好，接着我们再往下看，我们看到这一小节的最后一个知识点部分，就是实对称矩阵正交相似对角化的一般步骤。我们可以看到就是分这三步来走，分这三步来走。首先我们就求出实对称矩阵A所有的特征值，然后求解这样一个其次线方组的基础解析？然后合并之后就得到它N个相关的特征向量。唯独有一点区别的是，我们前面就是一般的相似调化，求解出这个特征向量之后，把它拼在一起就是可逆矩阵P了，然后就得到PDAP等于对角就结束了。只不过这个地方还要多加一步，因为你是正交相似的话，我还要多加一步，要把这个要把这些特征向量进行正交化在单位化，因为只有正交化单位化之后，得到的才是得到这样一个标准正交基，得到一个标准制氧机，我们把它拼在一起，就是正交正Q，这样的话才叫正交相似的话。所以这个时候把它拼在一起，我们就得到Q内AQ等于对角，而Q腻又等于Q转置，所以也可以写成Q转制，AQ等于对角线，这就是一个完整的正交相似对角化的过程。 然后这个地方给大家补充解释一点，和前面相似对角化非常像，就是你Q的每一列它仍然代表的是特征向量，你这个特征向量一定要和这个对角阵当中对角线特征值的排布要保持一致。因为他们是呼应关系是吧？一定要保持一致，所以这一点大家务必要注意。你这个Q矩阵虽然它是把这个特征向量进行变形了，进行正交化单位化了，但你不要忘了它仍然是特征向量，好吧，这个要注意。所以我们对比前面一般矩阵的相似对角化步骤，你会发现其实就是多了一步特征矩阵的，不呸呸呸特征向量的正交化单位化。 那么对于这个特征向量的正交化单位化，大家注意了，我们是不是只需要把那种重根，就特征值重根底下的特征向量进行正交化就行。因为不同特征值底下的特征向量是天然正交的。我们前面举了一个四阶的矩阵为例，也给大家说过了？你只需要把那个崇根底下的特征向量进行进行正交化即可。我们常用的方法就是施密特正交化。 然后这里我们来解释一下施密特正交化的原理，就是我们给定一组信用关但不正交的向量。我们这里以三个向量为例，因为考试一般来讲就是考三个向量的施密特正交化过程，那么把这三个向量进行标准正交化的过程如下，我们把这样一个标准正交化的过程叫施密特正交化。注意这标准这样化，实际上包含了两步，一个是要把它正交完了之后还要标准。什么叫标准就化为一个单位向量，就所谓的单位化。回忆一下我们前面是不是讲了一个标准正交基。什么叫标准正交基？就标准制药机它就要满足A两两正交，并且还都是单位向量，是不是？这所谓叫标准正交，所以标准正交化它也是包含两个步骤的，就正交化和单位化，先正姣在单位化这整个完整过程才叫施密特正交化的过程，这需要给大家解释清楚。 好，接着重点我们就要说怎么把这个三个向量进行正交化？我们这里结合一个几何意义来给大家讲，好吧，我们先谈一下前面这两步。前面这两步你看这个向量是X一好，这个向量是X2，长这个样子，我现在要把它进行正交化正交化你首先要选取一个基底，比如说我就取X一作为一个基底。好，X一也就等于贝塔一。完了之后你发现没有，现在这两个向量它不是正交的，它这个角度它它这个不是正交的，不正交的怎么办呢？我们就要把它给它改成正交，也就是说你这个X2要稍微调整一下。正交化的过程实际上是寻找这样一个分量的过程。就是你把这个X2进行这个正交分解进行正交分解，那么它就有一部分相当于是投影到和X一共线的地方，有部分就和X1这条线垂直的一个地方，那么这个箭头这个分量，这个向量的分量，也就是我们要的。 贝塔2。好。 至于这一块我们把它叫XR18好了，相当于把X2进行这样一个分解，这一部分就是我们要求的贝塔2，这样就实现了一个正交化的过程。那接下来核心就怎么把这个贝塔二给它求解出来。贝塔为什么等于这个呢？我们可以这样思考一个问题，你想一下这个XRE把它和X1或者说它和贝塔一是共线的。所以你这个XR18是不是肯定可以用一个K倍的贝塔一去表示，这没毛病？它贡献配备了贝塔一句表示。 好，那现在也就是说是不是有思考一下这样一个问题，是不是就有这个X2这个向量减去K倍的贝塔一这个向量。想一下X2减去它，也就是说X2减去XR一拔这个分量是不是得那就是贝塔二对吧？也就是说这个东西叫贝塔，那么贝塔2和贝塔一之间是垂直的。既然贝塔2和贝塔一之间垂直，也就是说它点成贝塔一是不是应该等于0？垂直正交，正交的话就是点乘是等于零吗？ 好，那你现在把这个式子稍微整理一下，把这个式子稍微整理一下，我们就有X二点乘贝塔一，也就是内积。X2和贝塔一的内积减去K倍的这个贝塔一和贝塔一的那一集，贝塔一和贝塔一的那一集它就等于0。所以进一步求解出来这个K它就等于X2，贝塔一的内积除以贝塔一与自己做内积。所以我们就把这个K给求解出来，K求解出来。然后你把这个K求解出来之后，再回带回带到这里面，不就求解出来贝塔二了吗？你要求的就是贝塔，贝塔就是这东西，思考一下，这玩意它就是贝塔2，所以你把它K往里头一回带，我们是不是就得到了。 好，我往下写，贝塔二它是不是就等于X2？减去K倍的贝塔一，也就等于X2，减去这东西带进来X2，贝塔一乘以这个贝塔一。所以这个公式怎么来的？就这么推导出来的对吧？你从几何角度去理解，相当于就是我们要找出X2在这个垂直方向上的一个投影，即为我们所求的贝塔。你仿照这个思路仿照这个思路，我们构建一个三维的平面，构建一个三维的平面就是有这么三个向量，你把现在就是X3也加入队伍，这一次X3也加入队伍，来我来写一下，X三这一次也加入队伍，一起来玩各种模块思考。比如说X3在这儿，这是X3好X一。 还是等于。 贝塔一是吧？贝塔二我们也刚才找出来了，这个是贝塔，这个是贝塔2。现在X3它也和这个不垂直，它也和这个不垂直。就是垂直的话它应该是一个你从三维空间去去想一个问题。如果这里叫X轴，这里叫Y轴的话，垂直的话它应该正好指向一个Z轴的方向才对，是吧？当然我这个画的有点别扭，就是你这个空间的图不应该是这么画，我重新画一下，重新画一下空间的图，它应该是这样画会看起来会更舒服一点。 这什么意思呢？就这个地方是贝塔一，然后这里是贝塔，它垂直的，贝塔一和贝塔2之间是垂直。然后现在就有一个X3向量，它就长这个样子，这显然它就没有进行正交化。我们希望找到一个，什么找到呢？就是把你把X3进行分解，进行这样一个分解，分解之后我们得到了这个分量，就这个分量把它平移过来，这就是我们要的贝塔3，懂了吧？这样的话就实现了正交化，他们就是两两垂直，两两正交的，现在就是要把这个量给求解出来，那这个量怎么求呢？ 核心就是你要找到X3在贝塔一贝塔2所构成的一个平面上这一部分投影。我只要用X3减去这个投影，是不是就得到了贝塔3，还是和刚才的是一样的思路。所以核心就是要把这一段投影向量投影给它求解出来。 这一段向量投影我们仿照刚刚才的方法，刚才是刚才这个投影是和贝塔一共线的，所以它是用K倍的贝塔一去表示。现在这个投影是不是在贝塔一贝塔二这个平面上。既然在这个平面上，我这一段投影是不是肯定可以用贝塔一贝塔二进行一个线性表示，没毛病。所以我们把它把这一段投影，我们把它叫X31拔的话，它就可以用L一倍的贝塔一加上L二倍的贝塔二去表示，可以用它先表示的。所以我们进一步就仿照刚才这里类似的思路，我们就有跟着我思路走。 我写左下角是不是有X3向量，减去这个X31拔也就得到这个东西。它是与betta一正交，它也是与贝塔二正交，这可以动。因为你X3减去这一块投影之后，得到的这个就是贝塔3。 贝塔三什么样才能是我们要求解的贝塔三呢？就是你这个东西它一定要是和贝塔一、贝塔二分别是正交的。所以我们就可以利用这个特点来求解这个L1L2。求解L1L2，就是说X3减去这个L1，贝塔一减去L2贝塔2。也就是X3减去X31拔，它得到的就是贝塔3。这个贝塔三它应该和贝塔一、贝塔二都正交，也就是说点乘贝塔一是等于零的。同样的道理，它点乘贝塔2，它点成贝塔二也是等于零的。 好，由上面这个式子思考一下，我是不是立马一项整理，你想一下这里面是不是拆成三项。第一项是X三点乘贝塔一，也就是X3与贝塔一的那一集，然后减去L一倍的贝塔一与beta一的内积。至于最后一项，贝塔二与贝塔一的内衣它是0。因为贝塔一和贝塔2之间它是正交的，它垂直的，所以贝塔2和贝塔一做内积的话，它是为零的，所以这一项就省略掉了，也就得到它等于0。 好，你进一步有这个式子，你再往右推，是不是就能得到这个L一一项整理它就等于X3贝塔一除以贝塔一贝塔一，贝塔一贝塔一同样道理，你下面也是展开之后就三项，X3贝塔2内积减去这一项是不是就没有了？因为贝塔一和贝塔2，它正交的内积为零是吧，所以只有这一项，这一项的话就是减去L二倍的贝塔2，贝塔二等于0，所以这一步就可以得到L二等于什么，是不是X3与贝塔二的那一集除以贝塔二与贝塔自身的内积，那你带进去看你带带进去看带到哪？因为我们要求的这个贝塔3，我刚才说了，就是X3减去X318，也就是X3减去这玩意，你自己看一下，X3减去这玩意儿，你把L1L2用这个东西给它带进去之后，是不是就是这个公式一模一样，懂了吧？所以这是一个推导和理解的过程，就施密特正交化这个正交化的过程是怎么样？ 怎么推出来的。 这个大家先要理解，然后接着我再教你去怎么去记忆这个公式。记忆这个公式其实也简单，你首先任取一个作为作为基础，X一就是等于贝塔一的。那么求贝塔2的时候你注意了，注意这个特点，是X2减去一个什么东西的分量。这个分量记住左上角填X2，其余的都是贝塔一。看到没？其余的都是贝塔一。 然后当你求贝塔3的时候，就是X3减去两个东西，这两个东西左上角是X3，其余的分别贝塔贝塔一贝塔一贝塔一贝塔一。懂了没有？好不好记？就你结合这个特点来解结合这个特点来解。 当然你能把这个理解推导的过程搞清楚，那自然是更好。但实际上考试也不会让你去去证明这个东西，是吧？都是直接用，大家能够把这个公式记下来也是不错的这正交化过程。 然后单位化的过程就很简单了。我们说把一个向量化为单位向量，就是用这个向量除以它对应的这个模长，这就是单位化过程。好，完成了正交化单位化，我们就得到了一组标准正交向量，标准正交向量是这样一个史密特降化过程，给大家解释一下。 好，那么关于这一块的原理我们就说完了，关于史密特这段话还要补充一点，补充给大家解释一点，就是我们这一块最常用的或者说最常碰到这种情形是什么样子的。因为考研来说，一般考这个问题都是三阶矩阵为主三阶矩阵为主。那么一个三阶的实对称矩阵，如果说它的特征值互不相同，那互不相同的这三个特征向量都都相互正两两正交，那还要你正交画个锤子是吧？那就不用正交化了，所以需要用到这个史密特这样画，就这一块需要用到史密特这样画，其实就这一种情形，就是什么呢？ 就是这个X3向量. 指向这儿，然后X1X2向量是这样的这是X1，这是X2，就是这个崇根底下的两个特征向量，它不是正交的这就很讨厌写，你就要把它想办法给它正交化。所以从几何角度给大家解释一下这个问题，也就是说你要处理的就是一个这样的过程，就是这个向量是不动的。好，然后你把这个X1X2就变转化成一组相互证据标的向量，就是贝塔一和这个贝塔2。所以我们史密特这张画就是做了这么一件事情，做的比较多。这个过程实际上你也看到了，也就是说两个向量之间的这个正交化的过程。所以实际上在这一块我们最常用的就是前面两步，第三步都很好，很少用。第三步都很少用，大家注意，所以大家不要太害怕这个东西是吧？这前面两步应该还是比较简单的，计算并不是多复杂的一个东西。 这里面趁着这个图画出来了，顺便给大家解释一下前面说到的一件事情，就是我们说把这个特征向量进行正交化。单位化虽然样子改变了，但是它仍然是啊仍然是原来这个矩阵的特征向量。这有同学可能就不理解他他就感觉好像我正常化单位化变了副模样是吧？就好比化了妆之后，那那那那你就不是我女朋友了，那不是这回事儿不是这回事儿。 大家注意这两个向量间线组合是不是代表了这个平面上任何一个向量，对不对？就是与X3垂直的这个平面上任何一个向量的。同样道理，你把它转化之后，这个贝塔一贝塔只不过是它是非常特殊的垂直的一组向量。它同样能够代表这个平面上任何一个向量。也就是说他们都是表示了表示了这样一个特征值底下的全体特征向，或者换句话讲，这个和这个是等价的几大信用管组是等价的几大线玩组等价的代表团，懂吧？就这个意思，所以他他他都是这个特征向量，只不过说形状稍有改变而已，这个不影响好吧？就关于这一点补充给大家解释一下。好，关于支点部分我们就说这里。 接下来我们来看一下第三种题型，就是关于实对称矩阵的相似计算。这一块主要是出大题了，就是让我们去求一个正交矩阵Q的这种题型，当然还会有更综合的问题，我们待会儿例八你会看到更加的综合。那接下来我们讲这类题型之前再给大家补充一下，就是实对称矩阵相似计算求正交矩阵Q这个地方，本质上就是求实对称矩阵的特征向量，对不对？那实对称矩阵特征向量我们说是有快速的求解方法的，关于它的原理和对应的例题，我们在基础阶段都讲的非常清楚了，所以我这里就没有放。但考虑到有部分同学是强化跟着我基础，跟着其他老师，所以我在后面会放一个负实对称矩阵快速求特征向量的原理。你到时候可以看一下那个视频，好吧，对应的就能够理解了，这个要跟大家说明一下。 好，接下来我们还是来看到这两道例题。例七应该是一个非常基础的题目，给出这样一个矩阵，然后问你，它正交矩阵Q是等于Q转为Q等于对角阵，然后告诉你Q的第一列，也就是告诉了一个特征向量的信息，对不对？让我们求A和Q那这种题怎么做呢？实际上就是说已知一个矩阵，当然带部分参数，然后知道一个特征向量。这种题目我们在前面那个特征值、特征向量那个小节见的非常多了。你就利用A矩阵去乘以这样一个特征向量，就是根号6分之1的这样一个121。当然你这个系数根号6分之1不要也行。因为我们知道既然它是特征向量的话，那么把这个系数拿掉，相当于一个K位，还是它的特征向量，这个带不带没有关系。 好，我把A矩阵写出来，就是说它等于一个拉姆达倍的这个向量，根号6分之1这个121就有这样一个等式关系，实际上这个数字也约掉了是吧？好，你把A矩阵补补补补补过来，就是0-1 4-1 3A4A0是吧？完了之后把它乘开，它就是什么？它就是一个这样的，它乘它得到的是-2加4. -2加4就是2，然后。 第二行从它得到的是得到是什么？ 是不是。 5加A？5加A，然后第三行乘以它，是不是4加2A4加2A按理来说它应该等于兰姆达乘以它，那就是兰姆达，兰姆达，兰姆达，所以很明显我们得到兰姆达就等于2，那4加上2A等于兰姆达等于2，进而也可以推出来A等于多少，A是不是等于负一，对吧？A就等于负一，所以这样一个特征值我们求出来，A也求出来了，A求出来，A矩阵彻底已知了。那A矩阵彻底已知这样一个实对称矩阵，让你去求正交矩阵Q使得Q转移Q等于对角，把这个Q求出来，那不是轻而易举吗？这个会求这个会求，我们就是。 先把A矩阵。 其他的特征值也都求出来。我们就是有拉姆达一减A行列式，它等于那么大减三那么大，其他地方填负号，1-4 1-2A负A就是一，然后-4负A就是一对吧？点这玩意儿好，这样一个特征的方式怎么去化简处理，是不是还是利用第一行和第三行，你看这个数字非常好，第三行的负一倍加上去，那么这里得到拉姆达加4，这里得到负拉姆达减4，中间变成零是吧？非常合适这种操作见的太多了，这个大家要形成肌肉记忆了。那就是拉姆达加40负拉姆达减4，下面两行不动，一兰姆达减31-4 1拉姆达完了之后，第一列加到第三列去，它就等于一个拉姆达加41-4，零拉姆达减31加过去就是02-4加拉姆达是吧？ 完了之后从这里展开，得到结果就是一个欧式，左边得到结果就是什么，进一步就等于拉姆达加4，然后乘以兰姆达减3，乘以-4就拉姆达减4，兰姆达减4，然后减去一个二，再把它打开，兰姆达加4乘以兰姆达平方减去七倍的兰姆达加上10。这很明显可以因式分解，就是兰姆达加4乘以兰姆达减2，乘以兰姆达减5，你令这个特征装饰等于0，自然可以解出来。兰姆等于-4，拉姆达等于2，兰姆达等于5，最好是给它标个123，标个123，比如说这里标拉姆达1，这里不要拉姆达2. 这里不要拉姆达三好吧？ 完了之后你就解对应的特征向量就好了，解对应的特征向量这个过程，我大致的写一下，大致的写一下，我们就有-4E减AX等于零去解除。因为它现在三个特征值都互不一样，所以这个解起来可能会麻烦一点。对于这种互不一样的，我们就没有什么快速求解特征向量的方法了。这个就我们快速求解特征向量主要是针对那种带有两重根的，带有两重根的那种特别好用。这里我们就老老实实去解呗，那就解出来这个阿尔法一样，你就叫阿尔法一响了，阿尔法一向量等于什么呢？等于这个-1 01转，然后有2E减AX00解除阿尔法二特征值R对应的是不是就是这个对吧？我们刚才算出来兰姆达等于2，所以就是121，有5亿减AX等于解出阿尔法三等于。 什么？这个。 是不是就等于什么？等于1-1 1。解出来三个特征向量之后，我们再进行单位化。因为互异特征只是天然正交，所以只需要单位化即可。单位化把它拼在一起，单位的话得到伽马一家、马二家、马3，然后拼在一起就是Q所以Q等于伽马一家，马二伽马3。 等会儿这个地方。 还有个问题，有个细节问题，我才发现，他要求了，他把这个Q的位置还定死了。他是要求Q的第一列就是这玩意儿，所以他还不行，他这个东西它只能放在第一列，它只能放在第一列。那我们换个位置，好吧，那这还真这还这个细节我还才才注意到，那我还真不能这样，我们真不能这样，我们这一步倒是可以这样走。在单位化得到伽马一家、马2、伽马3，但是你这个Q只能这么放，把伽马2放到最前面好吧，我们把伽马2放在最前面，就伽马2、伽马一、伽马三好了，我们这么放好了，好吧，然后对应的它就等于就是根号6分之1，根号6根号6分之2，根号6分之1是吧？这伽马第一列，然后这个东西单位化得到伽马一样放到第二列，负的根号2分之10根号2分之1，然后它单位化放到第三列，就是根号3分之1，负的根号3分之1，根号3分之1。 当然这个Q矩阵唯不唯一呢？这种我的唯一显然不唯一？你比如说我把这个特征向量填个负号，把这个向量把这个特征向量填个负号，是不是仍然可以？所以它并不唯一并不唯一。 好，现在我们得到这样的Q那么一定要配上一句话，胶体这叫完整，一定要配上。就是说存在着这样的正交矩阵Q使得写步骤要写规范，使得QEAQ等于对角，再补上，使得Q0AQ等于Q转AQ等于对角，并且把这个对角阵给我写出来。我们说这个特征向量和特征值是要有呼应关系的，是吧？你既然是把它放在第一列了，那对应的特征值2就是放在第一个位置。好，把伽马仪也就是对应的阿尔法一放到第二列了，那对应的特征值负四就是第二个位置，然后五是第三个位置，要对应。 好就这样。 当然你后面这两个特征值其实可以对应的交换，那只不过把这两个特征向量就要换个位置。但是伽马这个必须要放在第一列，要定死。因为题目也已经给出要求了，对吧？题目没有给出要求的情况下，你可以任意的换位置，只需要特征值跟它对应呼应好就好。但是现在题目已经要求了，那你就他就是稳稳的坐在这里，你不能随意的动，好吧，这细节要注意。我刚开始我自己都没注意到，所以大家自己做题的时候还是要小心一点。这是这道题目，我们就说到这里。 然后接下来重头戏来了，第八第八道题值得大家好好去体会一下。他说阿尔法贝塔是三维的单位正交列向量组单位正交列向量组，然后A矩阵等于这个东西就条件没了，就这么两句话。第一问让我们证明A可相似对化，你会想到怎么去处理。 证明A可。 相似量化，我们可以从充要条件去证，也可以从那几条充分条件去证，对不对？这里面你注意这个A矩阵这个形式的特点，你有没有感觉很像一种对称式的结构？阿尔法贝塔转加上贝塔阿尔法转是不是很对称，给人一种感觉对称式，要有这样一个发现数字对称的美感的能力。 所以我们不妨去考虑，这个A矩阵有没有可能是一个实对称矩阵呢？你在草稿纸上大胆去验证一下，你会发现A转置等于阿尔法贝塔转加上贝塔阿尔法转。我们知道转制是有加法法则的，所以它就等于阿尔法，贝塔转的转加上贝塔阿尔法转的转，这都可以打开。所以前面这个先来后到原则，贝塔转的转就是贝塔，所以得到它等于贝塔阿尔法转加上阿尔法贝塔转，你发现没有？这个东西和这个A矩阵是不是就是一回事，是吧？这看得懂吗？这不都是这两个东西相加吗？所以它就是A的，它不是别的，就是AG因此A为实对称。 A为实对称的话。 那么就可以推出AB和相似调法低温。我们可以这么整，需要你能够有这种观察能力，发现它是个这种对称式的感觉，它有种对称的感觉，是不是？这样就可以。 把它证出来。 除此以外还有什么思路？我再给你介绍一种方法法，反而这种思路建立在什么前提下呢？它需要你有一定的基础呗。 其实前面也跟大家讲过，就是当你看到形如这种结构，形如阿尔法阿法转，阿尔法贝塔转，类似于这种结构类似于这种结构的时候，你要想到一个操作，就是把这个矩阵给它又乘一个阿尔法向量，或者是贝塔向量，懂不懂？就给它又成一个这样的向量，又成一个向量的这种操作，往往能推出有用的信息。我们在前面讲，不管是矩阵的高次幂，还是讲逆矩阵，还是讲至微矩阵性质，是不是都讲过这种操作。所以现在就要派上用场了。你把这个A矩阵阿尔法贝塔转加上贝塔阿尔法转，我给它又乘个阿尔法向量，你看能推到什么？那又乘个阿尔法向量，那你看贝塔转乘以阿尔法这一块，由于它是正交的，它是正交的，所以这一块就为零。然后阿尔法转乘以阿尔法，又阿尔法贝塔都是单位向量，所以阿尔法转阿尔法是不是就等于一？好，前面等于乘出来等于0，后面这一块是一，所以最后留下来是不是就等于一个贝塔向量？ 同样的道理，阿尔法贝塔转加上贝塔阿尔法转，如果去乘以贝塔，那等于什么？那是不是后面这一块为零，前面这一块乘出来就等于一个阿尔法，所以它就等于阿尔法，等于2。好，现在你会有一种感觉，就得到这两个式子好像不太好用，确实也是如此，它不太好用。 那么进一步我们想一下怎么去用。其实这种式子有点像这种半对称式的结构，它乘以阿尔法等于一个贝塔了，反而它乘以一个贝塔反而等于阿尔法是吧？跟你反着来。但你思考一下，如果说我把上面这个式子和下面这个是相加，又或者是相减，那是不是就这个形式就好看了，它就会得到看清楚，就是阿尔法贝塔转加上贝塔，阿尔法转乘以阿尔法加上贝塔等于右边贝塔加阿尔法。我把它加乘以阿尔法减去贝塔上式，减下式就等于贝塔减去阿尔法。现在你看到没有？这东西是不是就是所谓的阿尔法加上贝塔？下面这个式子我是不是可以写成负的阿尔法减去贝塔？ 好，你现在看这个矩阵乘以这个向量等于一乘以这个向量，这个矩阵乘以这个向量等于负一乘以这个向量，看懂没有？所以把这两个向量给我圈起来，是不是就是分别对应于特征值1，特征值负一对应的特征向量。也就是说我们得到了这个A矩阵，得到了A矩阵两个特征值特征向量的信息，两个特征值特征向量的信息，那这就很好了。 那接着你看，这还没完，A矩阵很明显是个三阶矩阵。因为它是由三维向量相乘得来的，是吧？现在我们已经知道A矩阵有一个特征值是一，有一个特征值是负一，还有一个，假如说这个特征值和前面两个都不一样，它有三个负一的特征值，那是不是就可以相似的话，我们是不是可以从这个角度去说明问题？还有个特征值，你说是什么？我说A矩阵，A矩阵既然是长这个样子，你不要忘了还有一条性质，它的值是小于等于ad。 可能这样一说大家会有点懵。但是你联想一下，我们在前面讲矩阵制的时候，绝对讲过一道真题。那道真题是这样的，A等于阿尔法，阿尔法转加上贝塔，贝塔转你自己去翻了，当时就让你证明了这个A矩阵它的值小于等于2，也很好证。你这个RA我写在它的正下方好了，我就写在这正下方。因为RA是等于这两个相加，所以它的值就小于等于这两个字的和。这是我们在讲制那块的结论，性质，这个要有影响。而这两个都是显然都是作为一矩阵，所以这两个就是一，一加一就等于2，所以2A小于等于2，它的值既然小于等于2，它不满值的话，就一定有什么一定有零特征值，是吧？它一定有零特征值，所以最后一个就填零就这么来的。 这个零是由于RA小于等于二推出来的，所以A现在有三个互异的特征值，也能够说明A相似的，懂了吧？所以第一问我们还可以从这个思路好讲到这里，请你务必要做好笔记。我这里给你留这么大空，就是让你做笔记的。 也就是说你以后碰到这种形式，又或者是我刚才讲的那道真题的形式，阿尔法阿尔法转加上贝塔转。你想一下你是不是能快速得到它的一些特征值、特征向量的信息。大家思考一下是不是这样的，我能够快速得到它的一些特征值、特征向量的信息。就是通过这样的操作，通过乘以阿尔法乘以贝塔的操作，你包括这个也是的，你也能够快速得到它特征值、特征向量的信息。假如说这个阿尔法贝塔是这种单位正交列向量的话，都是类似的。希望你做好笔记。 并且不管是这个也好，还是这个也好，它都是实对称矩阵。你发现没有？都是实对称矩阵，所以都有非常良好的性质。 好，这是这里。 我们就说到这。然后接下来我们再说一下第二问。说到第二问，说第二问这里可能还会用到，我们先不擦，我们把这前面的擦掉好吗？把前面的。 都擦了。 我们说一下第二个，第二问是给了一个阿尔法贝塔向量，具体告诉我们了让我们求正190Q使得Q转A加上A伴随。 Q等于对角阵。 如果让你直接求Q转AQ等于对角，你可能还会求，但是这里面是A加A伴随，那这个Q又应该是个什么样子呢？可能有的同学心里就开始打鼓了。实际上你要懂，我们前面在讲A和A伴随矩阵性质关系的时候就特别强调过，A的特征向量都是A伴随的特征向量。这个通过那个表格关系，我们说正向的都是成立的。就是已知A的特征值、特征向量，我们推到后面一大列一大箩筐，那都是成立的。但是反推不一定成立，还有印象没有？反推我说了除了一个KA加上BE还有个A逆，这两个家伙成立，其他的都不一定成立，是吧？ 也就是说你已知A的伴随于矩阵，已知A伴随的特征向量，那A的伴随特征向量并不一定是A的特征向量。但是A的特征向量它全部都是A伴随着特征向量，这个我们是反复强调过的，所以实际上你想一下，就是说既然A矩阵能够通过这样一个Q矩阵进行对角化的话，Q实际上就是由A的特征向量拼在一起的，拼在一起的。所以这个Q同样可以作为A伴随对角化的手段，就是说A伴随也能够通过这个Q矩阵画到它自己的对应的对角阵。 这个对角阵是什么？你说是什么？我们不妨把它叫角，不妨我们这里先打个问号你猜一下是什么呢？实际上是不是脚的伴随？大家思考一下，这是不是脚的伴随，为什么？其实也很好推。 你想一下，我写左边，我写左边，由于Q转AQ等于对角，我只需要在这等式的两边同时打伴随，那么就可以得到Q转等于Q的伴随，等于角的伴随，然后再把这一块乘开，它就是Q的伴随乘以A的伴随乘以Q转的伴随等于角的伴随是吧？然后这里就是Q伴随的转制，也可以写成Q伴随的转制，Q伴随着转制。所以你看到这一步你就会发现，就是由这个式子我们能够得到。我们可以画个流程图，也就是说A的伴随矩阵是通过这样一个手段，通过右边这个。 矩阵。 通过Q伴随的转到了对角的转。那这样的话可能大家会想，你这个A伴随到角伴随就这样一个相似对角化的过程，好像用的手段是这个他好像用的手段不是这个Q是吧？看起来不太一样，实际上它们是一样的，你可以变现整理，变现整理我们整理一下，把这个进一步化解。 前面Q的伴随。 写成Q的行列式，乘以QE，Q腻就是Q转，Q腻就是Q转，对不对？这一步能跟上吗？然后乘以A的伴随，然后乘以后面Q的，Q的伴随着转制，Q的伴随着转制，Q的伴随着转制这一块我们怎么去化解呢？Q的伴随的转置这一块怎么去化解？我想一下，实际上我们可以写成Q的伴随就是Q的好像是QE，q的好像是QE，是吧？这就是Q的伴随。我说了Q逆就等于Q的转置，因为是它是正交正，所以又可以写成Q的转置，这就是伴随好伴随外面再打转制。那这个你会化简吗？Q转的转，那不就是Q前面数字照写，所以它实际上得到了一个Q的行列，是乘以Q能不能跟上哦啊等于对角的伴随是吧。 然后进一步大家思考一下，正交矩阵Q我们说它的行列式要么为一，要么为负一巷你不管它是一还是负一，总之这两个行列式得在一起就是行列式的平方。那行列式的平方正交矩阵行列式的平方，那当然等于一。所以这两个乘在一块的就等于一就乘在一块等于一就划掉了。所以实际上我们也就得到了这个Q转A伴随Q等于角的转，这就推出来了。 你发现没有？这是不是就印证了这么一件事情，就是说A的伴随也是通过这样一个Q矩阵这样一个手段画到了角的伴随。所以为什么这两个加在一块同样能通过这个手段变到对角正的，就这个原因就这个原因我们就是有在大题当中你还是要这么去写，由这个Q转AQ等于对角线，然后Q转A伴随，Q等于角的伴随，那合太快就能够得到Q转A加上A的伴随，Q等于角加上角的伴随。这个在大体步骤当中还是要把它写清楚，好吧？这是完整的一个推导过程。我先跟大家解释清楚，就是说为什么会出现这样一个式子，为什么它加在一块能用这样一个Q矩阵这样一个手段画到对角阵。 先把这个事情解释清楚，我们再去求这个Q好吧，我们再去求这个Q好，求Q实际上就是求A的这个特征向量，主播你要把这个特征向量进行单位化，进行正交化单位化，正交化倒是不必了，因为这个A矩阵特征值是三个互异的。我们刚才已经求过了，A的特征值对应的是1-1 0，并且特征值一对应的特征向量是阿尔法加上贝塔。这里是阿尔法减去贝塔，这个特征向量不知道定义为伽马好了，刚才才讲的是吧？刚才这里才讲的所以。 它是这样。 一个关系这样一个关系。好，所以现在我就是要把这个特征向三个特征向量给我求出来，就行求出来进行单位化就可以了。阿尔法贝塔题目也有是吧？阿尔法加贝塔，阿尔法减贝塔，这个也有，也就是说你只需要求出伽马就行。伽马怎么求？我们是可以利用十对称矩阵不同特征值底下的特征向量是天然正交来求，是不是？是的，所以我们现在就是说阿尔法加上贝塔，它就等于看清楚，加加在一块就是二分之根号2一二分之根号2。然后阿尔法减去贝塔，就等于二分之根号2-1 2分之根号2。 那你设伽马等于X1、X2、X3，我们就有他们一个正交关系，就是阿尔法加上贝塔的转乘，以这个伽马应该等于0，阿尔法减去贝塔的转乘以伽马应该等于0。有这个正交关系就可以把这个伽马给求出来，好吧？这求解过程大家自己去求一下，伽马就等于一个-1 01转制，-1 01转置，这样就求出来三个特征向量了。求出来之后，你只需要把它们进行单位化就可以了，因为它们是天然正交。 然后把阿尔法加贝塔，阿尔法减贝塔伽马分别单位化拼在一起，就是我们的Q好吧，这个过程大家自己去算一下，就单位化我们得到这个贝塔一等于根号2分之1的阿尔法加上贝塔就等于这个2分之12分之根号22分之1好吧。然后伊塔2就等于根号2分之1的阿尔法减去贝塔它就等于2分之1负的2分之1根号2。然后2分之1？一塔三就等于就把这个伽马向量进行单位化，它就是负的根号2分之1，零根号2分之1。好，这三个特征向量出来之后，那么Q矩阵就等于一塔11塔21塔3好吧？这样我们就得到了我们的Q矩阵，得到了我们的Q矩阵。 听懂了没有？对应的这个对角其实指的就是。我刚才跟大家分析的那个角角加角的伴随，这个角实际上就是角A，A矩阵的对角阵，还有就是对应的它的伴随，你把它求出来就行，这个应该不用我教怎么求，这个会求这我写一下，把左边擦掉，把左边擦掉，给大家写一下。因为A相似对角化，我说了这个角就是特征值，就对应的是1-1 0吗？角的伴随你还不会求吗？这个对角线的伴随应该会求。 调整的伴随这个地方填的是它对应的这个代数域，是嘛？很明显就是这两个相乘是吧，所以是0。然后这里面对应的这个位置填的就是它对应的代数余值，就是把它划掉，剩下的那自然是它和它相乘，所以现在是0。然后最后一个就是把它和它划掉相乘，就是这个负一就会去吧。 所以最后你这个角。 这是角A，这角A的伴随，所以最后我们题目要求的这个对角阵就等于角A加上角A的伴随，它就等于一个1-1，看到没有，这就是这个第二问的一个完整思路，大家要清楚。 大家要清楚。 好，然后我们的第三问第三问第三问怎么。 去做呢？ 第三问给出了还是这个阿尔法贝塔向量，让我们求这样一个分组的通解。这第三我们跟大家说两个思路。第一个思路，阿尔法贝塔向量都告诉你了，所以你是不是可以把A矩阵给我求出来，是吧？可以把A矩阵完整的写出来，把A矩阵给算出来。好，算出来A矩阵之后，你不要忘了，我们前面就跟大家在讲伴随矩阵的时候，格外强调过这个知识点。当A的我写一下，我们格外强调过当A的行列式等于0的时候，有这么一条性质，那么A乘以A的伴随等于A的伴随乘以A等于A的行列式乘以E等于0，对不对？好，盯着这里看，盯着这里看，也就是说A的每一列是不是都是A伴随X等于零的解，对不对？ 那你现在分析一下，在这道题当中，在这道题当中A我们刚才分析了是可以相似于对角，相似于1-1 0的。所以很明显2A是等于二的，那么这个伴随矩阵的值实际上就等于一。因此伴随矩阵就对应的这个其次方组，它应该有两个，这个就基础解析里面有两个线用万解向量，那这两个线用万解向量怎么去找呢？是不是从A的列当中挑两个线用完放上来就可以了。所以这个思路是走得通，就是你把这个A矩阵给我算出来，用这个向量给我算出来，然后从A矩阵当中任意选两列线性无关的，任意选两列先用弯的，就可以作为它的基础解析了，它的通解也自然就求出来了。 懂了没？就是这个思路，但是你要去算这个A矩阵还是有点麻烦。有没有更简单一点的方法呢？我们说肯定是有的，还可以怎么做？大家思考一下，还可以怎么做，这个思路就比较牛。你跟着我过来想，我们还可以怎么做，我们是不是可以从这个角度去理解？你既然要求A伴随X等于零的解，如果用特征值与特征向量的语言去说，怎么说？因为我们这一章就是主持人相似，我们这个角度你要能够联想的起来，我们这个东西完全可以用特征值特征向量的语言去讲。实际上就是求A伴随矩阵对应于拉姆达等于零。 的特征向量。 是不是就是这个意思？我们说这样一个其次线方组，就对应的是零特征值对应的特征向量，对吧？就它的非零解对应的就是零特征值对应的特征向量，所以你就是要求这个东西好，那求这个东西的话其实是求什么东西？因为我们现在已经知道A的一些特征值特征向量的信息，那么A的特征值、特征向量信息又和A伴随的特征值、特征向量它是有关系的。 我们把这个表一列出来你就懂了，我们列一个表AA和这个A的伴随，A和A的伴随。A的特征值是1-1 0，对应的特征向量是阿尔法加上贝塔阿尔法减去贝塔伽马。那么这个伴随矩阵对应的特征值是什么呢？对应的特征值是不是另外两个特征值相乘，所以是不是对应的相应的变成了000-1，特征向量是不是还是去共用这个特征向量？这是那个表格告诉我们的，所以特征向量仍然是阿尔法加贝塔，阿尔法减去贝塔伽马，还是可以用这个特征向量。 那我们现在是不是就找到了，因为你就是要找零A伴随对应零特征值的特征向量，这两个又是线性无关的这不就结束了吗？这不就结束了。所以最后它的通解结构，A伴随X等于零的通解就是什么？看清楚K一倍的阿尔法加贝塔加上K2倍的阿尔法减贝塔，其中K1K2为任意常数。结束了用不用动手算，用不用算A矩阵？ 不用算，直接把这个阿尔法加上贝塔，阿尔法减贝塔往这个式子里面一填就完了。所以你看这个第三小问，其实他的思路是比较多的。我刚才给大家介绍两个思路。第一个你可以从这个角度去考虑，第二个我们还可以从这个特征值、特征向量的角度去考虑。你发现没？这个很有意思，这个大家一定要好好去体会一下，好吧？所以这道题它是一个综合性很强，也是一道非常好的题，大家一定要做好笔记，好好去复盘一下。OK。那么关于我们的这个实对称矩阵的相似问题，我们就讲到这里，还是希望大家课后好好复盘。 （内容由AI生成）