个D是不是也定死了，这样的话我们就知道这个D也是等于一的。
	伴随矩阵就是一个元素全为一的矩阵，懂了吧？元素全为一的矩阵。好，接下来我们继续分析。现在我们还有一个条件没有用，就是这个16针矩阵A它有两个不同的特征值，这个条件没用，最后让我们求这个特征值？是吧？怎么处理？
	你看A矩阵。
	现在G等于2，是不是意味着A一定有零特征值？思考一下，并且这个零特征值的个数还能够说出来，因为A是实对称矩阵，实对称矩阵，实对称矩阵它一定相似的话，这个对角阵就对应的它的特征值的排布，你RA等于2，意味着非零特征值就有两个，零特征值有一个，所以这件事情是被定死的，它一定有个特征值0，还有两个非零特征值，还有两个非零特征值。那我们不妨可以假设这个兰姆达等于0或者谬等于零都行。你不妨假设兰姆达等于0，那剩下的就是缪，因此这个缪就是二重特征值，这件事情能不能想通？如果说拉姆达，如果说这个零特征值是二重的话，那2个01个缪行不行？不行，因为这样的话就只能为一，A组件制是2，这就矛盾了。所以一定是这个非零特征值是二重。就是我们要假设，我们人为假设拉姆达等于0，缪不等于0，好吧，我们就会得到一个这样的结论，这非常重要。
	所以搞清楚A的特征值之后，那么接下来怎么去求解它是不是可以利用伴随矩阵特征值的关系需求。因为伴随矩阵是完全一致的，看到没有？伴随矩阵是完全一致的，我们列出A与A伴随矩阵特征值的表格关系，A的特征值现在就是缪缪零缪缪零缪缪0。那么伴随矩阵我们说了，对应的填的是另外两个特征值的成绩，是不是？所以这里填过来这里是零，然后这里另外两个特征值的乘积也是0，然后这里填另外两个特征值乘积就是缪的平方6的平方。
	那你想一下，现在伴随矩阵是一个元素全为一的，是唯一矩阵，那么这个特征值是不是直接得答案呢？其中有一个是它的G就是3，另外两个特征值就是0，那是不是对应的00这玩意儿只能是三了。那最后我们填什么？是不是填零的平方加上三等于这个三结束了，就这么去做，懂了没有，所以这道题我希望尤其是目标要求比较高的同学，三颗星重点好好去体会一下。
	你说这道题有多多综合有多好？他把实对称矩阵性质这一块，还有A和A的伴随之间的关系这一块，可以说是考的方方面面都考到了。你看我们考伴随矩阵最喜欢考的几个点，其中一个点就是质的关系，对不对质的关系，还有就是A和A伴随矩阵特征值的关系。这两个点是非常喜欢考的，在这道题当中都有体现综合的，是不是非常好。然后实对称矩阵的性质这一块，在在前面也用了非常多，所以真的是一道很好的题，大家好好体会一下好吧。

（内容由AI生成）