Hello, 大家好，我是美咋了？这课我们继续学习现在强化的3.7小节两类特殊的相似问题。这个小节我在2022年的时候，202也就是2023考研的时候，我就在讲义当中列了这样一个小姐。当时是作为带星号的小姐，因为它确实有一点点难，我是要求120分以上的同学掌握，120分以下的同学选择性的听。 然后很巧的是在2024年，不对，应该是2023年，也就是二四考研的时候，2024考研的时候就出了一个相关的选择题。待会儿我们也可以看得到，实际上就是这道题目。所以现在我这个小节就没带星号了，要求大家都掌握。因为真题都已经出过了，以后会把它出的更深入一点，是吧？这谁都说不清楚，那是有必要掌握的。所以接下来大家还是要认真去学。 这里所谓两类特殊的相似问题，其一第一类就是同时相似对角化问题，又名公共特征向量问题。为什么它会有这样两个名字呢？其实我一说你就懂了，大家都很聪明是不是？ 我写右下角A矩阵，它相似调化。比如说通过某个手段到了它对应的对角叫角A，矩阵B也通过这样一个手段到了角B什么叫做同时最小化？这个所谓的同时的含义指的就是说他们用的是同一个手段，用的是同一个P矩阵。那我问你了，P矩阵这个相似角化的这个P矩阵这个手段，它是由什么构成的？我们前面是不是一再跟大家强调过这件事情，这个P矩阵不是由别的，就是由这个矩阵的特征向量组装起来的，是吧？既然他们是公共的这个P矩阵公共的手段，那不就意味着AB有公共的特征向量吗？所以这类问题同时最小化问题又称为公共特征向量问题，首先你要把这一点要想清楚，好吧，那接下来我们就来讲与之相关的知识点和题目。 我们先讲知识点，因为这块知识点你会发现接下来我讲的四条结论都和ABBA有关系，所以我们要对这个ABBA问题进行深入的研究。我们先看结论的第一条，设AB均为N阶的矩阵，那么AB与BA有相同的特征值。大家注意第一条结论它成立的前提要求是非常低的，只需要AB是N阶的矩阵就完事儿了。好，那接下来我就给大家证明一下这条结论。证明过程不要求你们掌握，听一遍跟着我思路把它理解清楚就够了，不要求你们自己能够写出来。 这里证明的核心既然要证明特征值一样，我们可以从什么角度切入呢？是不是证明他们的特征多项式一样，所以就是相当于去证兰姆达E减去AB的行列式等于兰姆达一减去BA的行列式，就等于这东西。好，然后我们怎么去证明这个东西呢？这里就有一点点难度了，我们可以这样构造，这个构造确实有点点难想。我们构造一个这样的分块矩阵，兰姆达1B0，兰姆达一减去AB然后我们人为构造出这样一个。 分块矩阵。 然后在这个分块矩阵的基础之上，我给它做广义的初等行变换。我就是用上面这个B上面这个B去消掉下面的这个负AB对吧？我用上面这个B去消去下面的这个负AB所以我做一个什么样的变化呢？相当于是把第一行。 组成。 A矩阵给加到第二行去做这样一个变化，那么立马就可以得到。你你你跟着我思路想一下，第一行组成A矩阵加到下面去，是不是这个AB就和这个负AB抵消掉了，它就会变成。 这个东西。 它就会变成一个拉姆达兰姆达A然后这就是兰姆达一上面的还是兰姆达1B矩阵不动，是不是变成这样了？好，接着我们再利用这个列利用这个列，注意利用这个拉姆达1，去把这里的拉姆达A给它消掉。所以我们再做一次列变化，就是相当于把右边一列又乘负A矩阵加过来是吧，就可以把它消成0。所以就是C2第2列又成负A矩阵加到D列去，这样的话就可以得到这样一个东西，是不是？拉姆达E减去BA了是吧？下面就是0，然后右边是B兰姆达E不动，就得到这个了。 好，这个时候你看，我们就相当于经过两次广义的初等变换，而且都用的是这种倍加变换。大家注意倍加变换前后行列式是相等的，所以现在我们就得到了，跟着我思路走，我用红色笔重点把它标出来，就它的行列式最前面这个行列式是等于最后面这个行列式的最后面这个行列是因此我们就有推到了前面这个行列式，它正好又是个上三角，所以它它是这样的分块矩阵，是吧？分块矩阵，所以它的行列式应该正好等于拉姆达AE这个子块的行列式乘以兰姆达E减去AB的行列式。拉普拉斯公式告诉我们的，是吧？好，等于右边，右边这个也是同样的道理，它也是这样的一个方块上三角的结构，也是可以用拉普拉斯公式来算它的行列式，它就等于兰姆达一减去BA的行列式乘以这个兰姆达一的行列式。 好，接着你抵消掉，这样不就得到了我们要的这个玩意儿吗？既然他们特征多项式一样，那解出来的拉姆达当然也是一样的，故他们的特征值是一样的。懂了吧？所以这样就可以证明出来了。那么我对大家的要求就是你记住这个结论就可以了。这个结论也很好记，对不对？它前置要求很低，只要是N阶矩阵，那么AB和BA就有相同的特征值，把它记住就完事了，就证明过程听一次就够了。好吧，就打住，到此为止，接下来我们就来证明。 第二条结论。第二条结论。 其实在前面讲那个矩阵相似那里就跟大家讲过讲过的当AB为N阶矩阵，且其中一个矩阵可逆的时候，A矩阵或者B矩阵都可以，其中一个矩阵可逆的时候，那么就可以推出AB相似于BA。这个也非常好证明是吧？怎么证明？从相似的定义就能够出发，我AB基础之上，既然A可逆，我左乘A逆右乘A大家思考一下它会等于什么，那么这一块是不是抵消掉了，所以是不是只留下个BA，所以它就等于BA。所以你现在跟着我思路走，是不是相当于AB这个矩阵的基础之上，左乘A匿右乘A等于什么？等于BA这是不是相似的定义？你把这个A想成一个P矩阵，这样子就看得懂了。这是不是相似的定义？所以我们立马推出AB相似于BA，这就是第二条结论的证明过程。 然后接下来我跟大家讲一下第三条结论的证明过程。我们在前面讲逆矩阵的时候，就经常碰到过这种事的，对不对？一般是怎么处理？你把它移到一边，你看AB减去A倍的E减去BE，B倍的B等于0矩阵，好吧？好，那这里我们可以把它变形成这样的结果，就是A减去B乘以一个B. 减去A. 很明显这样的话要使得这个式子成立的话，横等边形右边要补一个AB单位正又因为AB相乘不等于0，说的很清楚，AB相乘不等于0，然后这些矩阵实际上都是N阶的方阵，那这样两个矩阵相乘既然等于ABE，我们根据逆矩阵定义，我们知道实际上这两个家伙他肯定是可以交换的。这里我讲详细一点，我怕有的同学听不懂。你可以把这个式子稍微变形整理一下。实际上你就能得到这样一个式子，就是A减去B倍的一，然后乘以这个所谓的AB分之1，B减去A倍的一等于单位值，可以理解，不相当于把这个系数移到左边去，这样你就看得很清楚了，就相当于一个这个矩阵和后面这个矩阵它相乘等于单位阵，然后它们又都是N阶的方阵，所以它们互为逆矩阵，能看懂吗？这样互为逆矩阵它们就可以交换了。交换位置，我可以把这个移到前面去，这个家伙移到后面去。这个我们在讲逆矩阵那里都教过大家的，所以它就等于单位置是吧？能看懂吗？ 好，这样式子都带有分数，很烦。现在我们利用完了之后，再把这个数字都给它剔回到右边去把它踢回去，就是AB，把它踢回去，下面也是这个ABE好吧，都把前面的这个数字就剔掉了，能理解吧？就是这样一个变形过程，就是为了方便大家理解，所以我把这个中间步骤都写出来告诉你了。 实际上熟练之后是非常快的。好，接着把这两个式子都给它拆解掉，把这两个式子都给它拆解掉，我拆解的过程列在左边，大家跟着我思路走。拆解之后实际上就是AB减去BB减去AA减加上这个ABE等于右边的ABE。 好，下面这个式子拆解之后，实际上你会得到一个BA减去BB减去AA加上ABE等于这个ABE。你发现没？这是一个完全对称的结构，他这里约掉了，然后这个也都是一样的，唯独有区别的就是他和他。所以由这两个式子你是很容易推得出来，上面的AB是等于这个AA加上BB的，下面的这个BA也是等于AA加上。BB的，因此它们不就相等，这样就证明出来了，懂了吧？就是利用这样一个过程去证。其实我们前面在讲逆矩阵那个小节都跟大家讲过，就是第三小问，大家可以把这个结论稍微的记一记，不记也行，反正这东西也很好现场推总之列出这样的式子，形如这种结构的式子，你就很有可能会推出AB等于BA好吧？ 推出来AB等于BA之后，那我们又能得到什么呢？这就是我们这节课要讲的重头戏结论，就是第四条结论。有了AB和BAB等于BA之后，这个公共特征向量往往就出来了。我们来看一下重头戏结论，第四条结论它就是需要AB等于BA，所以为什么前面讲第三条，我们要给出什么条件能推出AB等于BA呢？再去讲第四条，就这个原因，当AB为N阶矩阵且AB等于BA的时候，如果再加像A有N个互不相同的特征值，我们就能够推出A的特征向量，都是B的特征向量，这个怎么去证明？我给大家写一下证明过程，我们可以先假设把A的特征向量先假设出来，设AX等于兰姆达X好，特征向量X不。 等于0。那么。 怎么用用上这些条件？思考一下，由AB等于BA你能推到什么呢？AB等于BA你能推到什么？我前面就教过大家，你既然要用上这个特征向量的信息，你注意是不是要想办法在A的右边去乘一个X对吧？所以你看着你你跟我说路走，你盯着这个条件，你想一下怎么去利用上这个特征值特征向量的信息，我是不是只能说在这个BA后面乘一个X，你这个AB这个A后面跟这个讨厌的，你怎么把它和这个X向量相乘呢？相当于被这个B矩阵给插了一脚，让这个A和X就拆散了，情侣之间就拆散了，就这个意思吧？我们只能够在这里乘个X，所以我们就想我们就说利用这个AB等于BA，在这个式子基础上给它又乘X向量，我们就可以得到ABX等于BAX并且由于这里AX放在一块了，就可以利用上这个信息吗？它是不是进一步就转化成B乘以ln x兰姆达数字丢前面去是不是就是兰姆达倍的BX好像你盯着一头一尾看啊，你看A乘以BX等于兰姆达乘以BX能看出什么端倪没有？ 是不是特征值与特征向量的信息，把BX看成一个整体，因为BX也是个列向量，把它看成一个整体是不是看得懂了，是不是相当于BX有点像什么？有点像A矩阵对应于特征值lambda的特征向量，是不是有这个感觉，对吧？BX就相当于是A矩阵对应于londa的特征向量。 但是这里面有个前提，我们知道特征向量你不能为零向量，而BX到底为不为零？说不清楚，因此我们到这一步，应该加一个讨论才会更加的严谨，懂吗？到这一步我们可以加一个讨论，我们讨论若BX不等于0，那么立马下结论，则BX这个向量是A矩阵对应。 于。 拉姆达的特征向量，是吧？好，若BX等于0，我们先放着，我们先把上面这种情况讨论清楚。因为你要知道这个A矩阵它是有N个互不相同同的特征值的，它特征值都互异。所以每个特征值底下的特征向量是不是单重是不是每个特征值底下的特征向量是单重？也就是说你每个特征值，比如说兰姆达1，兰姆达一直到拉姆达，就拿拉姆达一为例，它底下的特征向量应该是单纯的相互之间是成比例的，是吧？所以你这个BX向量是不是和我们假设出来的这个X向量应该是成比例的关系是吧？它们都是对应于lambda的特征向量，所以我们进一步由这里就可以推出，这个BX等于相当于是缪倍的X它们之间要成比例。 为什么成比例？到底听懂没有我这里再说一遍，就是说你这些特征值都是单根，那么对应的线性每一个特征值对应的线性无关特征向量其实只有一个。对，每个特征值底下的几何重数都是一，那你每个特征值底下的特征向量之间当然是线性相关成比例的，就这个意思。因为你看啊你现在这个BX向量是A矩阵对应于lambda的特征向量。好，我们假设的这个X向量也是A矩阵对应于特征值拉姆达的特征向量。既然BXX都是这个A矩阵对应于拉姆达的特征向量，那么它们之间当然成比例，所以它就有BX等于缪X，你看这是不是就是B矩阵的特征值，特征向量的定义式，所以我们是不是得到了这个X向量，也是B矩阵对应于特征值，主要是缪的特征向量。懂了没有？是不是推到了X向量，仍然是它的特征向量，仍然是B矩阵的特征向量，这是建立在这个条件之下。 然后我们看一下，如果说BX等于零的好处，B等于零我们立马是不是得到这个X向量，就是B矩阵对应于拉姆达等于零的特征向量，所以你发现没有，不管是这种情况还是这种情况，你最后都能够推出来这个X向量是B矩阵对应于特征向量是吧？我都能推出来X是B矩阵对应的特征向量吗？所以最后我们总结一下，也就是说我们只要假设了这个X向量是A的特征向量，我们就一定能推出来。这个X向量也是B矩阵的特征向量，那不就是得到了A的特征向量都是B的特征向量。就这样证明出来的，大家懂了没有？所以以后这个第四条结论大家可以稍微的记一记，就给出这样三个条件，这第一个条件，这第二个条件，这第三个条件，我们就能够得到A的特征向量都是B的特征向量画个示意图，我们把它的特征向量的包含关系可以画个示意图，实际上也就是说什么呢？相当于是哪个在里面，哪个在外面，A的都是B的，A的都是B的的话，那是不是就是意味着A在这B在这，这是A的特征向量，这是B的特征向量。 是不是A的特征向量都是B的。 特征向量，就是有这样一个包含关系。所以在这样一个前提之下，我问你在这样一个前提之下，如果让你求A矩阵和B矩阵公共的特征向量你会不会求？或者说求他们同时对角化的那个公共的P矩阵，你会不会求？实际上是不是就是它的特征向量，因为他们具备这样一个包含关系，所以公共的就是这一部分，发现没有公共的就是这一部分。这是我们接下来处理问题的理论前提，大家一定要把这一块要听懂。 好，有了这样一些前提准备之后，我们接下来看到几道例题。首先我们来说一下这道真题，现在你做到整体，我可以说你是秒杀是吧？AB均为二阶的矩阵，AB等于BAA有两个不相等的特征值。就是是不是完美，是我们前面讲第四条结论的那三个条件。如果说有这三个条件，是不是立马能推出来？什么推出来？A的特征向量都是B的特征向量，对不对？所以就是在这个前提条件之下，我们是能够推得出来A的特征向量。 A的特征向量我们不妨写一下，它两个不相等的特征值，一个叫拉姆达1，一个叫拉姆达2。好了，对应的特征向量叫科赛一和科赛2。好，所以就是A的特征向量克赛一、科赛二均为B的特征向量，我就简写了。是不是能推出这样的结论？ 那你现在想个问题，我们有了这些判断之后，最后他问的是B可否对角化，你怎么去考虑这个问题？大家思考一下，我们说能不能相似点话，有一个非常常用的充要条件，就是看它有没有N个线性无关特征向量，对不对？现在你想A的两个特征值是不一样的，那么对应的特征向量这属于不同特征值。底下特征向量那当然是线性无关呗，就是说科赛一、科赛二是线性无关的是吧？那现在科赛一、科赛二又是作为B的特征向量，是不是意味着B矩阵的这样两个特征向量也是线性无关的？既然如此庇佑是二阶矩阵的话，那它当然就可以对角化呗，是不是这个道理？所以就相当于是给出这个条件，推出来推出来这个信息之后，我们进一步往下推，是很容易去说明B能够对角化的这可以理解。那么这个过程是不是就是一个充分条件的过程，因为有这个条件成立就能够得到这个，因此前者是后者的充分条件，所以充分性我们就有了。 接着我们再说一下这个必要性，必要性是什么？必要性就是说AB可对角化能不能推到A有两个，这个兰姆达1，兰姆达2乘兰姆达一不等于。那么它有两个互异的特征值，能不能推到呢？像这里首先大家要有一种这种做题的直觉，要有一种做题的直觉。你想一下你由这些信息去推，有两个不相等的特征值是很明显是很难的。你要去说明它两个特征不相等，这是比较困难的。 其实这里面我们可以举特例去说明了，你可以举什么呢？举B举证它可以最小化。我们就举一个特殊的，比如说它等于单位的，又或者B等于0矩阵，这些都可以。你通过这两个例子你会发现，你把它带进去，AB等于BA是恒成立的。B为零矩阵的时候，那零等于0，这还要你说是不是？B为单位阵的时候，那退化成A等于A这也是废话。这相当于这个条件，就相当于是个废的条件。 就是你会发现在举这样的例子基础之上，你就会发现一件什么事情呢？就是题目的这个AB等于BA这个条件就会转化为一个废条件，毫无任何的信息，对不对？那么由此你再去推A的特征值信息，你能推出来吗？推不出来是吧？A等于A你能推到A有两个不相等的特征值，推不出来。所以接下来就推不出任何有用的信息了，就走不通了。因此这个必要性很明显就是不成立的，它推不出来。 因此这道题就选我们的充分不必要充分不必要选B懂了没有？所以这道题其实难点应该就难在这个充分性这里。有了前面那个结论之后，你要证明这个充分性实际上非常清晰的。我们刚才这里已经给大家说过了，对吧？所以要把这个结论要搞清楚，就这个问题。 好，接下来我们再看一道题目，这个量也是一道经典老题了。我们一起看一下AB均为三阶的方阵，然后有这个式成立，说A有三个不同特征值。你看到这几个条件是不是眼里都放光了，就是我们前面那个结论四的那三个前置条件，所以你是很容易能推出来A的特征向量均为B的特征向量？所以他们就能够用一个公共的P矩阵进行相似调化，因为他们具备公共的特征向量，所以这个第二问我们待会应该很轻松就可以证明出来。 然后这里面插了一个第一问，第一问我们也来证一下，证明兰姆达I不等于负一，这个证明问题我们平常见的比较少，顺便接这里也跟大家说一下，如果你要证明特征值等于什么，那我是不是要证明你比如说拉姆达一减A行列式等于0，只要有这个式成立，我们就能推出拉姆达是A的特征值吗？那如果要证明这个，比如说负一不是它的特征值，怎么证明呢？实际上就是要证明这个东西不等于零就可以了，都没有。就是它现在是负一不是它的认知，那就是负一倍的一减去A的行列式不等于0，就是要证明这件事情，所以这个思路要清晰。所以这道题相当于要证这个负一减A的行列式不等于0。那负一减A这都带着负号，看起来很讨人喜欢，是不是？我们把这个负号拿掉，因为这个玩意儿实际上就是负一的这三阶矩阵负一的3次方。然后一加A的行列式，相当于是证明这个东西，那前面这个系数可以拿掉。 所以把这个问题简化一点，不要让自己搞那么麻烦。就是一加A的行列式不等于0，就是要证明这个好，就是要证明这个。那这个怎么证呢？缺点肯定是由它来。那你很明显只有这个是能提供相关的信息，所以我们就由AB等于A减去B立马可以得到一项整理。 这前面都是很常见的操作了，那么就是A加E乘以B减一等于负一到这一步就证明出来了。很明显两边取行列式，这都是方阵，是吧？两边取行列式，这两个行列式相乘很明显不等于0，因此这两个都不等于0，所以两边取行列式立马可以得到A加E的行列式乘以这个B减1E的行列式，它是不等于零的，故下结论A加E的行列式不等于0。孤独症懂了吧？ 这是第一小问的一个思路，我们就说到这里，然后接着第二小问，第二小问其实就是讲前面那个结论四的证明过程了。只不过它这里不再是抽象的AB了，而是给出了具体数字一和负一。那么相信大家也很容易能证明出来。 我这里简单给大家写一下过程，我们就是有AB等于A减去B立马可以推出两个式子，一个就是这个，一个就是这个，我干脆把这个负号移过来好吧，干脆把这负号移过来，把这里写成一个E减B好了，能理解吧？就是我把它写成A加一乘以个一减B等于E这样写。那么这两个东西相当于互为逆矩阵交换位置，相当于可以那就是E减B乘以这个A加一等于。好，接着你把它两个都打开就可以得到，可以得到什么呢？这是不是相当于A加E减去AB减B等于右边的一下面就是一个，下面就是一个A减去BA然后加上一减B等于。好，那由上面的进一步可以得到A减B等于AB由下面的可以得到A减B等于BA这可以跟上了，相当于把这个东西移到右边去，把这个东西移到右边去，所以很明显你这个是不是得到AB等于BA，所以我们就推出来了AB等于BA，我往上写好吧，AB等于BA那接着是不是三个条件三要素都满足了，AB均为N阶的方阵，三阶方阵看到没？ AB等于BAA有三个不同特征值，立马下结论什么A的特征向量都是B的特征向量，我写坐标立马下结论A的特征向量均为B的特征向量，就是A的特征向量均为B的特征向量。好吧，那是这里三角矩阵，我们不妨把它具体式子写出来，因为特征值都在这，实际上就是说我们就以A的特征值特征向量的定义式为基准去写A克塞一等于兰姆达一克赛一，A克赛二等于兰姆达2克赛2，A克赛三等于兰姆达A3科赛3。然后大家思考一个问题，由于A的这三个特征值都不一样，我们知道它是B可相似对角化的，是不是？B可相似对角化。因此你把柯赛一、科赛2、科赛三组装成一个P矩阵，我们就可以得到。我写右边就可以得到什么。我们就取P等于可塞一、可塞2、克塞3，自然就有PDAPPDAP是不是就等于对应的对角值拉姆达1、拉姆达拉姆达3，这一步能不能跟上？同时这三个特征向量我说了也是B的特征向量，所以组装出来的这个B矩阵是不是它也兼具这样一个功能，把B矩阵相似变化？所以我们有PVBP等于它对应的特征值。 这里注意B矩阵的特征值就不再是这玩意儿了，他们特征指数可没有说是一样，所以我们不妨把它叫缪一谬缪斯。只不过他们有公共的这样一个P矩阵，能够把他们对角化懂了吧？这样一个过程千万不要和第一条结论搞混了。我们第一条结论说的是AB与BA有相同的特征值，这里面是AB的特征值，这是两码事儿啊不要把它们混为一谈，好吧，就立案。你发现没？把前面结论搞清楚，做这种题目就会很轻松，就很轻松。 说完了例2，接下来我们再讲一下下一道题，就是以前张宇模拟卷子上的一个题目。A矩阵等于这个，然后B矩阵等于这个我告诉你AB等于BA第一问求AB的值，这个大家自己去求，老老实实把AB算出来，把BA算出来，然后令他们相等就可以去求出A等于A等于2，B等于一。这个不是我要做的工作，你们自己去做。 我要说的是第二问，求全部的公共特征向量，这个如何处理？实际上我们上道题已经有这样的基础了。我们说只要有AB等于BA，且其中一个矩阵，我们上道题用的是A矩阵。A有三个特征，三个不同的特质。因为考研一般考三级，三个不同的。 Number一兰姆达2，兰姆达三有这两个条件立马可以推得什么？它们可以同时相似对角化，同时相似对角化的，换句话讲就是有公共的特征向量。我们上道题描述的非常清楚，就是说A的特征向量。阿尔法还均为B的，是这么说的吧？是可以推导出来，所以这个结论大家首先要记清楚。那么到这里你看，就是说我们前面做过的题，大家不能说把它丢了。当你在考场上就假设大家现在在考场上碰到了这样一个题，你看到这些非常相似的条件，你应该立马联想到你学过的知识，懂吗？ 所以你要往这样一个模型上去靠，那你不妨这题你把把AB的特征值给我算出来，你去算一下拉姆达1000A的行列式，这个我就不算了。这个过程大家自己去算，这比较基础。算出来是兰姆达减1乘以兰姆达减3的平方，所以就可以推得它的特征就是兰姆达一等于兰姆达二等于3，兰姆达三等于一是吧？好，再算一下兰姆达一减B的行列式，这个就等于这个也交给大家自己去算，等于兰姆达乘以lambda减3，lambda加一好吧，所以就可以推得它的特征值信息，就这个缪一等于0，缪二等于三缪三等于负一，这就是它的特征值信息。 好，现在是不是。 就符合这个模型？只不过在这道题当中听清楚，仔细听，在这道题当中就有有这样一个条件，AB等于BA且B矩阵有三个不同的特征值，分别是什么呢？就是03负氧。根据我们上道题的模型，我们就很清楚这个时候你一定能推导出来B的特征向量。均为A的特征向量，对不对？这句话当中的两个主体和前面的结论就是倒过来的。因为这道题是B有三个不同的特征值，我们上道题讲的是A有三个不同的特征值，懂了没？一定要跟上我的思路，所以这个条件你要能够立马反应过来，要能够用上来。 大家思考一下，既然B的特征向量均为A的特征向量，那你求它的公共特征向量的时候，是不是就是求谁的？是不是就是求这个B的特征向量，因为B的都是A的B的都是A的B的特征向量。我画的这是B的特征向量，它都是A的特征向量，它是被它包住了，所以他们公共的特征向量是不是就是B的特征向量？所以第二问本质上就是去求B的特征向量，B的特征向量你还不会求吗？我相信大家都会，你只需要求出B的特征向量即可，这个过程交给你们自己去求，交给你们自己去求。 好，接下来我们看下第三问，第三问那不是纯纯的送分吗？所以我说了这三道题层层递进，这道题完全就是用上道题3点48来解决问题。这个P矩阵我们在上一题就已经说过了是吧？就是由谁的特征向量拼在一起的。在这道题当中在这道题当中就是由B矩阵三个特征向量拼在一起的。因此这个B矩阵不是别的P矩阵，就是B的三个特征向量，就是求这三个特征值对应的特征向量。我写下边，不妨设它为贝塔一、贝塔2、贝塔3，所以这道题的P1矩阵我写中间就是贝塔一、贝塔3即可，没别的懂吗？当然这个P值显然不为，因为你特征向量可以加个系数是吧？K1、K2、K3只要满足它可以，这样的PG上有无数个，懂吗？你只要。 写出一个即可。 就这么简单。就第三问，所以你说这个AB等于BA问题，这个公共的特征向量问题难吗？实际上也不难，你要把它本质搞清楚。好，这三个题希望大家自己好好的再回顾体会一下。 接下来我们看下一类，就是3.7.2无法通过相似对角化作为中介的相似传递问题，这类也是非常特殊的。因为我们知道考试考这个矩阵相似传递问题，考虑比较多的情况就是利用相似的传递性，而且利用对角阵作为相似传递的中介，这个是最多的一种情况。也就是说如果有A相似于对角，B相似于对角，这个对角又是同一个对角的话，那么我们自然能够推出A相似于B，这个是最多的一种情况。其次就是题目给了一些提示，比如说题目给了一个C矩阵，你很容易能说明A相似于CB相似于C那我也能推出这个A是相似于B的。又或者是通过定义。 题目会引导？ 比如说给出一些可逆矩阵P的这种暗示，这个我们前面也见过了，给出一些这样的提示，然后让你去利用定义去说明PDAP等于B或者是这个抽象形式抽象形式AP等于PB，AP等于PB主要就是这三种形式了，其中第一种形式是最多的一种情况。所以如果说一旦这两个矩阵A与B之间不能相似对角化的话，我们能够去说明的方法就很少了。我们就只剩下下面这两种。 下面这两种有的时候你像待会儿我们讲的这道例题，如果题目还没有明显的提示，就没有一个这样的中介的话。那么你要去说明两个矩阵相似，就只能靠这个定义了。那这个说明起来就比较困难。好吧？我们来看一下，比如说这样一个题目给了三个这样的二阶矩阵，第一问让我们去说明这三个矩阵均不能相似对角化。那怎么说呢？你比如说以A矩阵为例，我们求求一下它的特征值。那么一减A好像是一列，就是拉姆达加拉姆达，然后其他地方天符号，然后很快把它算出来是这玩意儿，就是拉姆达减一的平方，我们令它等于0，很容易解的两个特征值是一二重根，所以代数重数就是2。 但是我们对应。 的这个特征值一，对应的这个特征值一，你去算一下一减A，一减A的痣很容易算的，一减A的值等于一，这也就意味着一减AX等于0。它只能解出多少个线性无关的非零解呢？是不是就是N减去R1减A个，也就是2减1个，因为它是二阶矩阵，就是说只有一个线性无关的非理解向量。换言之就是说矩阵A属于特征值一的线性无关，特征向量只有一个，也就是说我们说的几何重数是一。 你现在代数重数和几何重数不相等，那说明一个什么事情？那说明它不就不能相似对角化吗？是不是这个逻辑？所以很容易就说明A不能相似对话。同理大家也可以去说明B和C都不能相似对话，这个我就不再不再重复说了，不再重复说了。 好，接下来我们重点是要说的是第二问，我们重点要说这个第二问，第二问他让我干嘛呢？第二问他是不是让我们说明A相似于B相似于C？你看这三个矩阵它都不能相似对角化，那么就不能用对角阵作为中介了。那你要去说明A相似于B其实是比较困难的，我们刚才也说了，那我们主要就是通过这个定义去说明。根据相似定义我们写出来实际上就是说PDAP等于B就是要说明这件事情。 那这个怎么去说明呢？实际上本质上就是要找到一个相似变换的手段，找到这样一个疲倦。你把皮卷找出来了，那自然就说明了AB相似。但这个形式相对而言就不太好计算，你知道吧？我们可以利用它的抽象形式，也就是说两边做成P矩阵，两边组成B矩阵，得到AP等于PB用这个抽象形式去解决会更方便点。 我们这里面直接去把P矩阵给假设出来，它不是二阶，四个元素给它假设出来。假设出来之后，那么你A矩阵已知，B矩阵已知，你就把AP给我算出来，这是AP这矩阵乘法自己去算，很容易算得等于这样一个结果。这是P矩阵乘以B矩阵算得等于这样一个结果。那这两个矩阵相等就对应的就是说所有对应元素都要相等。 两个矩阵相等就对应所有元素都要相等，所以它和它相等它和它相等它和它相等它和它相等，从而就列到这样一个方程组，列到这样一个分组，这里看过一下答案，这里写错了，这应该是X2，加上这么多答案写成了X1，加上这么多，好吧，注意一下。好，列出这样一个分组之后，然后我们把它的系数矩阵写出来。这里细心一点，千万不要写错了，好吧，把它的系数矩阵给我写出来。 写出来，你像这个方程对应的是1010，然后这里面对应的是1-1 0-1，然后10100111，然后画横阶梯很容易化。你比如说把第一行的负一倍加到第二行来，那就得到了0-1-1-1。那这个零-1和最后一个0111是成比例的，所以这一行就可以画成零化成零行往下丢，这个0111就可以往上放，对不对？然后你这个1010这一行和这个1010是不是一样的？所以这也给它干成零行，所以真正有用的两有用的就只有这两行。看到了吧？有用的只有两行，而这个很明显又出现了一个11001，所以这已经化成一个行最简了。 化成行最简之后解这个方程。你就付后面2个X3X4为自由变量，1001赋值。看懂了吧？1001赋值，然后第三列对应的相反数填到这儿，第四列对应的相反数从上往下填到这儿。所以解出它的这个通解，也即P矩阵等于X1、X2、X3、X4就等于这玩意儿，这就相当于解除了所有的P矩阵，解除了所有的P矩阵。 那么注意我们这个P矩阵要求是可逆的，你这个相似变换手段必须是个可逆矩阵，所以这里面这个细节要注意，这个P的行列式必须要不等于0，所以把它的行列式一求会发现等于K一的平方不等于0。因此就我们必须要求K不等于零才可以，好吧，注意一下。但是像这种题，一般他没有就是他没有说明要你求出所有的P矩阵，那其实你就只需要写出一个就行。注意，这是一个约定俗成的这题目除非是特别说明了需要你求出所有的K矩阵P那你才要把所有的求出来。只要它没有说明，那你只需要写出一个就可以了。所以我们这里面比如说就取这个K一等于负一，K2等于一就这这样一个P矩阵就符合题目意思，它就能够实现PDAP等于B这个你自己去验算一下是吧，也就是说明了A相似于B类似的方法大家也可以去证明B相似于C从而具有传递性，就可以说明ABC3者它都是相，这就是这样一个证明过程，懂了没有？ 所以我们总结一下，就是处理这种没办法使用相似的话作为中介的这种相似传递问题。就从定义去处理，相当于转化为一个解方程的问题。你把这个P矩阵给我待定出来，转化为解方程的问题，好吧。 然后我还想拓展一下，因为这道题它是二阶，它是二阶的话，你这个P值设出来就四个未知数，它还好处理点。假如说是三阶矩阵，那你就那你设出来这个P值相对也就会比较麻烦，它就是X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8、X9。那这九个位就是那你这个方程怎么解呢？它就会很很麻烦。所以如果次数更高的话，我们就要采用逐个突破的思路，就是你整个融合在一起去挤，就会比较困难好吧？我们接如果是接触比较高就逐个突破。所以这里拓展一下这个拓展这两个矩阵，我不知道大家还有印象没有，回旋镖来了，前面我们在讲矩阵相似问题的时候，讲了一道真题，讲了一道真题。2018年那个真题，我当时就说了，那道题目之所以作为选择题，因为它作为大题不太合适。 现在我们讲到这里，我们就可以去严格去说明那道题当中题干的那个矩阵和那道题A选项的那个矩阵之间，它们之间为什么是相似。这两个矩阵它都不能够相似的化，它特征值三重归纳都是一，它都不能相似的化。但是这两者之间是相似的，怎么去求出这个肯定矩阵P？ 和刚才讲的一个思路，但是由于这里接触比较高三阶了，所以采取足够突破的思路。我们可以这样，我们可以设置这个P矩阵，就列分块把它三列，这个向量记为科赛一、科赛二和科赛三。然后我去研究AP等于P仍然是研究AP等于PB。好，AP写出来，A乘以这玩意儿，A乘以这玩意儿，那就是A可塞一，a cosine 2，A可塞3。 PP是什么？PP就是P矩阵乘以这样一个P矩阵，然后你把这玩意儿给他写出来，那它们相乘得到结果，结果的第一列是怎么来，是不是由它乘以这个第一列得到的？所以就是cosine相乘出来的这个结果的第二列怎么得到的？是不是由它乘以这个第二列得到的？所以就科赛一加可塞第三列怎么得到的，是不是由它乘以这玩意儿得到的，所以就这么多把它写出来。好，现在过河拆桥，中间的拆掉，看着一头一尾是不是就有a cos一等于这个可塞一，然后就是a cos 2等于cos 1加可塞2，然后就是这个a cos 3等于这玩意儿，对不对？所以我就列出这样一个式子，x sine一等于它，X加二等于它，X加三等于它。 那接下来怎么去求解呢？依次去求解依次去求解。先从最简单的入手，你比如说这三个当中，其中最简单的就这个就这个。那么这个怎么去求解科赛一？注意我稍微一项整理一下，是不是把cosine解出来了。就是说A减去一乘以cosine等于0，它是不是一项整理，就这玩意儿。所以解这个科赛伊相当于去解什么？解这样一个其次先方组A矩阵是已知的，A减一就可以写出来。 你去解这样一个齐次线方组，把克塞伊给我解出来，把柯塞伊解出来，解出科赛伊之后，然后我再再从这里面去解读csl怎么解？一项同样的一项整理，把cosine都给它移到左边去，所以一项整理之后得到A减1乘以cos l等于克塞伊，这相当于一个什么非歧视性放组，对不对？但是不要担心，我们刚才不是把克赛伊解出来了吗？克赛伊解出来你就带入这里来。那这个A减E已知，右边的cosine已知，当然可以把这个可塞二给解除。 懂这个逻辑没有然后我还说一下，你像这个题目，他没有说让你求出所有的可逆矩阵P，那你只要找一个就行。你当时在解除这个科赛一的时候，你就不要带着那个什么K了，你就找出一个就可以了，找出一个就可以，不要为难自己啊不要带着K去解好吧。然后把柯赛一带进来之后，把柯赛二一解出来，科赛二解出来之后，把柯赛伊克赛二都往这里带，就这两块就都已知了。然后你同样的一项整理就是A减一乘以这个cos 3等于这玩意儿，那同样的解这样一个非其次性方组cos 3解出来，也就是说这三列我们就逐个突破，逐个的给它解出来。那最后科赛一、科赛2、科赛三都解出来了，你最后拼在一起就P等于cos 1，科赛2、科赛三就把这个P矩阵给解决了，懂了吧？就这样一个思路，三阶我们就采取逐个突破的思路，就不合在一起解了。如果说二阶的话，我就方便，就直接一次性把它搞定就完事儿了，好吧？ 就这类问题核心就转化成AP等于PB，然后转化成一个解方程的问题，希望大家能够理解。OK. 关于这两类特殊的矩阵相似问题，我们就说到这里。这两类比较难，所以大家听完课之后，把这个思路搞懂之后，一定要自己动手去算一遍，去做一遍，去感受一下好吧。 （内容由AI生成）