Hello, 大家好，我是没咋了。这一课给大家介绍一个有趣的定理，叫做普分解定理。这个定理它既有好处又有不好的地方，不好的地方是在于它是一个超纲的知识点，但大家不用担心，这点并不难，你待会一讲你就懂了。其实很简单，然后它的适用面是非常窄的，它只用来处理有关实对称矩阵那种类型的问题，它的适用面很窄懂吗？然后再加上它又是考纲范围之外的东西，所以其实也有很多老师是不讲这个东西的。但是大家也可以学一下，为啥呢？因为它在一些特定的场景确实是非常有优势的，它可以大幅的提高你的计算效率。所以接下来二十多分钟的时间，大家还是可以听一下，学一下，好吧？
	这里我先讲一下它的原理，就是N阶的实对称矩阵。大家注意这个是非常重要的。它一定要是N阶的十倍晟矩阵，然后对应的特征值拉姆达1到拉姆达N这些特征值对应的单位正交的特征向量，注意这又是一个关键词，特征是这些特征向量具有单位正交的这样一个特征。
	好，那么这样一些特征向量是伽马一到伽马N也就是说我们现在手上有什么？手上掌握了A矩阵的特征值信息以及A矩阵的特征向量信息，那我们就可以反求出H这样怎么求？之前都教过大家对不对？我就是把这些正交化单位化的这些特征向量拼在一起，组装成一个正交矩阵Q那么自然就有Q逆AQ等于Q转AQ等于这个对角阵，对角阵就是特征值是吧？很容易反解出来，那A就等于Q角Q转了，是不是？所以你就咔咔咔一顿求就好了。
	在求解的时候，这里我们用一下分块矩阵的这种理念，所谓的这个谱分解定理，本质上就是一个分块矩阵乘法的应用，你把这个Q矩阵用这种分块矩阵的模式写出来，那么Q转制是不是相当于这个样子？大转交小转会，你原来是这样横着拼，那转制之后就不是竖着放吗？是吧？然后每一个都要打转制是吧？
	所以把这三个矩阵写清楚之后，接下来你来算一下这个乘法。我们比如说先算它乘它，那是不是相当于在这个基础之上又成一个对角阵？我们知道又称对角阵的作用是什么？相当于它的第一列乘以兰姆达一倍，它的第二列乘以兰姆达二倍，它的第二列乘以兰姆达N倍。是不是这个特点？在旧一段都教过大家，所以这个乘出来就是这个东西这能不能看懂？
	好，把这一步看懂之后，我们再来算它，乘以它那么自然，你看用这个分块矩阵乘法的定义，这相当于一行乘一列。所以乘出来就是对应的男嘉宾牵手对应的女嘉宾，也就是兰姆达一伽马一乘以伽马一转，兰姆达伽马2乘以伽马2转，兰姆达N伽马N乘以伽马N转，看到没？所以就对应乘出这么一个结果，现在你把中间的证明过程都跳过，我们只看这个结局。也就是说我们得到这样一个重要的定理，已知这个实对称矩阵的特征值、特征向量信息。
	注意这个特征向量我再次强调一定要是单位正交的，那么我们就可以直接用这样一个式子去求得这个矩阵。懂了没？就把中间过程都省略掉以后，你直接就这么写，很快写出来。
	但是我想告诉你的是什么呢？这么写你感觉它有什么优势没有？我说其实没什么优势，就是从这个抽象的形式去看，其实你会发现他反而把这个事情搞麻烦了。你要算这个相乘，又要算这个相乘，又要算这个相乘。把这些矩阵乘法算出来之后，你还要算一个加法，是不是很麻烦？但是大家思考一下，如果说我说如果说这些特征值当中有很多个0，那是不是问题就简单了。
	所以你发现了一个新大陆，就说朴分解定理，它实际上在什么情况下非常好用呢？就是当这个矩阵的特征值零越多它越好用。所以最常用的一种场景，也就是我接下来第一要描述的。
	我们来看一下，我们直接搞一道题目来试一下，就运用一下这个谱分解定理，他说三阶使对称矩阵A的各行元素之和为三，这句话一说出来你马上是不是懂了，是不是代表着它有一个特征向量是111，有个特征值是三呢？好，另外两个向量下标是一样，所以我把这个特征向量下标取3，也就我们得到一个伽马。不阿尔法三就等于一个111是吧？对应的这个特征值就拉姆达3就等于三呗，所以这就得到了一个特征值特征向量的信息，我们先放在这儿，还有两个特征值，特征向量信息怎么来？是不是从这句话来，他说阿尔法一阿尔法二是AX等于0的2个解。那根据我们前面教大家的，你是不是很清楚了，这就说明一个什么问题？说明了这个A矩阵有两个特征值，就是零对应的特征向量，就这个方程的解。所以我们自然就得到兰姆达一等于兰姆达二等于0，它对应的特征向量就是阿尔法一等于-2 11，然后阿尔法二就等于这个01-1，好吧，得到这样一个结果。
	好，因此A矩阵的三个特征值、特征向量就找出来，所以你就可以利用这种原始的方法去求A矩阵。但是我们也可以用什么？因为这里是实对称矩阵，所以我们也可以用刚才学的那个谱分解定理，它会更快一点。
	接下来有的同学就会写，这特征值、特征向量都有了，所以A矩阵就等于兰姆达1乘以阿尔法一，阿尔法一转加上兰姆达2阿尔法2，阿尔法二转加上兰姆达3阿尔法3，阿尔法三转，是不是这个道理？前面不是才学的这个定义，是吧？所以有同学就会这么去求，那怎么求对不对呢？那当然是零分了，错在哪？是不是？
	我刚才强调了两个点，A必须要是十对称矩阵才可以用。其次你这个特征向量要满足一个什么关系？就是单位正交的。请问你这些向量它是单位向量吗？显然不是。那你可以去看一下它是不是正交的。他和他正交他和他正交，他和他正交，确实它属于一个两两正交关系，但是它没有单位化。所以这道题这么做，你就这就用错了，你要进行单位化才可以。
	单位化。所以我们单位画一下，我们就得到，得到什么呢？得到这个等会儿我要不写在右边，好吧，我写右边，等会儿自然就得到。
	把这两个家伙单位化，我们得到伽马一，伽马一等于根号六分之负二根号6分之1，根号6分之1，伽马二等于0，这个1除以根号2，-1除以根号二是吧？这个阿尔法三根号伽马3就等于1除以根号31除以根号31除以根号三是吧？到这三个，这个时候我们就可以用谱分解定理了。A矩阵大笔一挥就等于兰姆达一乘以什么伽马一家马一转加上兰姆达伽马，伽马加上兰达三家马3转它就可以。
	那这个时候我们为什么说用朴分解定理好用呢？因为你注意到它两个特征值挂的是0，两个特征值挂的是0，那就好。所以你像这个就没有了，因为这个系数是零，这个系数也0，这项直接就没有了，所以它就非常好求，只剩一块，那你当然好算，是这个道理吧。所以特征值零越多，这个普通解就越好用。所以我用这种方法，你只要把这个特征向量特征值往咔咔往里带就行。
	Linda 3就3，然后这个特征向量的话我们可以写成根号3分之1倍的111，好吧？根号3分之1提出来，根号3分之1倍的一个111，相当于乘以。然后伽马三的转正，那这行向量根号3分之1的横着躺111，这会算乘法。你比如说这两个系数一乘就3分之1和这个三就约掉了，所以整个系数部分就被约掉了，这能看到吗？所以就是111乘以111，所以最后乘出来结果是什么？是不是111111111结束，这就是我们的矩阵，懂了吧？就可以利用这个谱分解，快速的把16线矩阵求出来。这个计算量就比较小，你算这两个东西相乘，那肯定是好算一些，是吧？
	首先要掌握这个谱分解的适用场景和注意事项，好吧？然后接下来我们再讲另外一种谱分解的进阶应用。如果说朴文姐只能用于这么一个简单的场景，那那它也太太局限了，是不是？实际上它有更一般的一个应用场景，也就是我们的例2，我给大家上点难度，我们还是通过这个题目来分析，或者我先跟大家介绍一下原理。
	在上道题当中，我们说它的特征值就相当于是一个这样的情况。就是说兰姆达一等于兰姆达二等于0，兰姆达三不等于0。就是说两个零特征值带上一个非零特征值，这个时候用朴文解非常好用。那如果把它改变一下，如果是这种情况，就兰姆达一等于兰姆达二等于A兰姆达三等于B，这个A不等于B这种情况好不好用？注意且AB均不为零部位就在这样一种场，也是我们做题经常碰到的。
	或者说这个出题人他特别喜欢这样去设计一个矩阵的特征值来考你。他经常设计一个特征值为重根。所以这种情况其实大家在考试当中是碰的非常多的，配的碰的非常频繁。那他能不能用这个普遍解定理了，你直接用是不好用的，因为AB都不为零，那你直接用的话，你就要算三个矩阵相乘，还要把他们加在一块，不好用。
	但是我们这里可以想个方法大家思考一下，你想一下就A矩阵的特征值如何满足这样的关系。那么我在A的基础上减去一个A倍的E，它的特征值是不是会变成两个零以及一个B减A因为它们特征值满足那个表格对应关系，这里很清楚。下面就相当于上面的基础之上特征值减A好，也就是说A减去A倍的E这个矩阵他的特征值这样一个情况的话，是不是非常适合用谱分解来求解，对吧？而且你又知道A矩阵和下面这个A减去A倍的一，它的特征向量是一个共用的关系。你是我的我是你的所以这就导致一个什么情况呢？就是你直接去求A不好求，用朴文解求A不好求，但是你用朴分解可以快速的求解出A减去A倍的E。
	你比如说这个时候，假如说这两个家伙它对应的特征向量是啊伽马一家，马二这个家伙对应的特征向量是伽马3，那你下面A减去A倍的E这两个零特征值对应的特征向量是不是也是伽马一家？马这个B减A是不是对应的也是伽马3？因为它们特征向量是共用的，满足这样一个对应关系，那这个时候我就可以用朴分解去求这个A减去A倍的一，那我立马就可以得到A减去A倍的E它就等于什么？
	是不是这个零特征值乘以伽马一家马一转加上零特征值乘以伽马2，伽马2转加上一个B减A这样一个特征值乘以伽马3，伽马三转，由于这两个是0，是不是非常好求？就求这一块就好了。所以你看到没有，它是好求的。那么你把这个A减去A倍的E求出来了，求出来之后我再求A还不简单吗？我只需要把这个A倍的E移项移到右边，是不是就把A给求出来了。所以我们采用这样一个思路，就是我中间绕一下中间绕一下。虽然你看起来把这个过程搞复杂了，但实际上求解是变得简单了。懂了没有？
	这就是这个原理，所以普分解，我们这里就可以总结一下它的适用场景，适用于什么？就适用于特征值，要么就是这种00，然后一个拉姆达不等于零的这种结构。因为考试一般考三级，所以我这里就讲三节。
	要么就是一个这种AAB型的这种结构，只要它特征值是满足这种情况，你用谱分解就非常好用。只不过下面要绕个完整，我先要去求这个A减去A倍的E而已，懂了没有？所以它的适用场景主要就这两类。如果说三个特征值都不一样，那我们一般就不用蒲文件了。因为它它没有太多的优势了，是吧？只要是这两种场景，你就用脯文件好了，懂了吧？所以我们看一下这个例2。例二这道题其实比较有意思，是一道真题改编的。
	我们来处理一下，它是一个三阶的实对称矩阵，A特征值是12-2。好，然后告诉我们这个条件。那这个条件你解读一下，是不是就是说特征值一对应的特征向量就这个家伙，所以对于A矩阵而言，我们就知道了，它有一个特征值拉姆达一是等于一的。然后特征向量比如说叫阿尔法一，它等于那个1-1 1的。好，然后兰姆达二是等于二的，兰姆达三是等于-2的对A矩阵而言就这么多信息，你能不能通过这个特征值？不可恶了，你能不能通过这个特征向量把这两个特征向量求出来，你求不出来是吧？这个在技术阶段我们就说过这个问题，你是求不出来的。
	如果这里这两个特征值都是2或者都是-2，那你是可以利用这个正角关系求出来。但是三个不都不一样的时候，你起码要知道两个才能求另外一个，所以你现在求不出来，对A的分析就到此为止了，分析不了了。那你再看我们又给了一个B的条件，最后要求的也确实是这个矩阵B那B的条件你发现没？这个B就相当于什么？B是不是相当于A的3次方减去四倍的A加上一的话就是一个这种FA的结构。这个东西的话我们很清楚它的特征值和A是有紧密的关系的。特征向量的话满足个什么关系？A的特征向量就是B的特征向量，是不是这个道理？所以我们根据这个表格，我们甚至可以把表格列出来，就是说A矩阵，A矩阵它的这个特征值是12-2，对应的特征向量是这个阿尔法一。我比如说这里虽然没求我叫阿尔法2，阿尔法三好了好吧，阿尔法一、阿尔法2，阿尔法三好。
	那么对于B矩阵而言，B矩阵而言，它的特征值会对应的变成什么？如果说上面的特征值是拉姆达，下面的特征值是不是对应的兰姆达的3次方减去四倍兰姆达加1。因为它B矩阵等于这玩意儿，所以你对应的很快的可以把这个特征值算出来。第一个特征值算出来是多少？是对应的-2，然后二这样一个特征值，你带进去算，2的3次方减去4乘以2加上一个一，是不是得到一？同样的这个特征值也对应到一身上了，所以这就是B矩阵特征值的情况。
	特征向量是不是还是这些同时也可以作为B的特征向量，没毛病，所以这三个家伙也可以作为B举证才能下来。所以现在B矩阵的特征值信息我们知道了，特征向量知道一个，另外两个虽然不知道，但是由于B矩阵的特征值它是这样的结构，一个-2两个一，所以我们可以利用正交关系去把阿尔法2、阿尔法三解出来，这是B矩阵和A矩阵的区别。你在A矩阵那里解不出来，但在B矩阵身上是可以解出来。所以我们就可以用那种原始的方法去做，用前面的就是你把阿尔法三解出来之后，然后把这三个向量进行正交化，单位化拼成一个Q矩阵，然后就有B等于Q角Q转就可以把它给求出来，是吧？我这里就不讲这个方法了，我们就用普文解来做，就像我前面在奖励二开头给大家介绍那个原理一样。
	他就出现了这种两个重根的这种情况，所以你可以先转个弯，我去求什么B减1，我去求B减1。因为B减一的特征值特征向量就会变成什么样，B减一的话特征指数会变成-3 00。特征向量是不是还是这个阿尔法一、阿尔法2、阿尔法三能不能看得懂，是不是这个道理？
	好，所以求B减1的话，我就可以用这个普遍解定理。你注意我把这三个特征，我把这三个特征向量进行正交化，单位化好得到比如说叫伽马一、伽马2、伽马3。所以我写坐标，根据谱分解，我们就有这个B减去E就等于什么？
	大声告诉我B减E是不是就等于这个负三这样一个特征值乘以伽马一家马一转加上零乘以伽马2，伽马2转加上零乘以伽马3，伽马三转，所以这后面两个没有了，所以我们只用关心这个伽马一就行，不用关心伽马一就就行。也就是说把这个阿尔法一单位化得到伽马一就可以了。所以1411单位化你还不会吗？就来一个根号3分之1就完了呗。所以最后它就很容易就可以求解出来，这里就等于一个负三倍的伽马一，就是根号3分之1倍的1-1 1，然后乘以根号3分之1倍的1-1 1，然后这里和前面系数约掉，剩一个负一是吧？剩一个负一，所以就等于什么？
	是不是等于这个就我看一下就是1-1 1，然后乘以我们把这个负号要么放到后面的行向量这里来，好吧，那就是一个-1 1-1这个乘出来最后结果就是-1 1-1 1-1 1-1 1-1，这就是我们的B减1，这就是我们的B减1。大家注意这是求出来B减1，你最后还要倒一下，把这个B矩阵求出来。B矩阵就等于相当于这个矩阵加上单位阵，相当于它的基础加上一个单位整紧凑一点，空间不够了，加上一个单位置，所以它就等于什么对角线是不是变成000，其他地方不变，就1-1，11-1 1，这就是我们的B矩阵。所以就可以利用这种方法去求，就比你算三个矩阵相乘肯定要方便一些。因为这个地方计算是非常简单的，是吧？所以大家要注意这个谱分解的适用场景，在这种情况下你就可以用谱分解快速的去求解矩阵。好吧，这个希望大家也能够掌握。
	有了这个进阶知识之后，我们再来讲一个问题，就是在求这个矩阵的高次幂的时候，实对称矩阵对矩阵高斯密的时候，其实也可以很好的应用这个普分解定理来做，我们来看一下这个题目。其实就是拿利益改的，我把哪里改了呢？我把这里改改了一下，把这两个向量改成了是特征值一对应的特征向量，能理解吧？AX等于X相当于X等于一乘以X，就对应的特征值一对应的特征向量。所以对于A而言，它的特征值信息就是兰姆达一等于兰姆达二等于一，然后特征向量就是阿尔法一等于-2 11。然后阿尔法二等于01-1，然后兰姆达三就等于一个三，阿尔法三就等于111，这个希望大家能够理解，这就是它的特征值的特征向量信息。
	好，然后我们要求解的是A的N次方，这个怎么处理？其实方法有很多，这里我们可以用普分解来处理这个问题。你想一下我们现在A矩阵的特征值特征向量信息都知道了，A矩阵的特征值特征向量信息都知道了。那么对于A的N次方而言，我说它的特征值是不是非常明显，就对应的是啊就是两个一和一个这个三的N次方。这个大家会，它的特征值如果是拉姆达，A的N次方就是拉姆达的N次方，所以这是它的特征值信息。那对应的特征向量，A的特征向量是不是仍然还是A的N次方的特征向量，所以还是这些都是可以用下来，还是这些。那现在有了这个A的N次方，因为A的N次方当然也是个实对称矩阵。
	有了它的特征值信息，特征向量信息，我们是不是可以利用谱分解把它的这个A的N次方本身给求出来。只不过求的时候我们要注意一下，就是说你这个特征向量肯定要进行正交化单位化这个正交化这已经是已经正交了，他和他正交他和他正交，他和他正交，好吧，所以我们只需要进行单位化就行。单化其实前面也画过了，这个画出来比如说叫一个伽马一好吧，伽马一等于负的根号6分之2，根号6分之1，根号6分之1呗。然后伽马2就等于零根号2分之1，负的根号2分之1好吧，这个单位化伽马3就等于根号3分之1根号3分之1，根号3分之1，是单位化。所以接下来我们就有谱分解，我们就有。
	但大家注意这里由于这两个特征值是一并不是零，所以你直接用分解也是不好求的。那么怎么处理？是不是刚才教过大家，我想办法把这个特征值尽量变出越多人越好。所以你直接求A的N次方不好求，我可以先求什么，A的N次方是不是减一个单位阵就好了。因为A的N次方减去单位正大，它的特征值就会变成两个零和一个三的N次方减1。这个家伙就好用朴文解去做，是不是这个道理而且你这些特征向量都是共用的，这伽马一、伽马2、伽马三是不是同样也可以作为A的N次方减一的特征向量，这完全没毛病。所以先去用朴文解求这个，先用普分解去求A的N次方减。
	一看懂了没有？是核心你要能理解，那么我们用一下这个谱分解，它就是零乘以伽马一家马一转加上零乘以伽马2转是吧？然后再加上一个特征值，它对应的就是三的N次方减一特征向量，就是这个家伙加上一个三的N次方减1乘以伽马三转，那前面两个家伙就由于系数是零都没有了，所以只剩下这个。
	实际上这个其实也好算，我们来算一下它等于多少，是不是等于3的N次方减1乘以，这个伽马3乘伽马三转，你可以在这里提个根号3分之1，然后伽马三转这里也提一个根号3分之1。我们刚才都算过的，所以合在一块，就3分之1乘以一个111是吧，我就不再重复说了，这都算过的，所以就等于这个结果，然后你再把这个单位正给我移到右边去，不就把A的N次方求出来了吗？是吧？所以接下来我们再算一下，接下来我们就有A的N次方等于一加上这个家伙，一加上这个家伙。好，所以我们稍微化简一下就可以得到这个我们是这样画，我们干脆把这个3分之1给提出来，好吧，3分之1给提出来，然后把这个系数给它乘进去。那所有的地方就是三的N次方减13的N次方减13的N次方减13的N次方减13的N次方减13的N次方减13N次方减13N次方减13，N次方减一是吧？这个就是这个家伙，然后加个单位阵，加个单位阵，如果提个3分之1出来，那就是对角线，相当于是三能理解，你就把这个一想成一个3分之1倍的333，所以你把这个3加进来，加进来之后是不是对角线这里相当于把它变成一个加2。原来减1，这对角线加三不就变成加二了，所以最后的结果A矩阵就可以用这个家伙去表示，懂了没有？
	就这么算的话，你的计算量就会很小。相比于算那个相比于你用那个Q角Q转去算的话，算三个矩阵相乘就要轻松一些，懂吗？因为它就只用算一个列向量乘一个行向量，它的计算量会小一些。所以大家要掌握这个组分解，来计算这种实对称矩阵的一个巧妙方法。OK. 
	把这个原理以及这三道例题听懂，那么你的符文解就相当于是学到位了。好吧？这个小技巧希望大家在后续当中能够熟练的运用啊，提高你的计算速度。

（内容由AI生成）