Hello, 大家好，我是没咋了。这节课我们继续学习现代强化的3.6小节反求矩阵问题。这类问题蛮有意思的，我们一起探讨一下。 有了前面特征值与特征向量基础之后，有了相似对角化的基础之后，我现在提一个问题，我们是不是在相似对角化那个章节反复强调。如果说A是可相似的话，也就是说这个存在着肯定矩阵B时的PDAP等于对角，对不对？那我知道这个是你稍微变形整理就能得到A矩阵是等于P角PE的，所以我们可以利用这个式子求解出A矩阵。好，那对角阵是什么？P矩阵又是什么呢？我们知道对角正实际上就是在这个相似对角化问题，对角阵就是对应的特征值，对不对？那P矩阵就是与之相对应的特征向量组装起来的一个矩阵。所以本质上也就意味着当矩阵A能够相似对角化的时候，我们如果获取了它的特征指示信息，获取了它的特征向量信息，我们就能够利用这个式子去求解出A矩阵。 思考一下是不是么回事，这是核心观点，这是反求矩阵问题的核心观点。也就是说当A能够相互转化的时候，我们通过它的特征值、特征向量信息就能够求解出A好，如果在特殊一点，这个A是一个实对称矩阵，那就更好了。如果A是个实对称矩阵，我们知道实对称矩阵它能够正交相似交换，对吧？所以我们可以利用这个Q逆AQ等于Q转，AQ等于对角线，那么对应的就可以推出A等于Q加Q转。 大家注意利用这个式子去求解矩阵A的时候，它会比上面这个式子要更方便一些。为什么？因为你利用它求的时候，你还要去求解这个P逆，求逆矩阵还是挺麻烦的是吧？那求转制就直接写，所以实对称矩阵我们往往利用这个式子去求解出矩阵A好吧，这个大家注意一下，这就是反求矩阵问题的一个基本思想。本质上就是要知道A矩阵的特征值、特征向量。所以我们这里首先就要跟大家说，这个特征值、特征向量怎么去找呢？那么题目当中往往给出哪些信息的时候，能够告诉我们特征值、特征向量呢？我这里给大家总结了几条，我们一起来看一下。首先第一条，A的行列式。 等于0。A的。 行列式等于0，那实际上就意味着是不是A有零特征值，这第一条这个结论，我们反复讲的A的行列式等于0，我们可以用向量角度去解读，也可以用方程组角度去解读，也可以说成特征值的角，对不对？所以一旦给出这个，实际上就告诉我们一个特征值信息，那么对应的这个AX等于零这样一个其次线方组解出来的这个非零解解出来这个X向量，解出来的这个非零解不是别的，就是与之对应的零特征值的特征向量，对不对？所以这一条是平常见的比较多的。 然后第二条，如果说题目给出AB等于0，这个时候你要学会把这个矩阵B进行列分块进行列分块。那实际上也就是说这个B的每一列，大家思考一下，B的每列假如说非零假如说非零，那么是不是这些非零的列都是对应的A矩阵拉姆达等于零的特征向量？因为你这样分块的话，我写下边就AB等于0。我们把它分块的话就等价于A乘以贝塔一贝塔2。比如说一直到贝塔贝塔S，好吧？对，也就是说A乘以贝塔一等于0，A乘以贝塔2，A乘以贝塔S都等于0，所以这些力通通都是AX等于零的解，对吧？那不对应的就是A矩阵零特征值的特征向量了，所以这个思想要能够理解。 然后第三条就是给出AB等于C那我们就把这个B和C都给它列分块，那么就得到这个式子。这个式子也就意味着根据分块矩阵乘法，我们知道A乘以贝塔一就等于这个伽马一，A乘以贝塔二等于这个伽马，A乘以贝塔N等于伽马N是吧？如果说大家注意这个条件，如果说比如说贝塔一和这个伽马一它成比例，那我们就能得到什么呢？那我们就能得到与之对应的这个特征值、特征向量信息了。因为如果说这个就是对应的伽马的列和贝塔的列成比例，也就是满足这个事的话，那你把它代入进来是不是就得到了A贝塔I等于这个伽马。伽马I又可以表示成这个就是拉姆达，兰姆达I乘以贝塔I所以就是A贝塔I等于兰姆达I贝塔I这不就是特征值与特征向量的定义式吗？所以你会发现这个时候我们就能得到一些特征值、特征向量的信息，这两条大家要也要清楚。 然后第四条我们在基础阶段就讲过好多遍了。如果说A矩阵的每行元素之和等于K那实际上也就意味着A矩阵乘以这样一个向量等于K倍的这个向量是吧？这里还要不要我再解释原因，我就以三阶矩阵再重新解释一下。 我怕有的同学第五阶段对这个东西不熟练，好吧？你比如说A是个三阶矩阵，A11、A12，A13，A21，A2，A23，A31，A32，A33。那么想一下如何构建出每行元素之和这样一个特点？你用它去乘以一个向量111，你就会发现一个神奇的事情。这个就是1A11加上A12加上A13，A21加上A22加上A23，A31加上A32加上A33，对不对？好，你看这是不是第一行元素之和，这第二行元素，这第三行元素之和对不对？ 按照题目意思，既然每行元素之和都等于K那这是不是就等于KKK好，KKK是不是可以写成K倍的111？现在你看懂没有？是不是相当于A矩阵乘以这样一个向量，等于这个K倍的乘以这样一个向量。所以是不是就是说A矩阵有特征值为K特征向量为111。当然我这里三阶矩阵为例了，N阶是不是就同样得到这样一个式子？所以你以后记住了，只要给出A的每行元素之和为K它就有对应的特征向量是11111。特征值就是这个K理解了吧？所以这个信息要马上能够得到。 好，这是我给大家总结了这么四条。完了之后我这里画了个省略号，然后给你留了空白的地方。请你在以后做题阶段中，如果说发现了有些新的，你把它补充到这个讲义这里，好吧？这就是以后你的一个很好的复习资料。 好，然后接下来我们来做对应的题目，因为前面已经给大家都总结的差不多了，我们来看一下，因为常见的就是这四条用的比较多。你比如说例一来你来根据这些以下给出的这些条件来找出它的特征值、特征向量信息。A为商家举证说他的这个通解是这玩意儿，然后B向量也告诉我们，你能不能找出它的特征值特征向量信息。首先我说这一部分就是其次的通解，这一部分就是其次的通解，所以其次的通解也就对应的是AX等于零的解。所以你这两个家伙不是别的，是不是就对应的是A矩阵零特征值的特征向量。因为我说了，它这两个家伙是对应的AX等于0的2个线性无关的解，所以对应的就是零特征值的特征向量，就这两个是零特征值的特征向量。 好，后面这个是AX等于B的一个特性，所以也就是说你代入AX等于B肯定是满足这个方程组的。因此我们代入进去，也就是说A乘以这个11-2，它就等于这个B向量。B向量是什么呢？题目也给了这66-12，你发现没有？这两个向量好像是不是成比例？所以你把这个66-12给它写作六倍的11-2，你看懂没有？这是不是就又得到了一个特征值与特征向量的信息？因为A乘以这个向量等于6乘以这个向量？又得到一个特征值。 所以最后总结一下，第一小问，第一小问这个A矩阵特征值、特征向量我们是不是都搞出来了？我就列个列个表，列个表有两个特征值是0，还有一个特征值是6，对应的特征向量就填的是-1 10和这个201，对不对？特征值6对应的特征向量就是11-2，是一清二楚。那么有了这样特征值特征向量的信息，我们也能够很容易判断出来这个A是可相似的化的，它可以相似对氧化。我们就可以利用特征值的特征向量去根据这个公式A等于P角P逆去把A矩阵给反求出来，对吧？好，这第一小问第一小问。 然后我们再看第二小问，你来找一找它能够提供哪些特征特征向量信息呢？你看AB等于-2BAB等于-2B的话，那是不是意味着你看我把这个B进行列分块，列分块的话，那也就是说A乘以B的第一列就等于负二倍的这个第一列。所以也就是什么意思呢？就是B矩阵的每一列，它的每一列都是A矩阵对应特征值负二的特征向量，是不是这个意思？你看AB等于-2B，也就等价于我把这个B进行列分块，那就贝塔一、贝塔2、贝塔3，它就等于负二倍的贝塔一、贝塔2、贝塔3。那不就是说A乘以贝塔一等于负二倍的贝塔一，A乘以贝塔二等于负二倍的贝塔2，A乘以贝塔三等于负二倍的贝塔3，是吧？所以贝塔一、贝塔2、贝塔3，它通通都是A矩阵对应特征值负。 大的特征向量。但是你会发现个问题，我不知道大家有没有这种数字的敏感度，能不能观察的出来？很显然这三列它是线性相关的。你把第一列加上第二列就等于第三列，看到没有？第一列和第二列就等于第三列。所以实际上这个B矩阵它只能提供两个线性无关的特征向量。也就是说我们由这样一个关系得到了A矩阵对应特征值-2的2个线性无关特征向量。你可以取B的第一列以及B的第二列，这个就作为A矩阵对应兰姆达一等于兰姆达二等于-2的2个线。 有关特征向量我说清楚了吧，还有个特征值的特征向量信息怎么来呢？有这里来吗？是吧？由这里来，所以由这个，但它是CA转等于2C，他怎么搞个A转制出来呢？这有点风牛马不相及了，对不对？我们给他打个转制，是不是就变成A乘以C转等于两倍的C转了。所以它这里这个式子和这个的式子就很像，这个C转的地位和这里B矩阵的地位很像了。 所以我们也是类似的，我们就我写一下，就A乘以C转，我把C转写下来，那就是转制会写。对角线不变，然后其他地方是交换位置，那负二交换还是负二负。比如说一和负一换个位置，负一一，然后这里二和负二换个位置，负二然后等于两倍的C转，两倍的给它照搬过来就得到这样一个式子，所以这里面肯定也能够提供特征值、特征向量信息。 特征值就是特征向量，就是对应的这个C转的列，对不对？然后这里面特征向量你会发现一个特点，它这三列是不是都是成比例的，你看第一列和第三列就差一个负一倍，然后这里这一列和这一列就隔了个两倍。所以它其实这三列成比例的话，也就是说它是唯一真正能提供线性无关的特征向量，就只有一个。你比如说就取第一列，对不对？就取第一列，所以这里面提供的特征值、特征向量信息就只有一个有用的，就是A乘以这个1-2 1等于两倍的这个1-2 1。所以这里面提供一个特征值，就是特征向量，就是这玩意儿，懂了没？ 这是第二小问，我们对它的这个特征值特征向量信息的解读描绘。所以现在A矩阵的三个特征值、特征向量我们也都知道，也能够把这个A矩阵反求出来，只不过这里我不让大家求好，接着我们再继续往下走，后面的例题有你求的，现在先不急。我们现在第一就是想带大家去把这些特征值、特征向量信息给挖掘出来就可以了。 然后第三小问三阶的实对称矩阵，有两重特征值很好，完了之后给出这个条件就没了。我怎么挖掘出它特征值特征向量信息呢？请问了你看他和前面就不太一样，它这里是实对称矩阵，那性质就会好一点。你再比如说这个条件，其实我们在旧阶段和强化阶段都见过这种东西。我也反复强调过，在例题当中给出这个条件，实际上你就能把它变形成阿尔法一、阿尔法2、阿尔法3乘1个什么，是不是乘以12-1等于0. 对不对？ 所以实际上这就是你看前面这就是A矩阵的，所以就是A矩阵乘以12-1等于0。这也就是说A矩阵有一个零特征值，特征向量就对应的是12-1，是不是？所以你看三阶矩阵另外两个特征值是兰姆达一等于拉姆达等于一。还有个特征值那隐含在这里了，也就是说这一个式子就隐含了特征值和特征向量两个信息。所以对于第三小问我们就知道，兰姆达一等于兰姆达二等于一，兰姆达三是等于这个零的，并且零特征值对应的特征向量是这个12-1。然后又因为它是个实对称矩阵，那不同特征值底下的特征向量有天然正交关系，所以我们可以利用这个正交关系去把这个特征值一对应的特征向量给解出来。是不是这个我们在基础阶段也都反复练过的，利用正交关系好吧，正交关系可以去解除这个两个另外两个特征向量，比如说叫克赛一和克赛2，克赛一和克赛这个家伙，我把它叫科赛三是吧？所以也能够找得出来，具体我就不去算了，这是这个题。 然后我们再看第四小问，第四小问的更有意思，这道题目更有意思。有一些学习进度比较快的同学，他提前把这个讲义做了，他过来问我，他说你这后面是不是打印错了，是不是打印错了？他觉得这个下标。 应该改成J并且。 也跟我说了原因，为什么会改成J呢？又你前面才讲的这这里才讲的A的每行元素之和为K，对应的得到特征值特征向量信息，然后这里面又出现了求和，所以如果这个下标是J的话，那正好就解释的通。你看下标如果是JJ从一加到3，那对应的就是AI1加上AI2加上AI3，这不正好对应的指的是第I行元素之和吗？是不是？然后第I行元素之和为零，所以进一步我们就得到它的特征值特征向量信息，特征值就是0，特征向量就是111，这不说得通了，你把这个下标J如果改成了I那就会变成那就会变成什么呢？那是不是就会变成这个J不动，就是说I求和，I从一求到3，所以是A1J加上A2J加上A3J那这是什么东西？这其实指的是A矩阵的DJ列元素之和，是不是这个道理？但是你前面讲性质也没有说什么DJDJ列元素之和，这能得到什么？我们没告诉你，只告诉每行元素之和等于K的时候，能够得到特征值特征相关信息，是吧？所以现在就有问题了，现在就有问题。 DJ列元素之和等于零是吧？然后后面你这个J从1到3，也就是说第一列元素之和、第二列元素之和、第三列元素之和都等于0，那能得到什么呢？感觉推不出什么，是不是打印错了呢？其实这是我自己改编那道题，我故意把它改编了一下，改变了之后会更难一点。 你要有敏锐的眼睛，你要发现这个A矩阵是个实对称矩阵，你看到没有？那对于实对称矩阵而言，你有没有发现它的行和和列合是一回事？实对称矩阵对应的这个元素和这个元素一样，这个元素和这个元素一样是吧？我问你了，这个行和和列合是不是就是一回事，神不神奇？就是一样的，就是实对称矩阵的性质。所以我故意把这里给改编了一下，你也要能发现这里这个裂合完全可以转化为行合。因为它是实对称矩阵，因为它是对称矩阵，所以现在你就完全可以把这个条件转化为A矩阵的每行元素之和，每行之和为零，每列之和就是每行之和。对于实对称矩阵来说，好，所以我们同样的能得到A矩阵，就是说乘以111等于零乘以111，进而就得到了它的一个特征值特征向量信息，是不是？ 那么有了这样一个零特征值对应的特征向量，我们去求另外两个二重特征值，拉姆达一等于拉姆达二等于一的特征向量怎么求？是不是利用实对称矩阵不同特征值底下的特征向量天然正交这样一个特点来求，所以到这里又和我们的第三小问就有点相像了，我继续的就不说了。所以就利用这个特征向量的重要关系，我们把这个二重特征值一底下的特征向量也给它解出来就完事儿了。最后你利用这些特征值特征向量信息，就能够把这个A矩阵给反求出来。我说清楚没有，听到这里希望大家暂停，好好的把这个利益自己琢磨，把这些条件自己体会，好吧，接下来我们再往下走。 好，说完了寻找特征值特征向量，我们就可以来讲，根据特征值特征向量信息反求实对称矩阵了。因为这一块说实话反球矩阵反球矩阵这个十对阵这里应该打个括号，利用这些信息反求矩阵。但是考的比较多的类型是反求这个实对称矩阵，比如说这个例2、例三都是这种反求实对称矩阵的类型。我们来看一下。 第二说A是三阶实对称矩阵，好像是等于这玩意儿三个特征值之和等于一好。然后阿尔法向量是齐次线分组这玩意儿的一个解向量，所以立马得到A伴随减去4E乘以阿尔法等于0。当然这应该用粗体，这应该用粗体。好，你一项整理，所以得到A伴随阿尔法等于四倍的阿尔法能理解吧？ 所以实际上就是有A伴随的一个特征值特征向量信息，我们知道A伴随特征值特征向量和A的特征值特征向量是有紧密的关系，那个表格关系是不是？而且我在讲那个表格关系，讲知识点的时候，反复跟你强调由A的特征值、特征向量信息去推A伴随对应的特征值、特征向量信息，一点毛病没有。但是那个表格想要反推，由A的伴随的特征值、特征向量信息去推A的特征值、特征向量信息，能不能推？我们说一般情况下是不能够这样说的，但是我强调了当A可逆的时候，是不是这个过程就成立了？这里面A的行列式不等于0，是不是可逆了？ 所以你完全可以由这个A的伴随矩阵特征值、特征向量去推A的特征值、特征向量。心里面要清楚这么一件事情。那么在大题当中如何规范的书写步骤呢？你就在这个是两边做成A矩阵，记住了没有？所以立马就可以得到什么？A乘以A的伴随阿尔法等于四倍的A阿尔法。这里是不是A的行列式乘以单位阵，单位阵不写是不是就是一个A的行列式，就是-12倍的阿尔法等于这个四倍的A阿尔法。两边把4约掉，是不是立即推得A阿尔法等于负三倍的阿尔法。所以这是不是得到A矩阵一个对应的特征值特征向量信息我们不妨把这样一个特征值叫做luna 3，朗达三等于-3，然后接着我们就要求解另外两个特征值，我们令A的特征值为拉姆达1，兰姆达2，兰姆达三好吧？ 那怎么去求出另外两个特征值呢？你看这些条件是不是都可以用？特征值之和，行列是什么？行列式特征值之积，所以我们立马求得兰姆达1乘以兰姆达2，不，疯了。兰姆达一乘以兰姆达2乘以兰姆达3，兰姆达三是负负三那三个相乘就应该等于行列式-12，三个相加那么的一加上这个拉姆达2，加上兰姆达3，就等于一。所以这是不是可以解出来？ 很明显解出来这个兰姆达一等于多少？兰姆达二也等于这就是个二重根，你发现没有，解出来一个二重根，好，他最后要反求矩阵A所以我们要把所有的特征值、特征向量信息都找出来。是不是？现在我知道这样一个拉姆达三对应的特征向量，我已知我用蓝色笔写，已知兰姆达三等于-3. 对应的这个。 阿尔法向量是这个104，那么如何求拉姆达一拉姆达2的特征向量？是不是利用实对称矩阵不同特征值底下特征向量天然正交关系来求是吧？所以我们设兰姆达一等于兰姆达二等于2，对应的特征向量为XX等于X1、X2、X3，我们有这个正交关系，阿尔法转X等于0，立马推得X一减去2倍的X3等于0。是不是得到这样一个关系？然后你解这样一个方程很容易解得很容易解得。我写一下，觉得。 这个。 阿尔法，我看下阿尔法一向量就等于这个方程会解。它对应的行最简就是10-2 000000是吧。我可以X2和X31001赋值，那么就得到一零赋值。这前面很明显是填一个零，然后阿尔法二我就可以用这个零一赋值是吧？当然我在这个阶段也反复跟大家讲过，包括前面放了一个增补的那个小节，我们说过避开史密特重要画的方法，对吧？ 实际上标准的应该在这里设一个方框是一个方框。但你会发现，实际上由于这里挂着两个零，所以他们在算内积的时候，只要中间这里填的是零，他们内积就一定为零。你这两个位置随便填什么，它内积都为零，是不是这个道理？所以这样的话就无所谓了，我们就01赋值也蛮好的，就01赋值好了。01赋值前面的正好填这个发的小款数填过来就是一个二，这是一个标准的解方程，这个要会吧？所以我们就把这个特征向量给解出来了，并且他们还是一个两两正交的关系，这就蛮好啊蛮好。因为我们接着要求解的A矩阵，求解A矩阵的思路就是利用什么？我们是不是。 利用。 这个QE，AQ等于这个Q转AQ等于对角，从而用A等于Q角Q转去求，是吧？所以你就要把这个Q矩阵给写成，Q矩阵是什么？就是它的三个特征向量拼起来的。所以接着我们就是将我接着往下写，将这个阿尔法一、阿尔法二和阿尔法进行正交化。单位化它们已经天然正交了，所以只需要单位化即可。单位化得到这个伽马一就等于。 010是吧？ 阿尔法一它模式就为一，干嘛就等于这个根号5分之1的201，就把它进行单位化，然后再把它进行单位化。伽马三是不是也等于根号5分之1的这个10-2，对不对？好，就是Q矩阵就等于什么？Q矩阵就等于伽马一家，马二伽马三好吧，我就不写了。那么现在就有A矩阵就等于Q加Q转Q角Q转，这里一定要注意了。好，Q矩阵我不写了，对角阵我写一下。对，矫正一定要和这个特征向量与之呼应是吧？你前面这两个是对应特征值二的特征向量，最后一个对应的是特征值-3，所以对角阵一定是22-3好吧？然后乘以Q的转，最后自己夸夸运算好吧，我就不算了算出来的最后的结果我给大家写一下是102020205。 然后这里特别注意，大家注意你的Q矩阵当然是不唯一的，因为特征向量有无数种是吧？所以Q矩阵算出来不唯一非常正常。但你最后这个Q角Q逆算出来的A矩阵，它一定是唯一确定的这A矩阵是唯一确定，你算出来不是这个，那说明你算错了，这个一定要注意好吧。这例二我们就说到这里，这思路应该都是非常清晰的。然后接着我们看下例三这样一道题目，A等于这玩意儿可逆，然后B是三阶实对称矩阵满足BA等于这玩意。 第一问让我们求B的特征值与对应的特征向量。你去观察一下，你会发现这个矩阵和A矩阵是不是有千丝万缕的联系。它的第二列是这玩意，你看它的第二列就是这个东西成了个两倍，第三列是这个第三列乘了个两倍，第一列是一样的。所以你只需要把这个A和右边这个家伙进行列分块，你就能得到一个完美的结果。 思考一下，所以第一问我们就是将A列分块，那当然右边这个矩阵也要列分块。那么进一步你就会发现得到，B乘以这个第一列1112，它就等于111。然后B矩阵乘以这个第二列A12、A22、A32就等于这个2倍的A12、A22、A32。你发现没有然后B乘以这个第三列A13、A23、A33了也等于这个2倍的A13、A23、A33。这不就是特征值与特征向量的信息吗？得到了是吧？所以由此我们得到B矩阵对应的兰姆达一等于一对应的特征向量就是这个K倍的111。因为只要111是它的特征向量，那乘以一个非零常数K不等于0，乘以一个非零常数K倍仍然是它的特征向量，是吧？ 这个我们就写出来了，然后对应的这里是不是也提供了两个完美的特征值对不对？那对应于特征值R的特征向量又如何去求呢？大家不要忘了题目告诉我们这个B是什么？B是实对称矩阵。所以是不是又和前面一样，我们可以利用实对称矩阵不同特征值底下的特征向量天然正交关系来求。 所以立马往下写，兰姆达二等于兰姆达三等于2，对应的特征向量，对应的特征向量我就直接设为X向量等于X1X2X3。那么很明显这个X向量和这里的111向量一定要是正交关系。因此我们就有X1加上X2加上X3是等于零的，是不是？这个很好解，解得这应该会解，这很容易解解出来。 阿尔法二向量就等于10负值，前面填负一，解方程会解，应该不用我教。然后阿尔法三向量，按道理来说是不是就应该零一赋值了？但是我不建议大家这样付，为什么呢？因为你零一赋值的时候，你这个地方填的是一个负一对不对？负一你会发现这个和这个算内积它不等于0。那你待会儿你比如说第二问要去求这个正交90Q的时候，你就要史密特这样画，那就麻烦我们可以把它避开，都教过大家方法了，怎么避开，是不是用好这个零，一定要用好这个零，所以我就不要零一赋值了。我首先第一件事情把这个零对应的D就是因为你要算内积相乘的这个地方，对应付为方框。 就这一段如果你听不懂，说明你在那个快速求解特征向量那节课肯定是没有要搞清楚，建议你回去好好把它理清楚好吧？对应的复位一个方框，然后前面这两个数填什么呢？你就要自己去设计，要和它内积为零的话，这既然是负一一，是不是我填个一一再合适不过了，是吧？然后你这个玩意儿一定还要满足这样一个方程，所以你这个方框就填一个负二呗，就填一个负二倍，所以它这么求出来的懂吧？这样的话它就满足天然正交了，两两正交这就蛮好。 然后我们现在就可以下结论了，对应特征值二的特征向量是什么呢？我们可以下结论矩阵BB矩阵对应兰姆达二等于lambda 3等于2的特征向量。为什么？是不是K2倍的阿尔法2加上一个K3倍的阿尔法3，其中K2K3不全为零不全为零，K2K3不全为零，因为你要保证特征向量非零，是吧？这就是第一问一个完整的步骤了，我们就写完了。 好，接下来我们说一下第二问，第二问求正交矩阵Q使得Q转BQ等于对角线。本质上就是要求这个B矩阵三个特征向量是吧？我们第一问已经求出来了，因为你求出来是不是我用荧光笔给大家标一下，我用这个黄色，111是不是一个？然后这个F2这个家伙是不是一个这个家伙是不是一个，就这三个，只不过你要把它组成正交矩阵Q那么就要进行正交化和单位化。我们正交化已经完成了天然正交是吧？这三个向量天然正交，这只需要单位化即可。我们就将这三个向量进行单位化单位化，那么就得到伽马一向量111单位化就是根号3分之1根号3分之1，根号3分之1对吧？ 然后伽马2向量就阿尔法二进行单位化，就是负的根号2分之1，根号2分之1然后伽马3向量就是根号6分之1，负的根，不对，负了根号6分之1，然后是根号6分之1，然后是负的根号6分之2，对吧？所以Q矩阵把它们拼在一起，就是伽马一家，马二家，马三就等于他这一问让我们求Q我还是给大家写一下，老老实实把它写一下来，根号3分之1根号3分之1，根号3分之1是吧？负的根号2分之1，根号2分之10，根号6分之1，根号6分之1，这个负的根号6分之2。好，这Q9的，然后一定要加一句，Q矩阵使得什么呢？ 使得Q转BQ等于对角，等于对应的特征值排布。对应特征值是什么？你既然前面两列填填，不，第一列填的是这个特征值一对应的特征向量。所以这里第一个为一，后面两个就是二是吧？一定要这么写，使得这个是成立，这样就比较完整。你不要写出这个Q就结束了，要把这句话加上更加的完整吗？是吧？ 这就是例3，这种题目会了没有？所以你看你只要把找特征值、特征向量的原理那一块搞懂，把常见的条件要会解读，那这种题就是送分，这种题就是送分好。接着我们趁热打铁再做一道。 最后一道题略有一点点不同，因为我们说了反求矩阵这一块，那么求实对称矩阵多一点。如果不是实对称的话，这种题目也有，那只不过求起来可能要麻烦一点，因为你要去求那个B逆矩阵，因为不是实对称的时候，你就要借助什么A等于P角P逆，你要求解这个逆矩阵，然后算三个相乘，去求就要麻烦一些。你比如说这个例四就是这样的一个题目。我们看一下设ABC均为三阶的矩阵，然后B矩阵等于这个，C矩阵等于这个，那么满足AB等于发BCA转等于。 2C你看. 这两个条件是不是似曾相识？我们前面好像见过非常类似的，对不对？非常类似的。我只不过C觉得这里数据略有不同，和前面略有不同，那我就不再重复的给大家念经了。 那么由AB等于2B立马得到什么？A乘以B的，比如说第一列1-1 2是不是等于-2乘以这个1-1 2。比如说A乘以B的第二列A乘以21-1是不是等于负二倍的21-1？这是不是来了两个特征值特征向量信息？为什么没有用第三列？因为B矩阵一列和第二列加在一起就等于第三列，所以第三列这个特征向量实际上它是个废的，是吧？我们由这个式子只能找出两个线性无关特征向量，已经写在这了。 接下来还有特征值、特征向量信息怎么找？是不是有这个条件？这个条件我们是不是和刚才一样，转制一下就得到A乘以C转等于两倍的C转呢？啊然后这里面这道题数据要更特殊一点，你会发现这个C就是个十对称矩阵，所以C转就等于C所以直接它就等价于AC等于2C。那么这里面肯定又能提供特征值特征向量信息，实际上你会发现这个C矩阵它每列是不是成比例，既然它每一列成比例，那就是说有用的线性无关特征向量只有一列呗，你不妨就取这个第一列呗，是不是？我就取这个第一列。因此我们就得到有AC等于2C，我们可以推得A矩阵乘以这个1-2 1C的第一列就等于两倍的这个1-2 1。 到此我请问了，是不是A矩阵三个特征值我都找到了，三个特征向量我是不是也都找到了，对不对？那么反求矩阵A简不简单呢？肯定简单是吧？ 现在我们就利用A矩阵。 这三个线性无关特征向量。它为什么线性无关？能理解吧？因为前面两个特征向量一看就不成比例，线性无关。然后又因为不同特征值底下的特征向量是天然线性无关，所以这个玩意儿加进来也是线性无关的。所以把它们拼成一个P矩阵，我们就是令，我们令这个P矩阵就等于把它们三个拼在一起，就是1-1 2，然后21-1，然后1-2 1拼进来，我们就有这个PDAP等于对角，进而就可以推得A等于P角P腻，所以它就等于P角霹雳，P角霹雳你就要去把这个PD给求出来了，这偷不了一点懒是吧？ 大家还是要去求一下这个PD我给大家写一下这个PD求出来它等于这样一个东西，你会发现它所有元素都是个分数，并且分母都是8。那么在这种情况下，我建议把这个分母的这个八给它提取出来。因为你带着分数去算这个矩阵乘法，显然没有整数算起来方便。所以这里一定要从放聪明点，我们把这个8分之1给它提出来。PD就是135这个大家自己去算逆矩阵，然后是31-1，然后是1负-3要把这个8分之1提取出来，那你就好算，懂不懂？放低力量，所以这里面它A矩阵进一步就等于这个P矩阵。 我照搬一下P卷是这玩意儿，然后乘以这个对角阵，对角阵是啥？对应的特征值排布，就是-2，-22对不对？然后乘以这个霹雳，霹雳就是这个家伙，我把它移过来的，霹雳就是这个家伙。PD就是你。 把这个8分之1. 这个系数可以往前挪一点，所以就是算这个式子就好了。这个式子这三个相乘大家自己去算，最后我说一下结果，算出来A矩阵等于A矩阵，算出来也带分数，算出来等于一个2分之1倍的-3、-5、-3. 然后是。 -2 66，然后是这个1-5、-7-7，A矩阵算出来等于这么个东西大家还是要有这样一个计算能力，好吧，把A矩阵给我算出来，这是第一问。然后我们说下第二问，第二问他说对于任意的三维列向量X0，有这个家伙与X零线性相关。这个怎么证明呢？这核心我们想一下，是不是因为这个X0向量什么信息都没告诉我们，它是任意的三维向量。所以我们要证明这个结论，只能从这个A的100次方下手去想一下。 那么把A的100次方给我算出来，那怎么算？你要带着这个去算吗？很明显第一问就是个梯子，对不对？我们这里都写了A等于P角PD是不是利用这个相似最小化去算这个高斯密？所以我们第二问很明显，我把这里步骤给大家擦掉，免得大家看不清楚题目。所以我们这个第二问肯定是这么去算会好一点。 第二问我们就是由A等于P角P逆，那么我们就有这个A的100次方，就等于P角P逆乘以P角P逆乘以P角P你100个是吧？这个过程前面都跟大家解释过很多遍了。在高斯密那个专题就说我的这中间都约掉了，所以最后只留下最前面的一个P和最后面的一个P中间就是若干个对角相乘多少个呢？100个，所以它就等于P角的100次方平米。好，对角阵是什么？对角正就是特征值，所以对角正就是这个-22的100次方P0那就好了。 我们知道对角阵的N次幂就是每个元素的100次方就完事儿了。所以你会发现，我可以把这个100次方拿进去，二的100次方是不是就等于这个东西？大家思考一下，然后你会发现这相当于对角线都是二的110次方，那是不是就相当于二的110次方的单位阵？所以它就等于二的100次方提出来，然后一个PEP能不能理解是吧？ 然后单位阵划掉，这就是P乘以P0，那就是单位阵，所以它就等于二的100次方乘以单位整，发现没有？所以最后A的110次方等于什么？它就等于二的110次方单位这样它就等于二的100次方单位这样因此我用红色笔接着这里写，接着这个地方写，所以你会发现这玩意儿它就是二的100次方单位正乘以X0，那单位就乘X0就是X0，所以它就等于二的100次方乘X0。那既然是二的100次方X0，我问你和X0，那当然是线相关的它比例。所以不管这个X0向量是什么，它们都是线性相关的。 懂了没有，这就是第二问的一个证明过程，实际上就是考了一个求解高次幂的过程。好，这道题目也是这种反球矩阵的问题，希望大家好好体会。关于反球矩阵这个小节，我们就说到这里。 （内容由AI生成）