考研数学二 · 线性代数必备结论汇总（视频截图 + 字幕整理）
从 B站搜「考研数学二 线代 必备结论 汇总」，选 6 个视频，截取板书 / PPT 画面并结合字幕，由 AI 综合整理、按章节去重合并。结论旁附对应视频截图，点时间戳可跳到原视频。
来源视频
- V1 近二十年考研真题里的线代结论+公式，已汇总，直接背！ · 喻老考研数学
- V2 线代公式/结论，带背！(1/2) · 浅笙yax
- V3 【25线代公式默写】5min快速记一遍，看看谁还记不住！李永乐、武忠祥 · 上岸了的小王
- V4 AB=BA相关结论 全网最全梳理 · P1 · 夜雨教你考研竞赛
- V5 【干货】考研数学真题线性代数常考的已知条件全在这儿了！ · 王志超老师
- V6 4分钟总结张宇18讲实用二级结论 · 阳阳咩本人
V3 画面只有空白模板、V6 是高数结论，均未纳入。二次型部分材料很少，需另行补充。视频字幕有口误时以画面为准，已在「易错」中标出。
行列式（起始：V2 04:09 / V1 00:21）
核心公式：
2阶伴随口诀：主对调、副反号得伴随：
$$ A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},\quad A^*=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix},\quad A^{-1}=\frac1{|A|}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}. $$
注意口诀得到的是伴随，不是逆；逆还要乘 $1/|A|$。V2 04:09 画面：V2 [04:09] 展示该公式并手写 $A^{-1}=A^*/|A|$、$A^*=|A|A^{-1}$。
- 初等矩阵的行列式与逆：
| 类型 | 逆 | 行列式 |
|---|---|---|
| 对调 $E_{ij}$ | $E_{ij}^{-1}=E_{ij}$ | $\det(E_{ij})=-1$ V2 07:38 |
| 倍乘 $E_i(k)$ | $E_i(k)^{-1}=E_i(1/k)$ | $\det(E_i(k))=k$ V2 07:38 |
| 倍加 $E_{ij}(k)$ | $E_{ij}(k)^{-1}=E_{ij}(-k)$ | $\det(E_{ij}(k))=1$ V2 08:36 |
转置：$E_{ij}^T=E_{ij}$，$E_i(k)^T=E_i(k)$，$E_{ij}(k)^T=E_{ji}(k)$。V2 09:37
分块矩阵行列式：
$$ \begin{vmatrix}A&C\\0&B\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}A&0\\C&B\end{vmatrix}=|A||B|, $$
$$ \begin{vmatrix}0&A\\B&C\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}C&A\\B&0\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|, $$
其中 $A$ 为 $m$ 阶、$B$ 为 $n$ 阶。V2 33:31
$a_{ij}=A_{ij}$ 结论：设 $A$ 是3阶非零矩阵，则
- 易错：V2 字幕[07:32]口误“A转置等于负的A伴随”、[08:36]“对调行列式等于一”，与画面[07:38]表格 $\det(E_{ij})=-1$、[04:09] $A^T=-A^*$ 矛盾；以画面文字为准。
矩阵（起始：V2 00:00 / V2 13:42）
可逆九条等价条件（$A_{n\times n}$）：
- 矩阵秩公式：
| 公式 | 口诀/说明 |
|---|---|
| $r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}$ | 越乘越小 V2 14:29 |
| $r(A,B)\ge r(A)$ | 越拼越大 V2 14:29 |
| $r(A\pm B)\le r(A)+r(B)$ | 分开加最大 V2 14:29 |
| $r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA)$ | 乘转置不变秩 V2 14:29 |
| 若 $AB=0$，则 $r(A)+r(B)\le n$ | $n$ 为 $A$ 的列数、$B$ 的行数 V2 14:29 |
| 若 $P,Q$ 可逆，则 $r(PAQ)=r(A)$ | 乘可逆阵不变秩 V2 14:29 |
进阶：左乘列满秩不变秩 $r(PA)=r(A)$；右乘行满秩不变秩 $r(AB)=r(A)$。V2 14:29
$r(A^*)$ 分段：
$$ r(A^*)=\begin{cases} n,& r(A)=n,\\ 1,& r(A)=n-1,\\ 0,& r(A)<n-1. \end{cases} $$
秩1矩阵 $A=\alpha\beta^T$：
- 列满秩/行满秩结论表（重点背）：
| 列满秩 $A_{m\times n}$ | 结论 |
|---|---|
| (1) 秩 | $r(A)=n$，列向量组线性无关 |
| (2) 左乘列满秩 | $r(AB)=r(B)$ |
| (3) 左消去律 | 若 $AB=AC$，则 $B=C$ |
| (4) 齐次 | $AX=0$ 仅有零解 |
| (5) 同解 | $ABX=0$ 与 $BX=0$ 同解 |
| (6) 三秩相等 | $r(B)=r(AB)=r([B;AB])$ |
| (7) 行组等价 | $B$ 的行向量组与 $AB$ 的行向量组等价 |
| 行满秩 $A_{m\times n}$ | 结论 |
|---|---|
| (1) 秩 | $r(A)=m$，行向量组线性无关 |
| (2) 右乘行满秩 | $r(BA)=r(B)$ |
| (3) 右消去律 | 若 $BA=CA$，则 $B=C$ |
| (4) 非齐 | $Ax=b$ 有解时 $m=r(A)\le r(A,b)\le m$ |
| (5) 同解 | $A^TB^Tx=0$ 与 $B^Tx=0$ 同解 |
分块矩阵：
- 转置“大转小也转”：$(A\ B)^T=(A^T;B^T)$，$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}A^T&C^T\\B^T&D^T\end{bmatrix}$。V2 33:35
- 逆：主对角线分块直接添逆 $\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&0\\0&B^{-1}\end{bmatrix}$；V2 口述副对角需“先换序再添逆”，但画面只完整展示主对角公式，副对角需另核。V2 33:31 V2 34:43
- 秩：$r\begin{bmatrix}A&0\\C&B\end{bmatrix}\ge r(A)+r(B)$；若 $A$ 可逆，则等号成立。V2 36:15
初等变换与广义初等变换：
- 迹与可交换：$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$（$A$ 为 $m\times n$，$B$ 为 $n\times m$）。V2 14:58
AB=BA 的充分条件（V4）：
向量组（起始：V2 10:52 / V2 36:58）
- 线性相关/无关/线性表示判定：
| 概念 | 等价判定 |
|---|---|
| 线性相关 | 存在不全为0的 $k_i$ 使 $\sum k_i\alpha_i=0$；至少一个向量可由其余表示；$r(\alpha_1,\dots,\alpha_s)<s$；$Ax=0$ 有非零解。V2 36:58 |
| 线性无关 | 仅 $k_i$ 全为0时成立；任一向量不能由其余表示；$r(\alpha_1,\dots,\alpha_s)=s$；$Ax=0$ 仅有零解。V2 36:58 |
| $\beta$ 可由 $\alpha_i$ 表示 | 非齐次方程有解；$r(\alpha_1,\dots,\alpha_s)=r(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta)$；不等则不能表示；等于 $s$ 唯一表示；等于 $r<s$ 无穷多表示。V2 36:58 |
线性相关性常用表：
- 无关：子集也无关；接长也无关。
- 无关，加1个相关：加的能唯一表示。
- 无关，加1个不能表示：全无关。
- 相关：再加几个也相关；缩短也相关。
- 以少表多，多的必相关；个数>维数，一定相关。
- 3个无关的3维向量一定可以表示任意一个三维向量。
- $\beta$ 可被 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 表示 $\Rightarrow r(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta)=r(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$。V2 36:58
- 补充：$\beta$ 不可表示 $\Rightarrow r(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta)=r(\alpha_1,\dots,\alpha_s)+1$；若一个向量组可由另一个表示 $\Rightarrow r(\text{前者})\le r(\text{后者})$.V2 38:56
- 向量组等价：V2 口述为 $r(A,B)=r(A)=r(B)$（字幕识别较乱，按上下文整理）。V2 11:22
- 列满秩/行满秩与向量组：列满秩 $\Leftrightarrow r(A)=n$ 且列向量组线性无关；行满秩 $\Leftrightarrow r(A)=m$ 且行向量组线性无关。V2 18:35 V2 20:07
- 向量组由另一组表示：把表示式拼成 $B=AP$，$P$ 的列是表示系数；若 $P$ 可逆，则 $P^{-1}AP=B$，即 $A$ 与 $B$ 相似。08年数一例子：$A\alpha_1=0$，$A\alpha_2=2\alpha_1+\alpha_2$，得 $B=\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}$，非零特征值为1。V5 27:05 V5 28:44 V5 29:45
方程组（起始：V5 00:32 / V2 11:22）
解的判定：
$r(A)=r<n$ 的五条转化：
$AB=O$：
$AB=C$：
同解与消去律：
特征值（起始：V2 17:16 / V4 12:32 / V5 04:09）
- 特征值与行列式/迹：$|A|=\prod\lambda_i$；$\operatorname{tr}(A)=\sum\lambda_i=$主对角线元素之和（方阵）；可逆 $\Leftrightarrow$ 无零特征值。V2 13:42 V5 04:09
- 秩1矩阵特征值：$A=\alpha\beta^T$ 的特征值为 $n-1$ 个0和 $\operatorname{tr}(A)$；迹对应特征向量为 $\alpha$；可相似对角化 $\Leftrightarrow \operatorname{tr}(A)\neq0$；$A^n=[\operatorname{tr}(A)]^{n-1}A$。V2 17:16 V5 例子：03年 $\alpha\alpha^T$ 的迹=3；09年 $\alpha\beta^T$ 相似于 $\operatorname{diag}(2,0,0)$ 得 $\beta^T\alpha=2$；17年 $\alpha$ 为单位列向量，$\alpha\alpha^T$ 特征值为 $n-1$ 个0和1。V5 09:51 V5 10:23 V5 10:56
各行元素和均为 $k$：$A(1,\dots,1)^T=k(1,\dots,1)^T$，所以 $k$ 是特征值，特征向量为 $(1,\dots,1)^T$。V5 11:59 V5 12:30
- 实对称矩阵：$K$ 重特征值恰好对应 $K$ 个线性无关的特征向量；不同特征值对应特征向量两两正交；可正交对角化。V5 01:34 V5 05:09
AB=BA 的充要条件与同时相似对角化：
- 设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $A$ 有 $n$ 个互异特征值，则 $AB=BA\Leftrightarrow A,B$ 可同时相似对角化。V4 06:17 V4 12:56
- 设 $A,B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则 $AB=BA\Leftrightarrow A,B$ 可同时相似对角化。V4 17:18 V4 24:43
- 24真题：$A,B$ 二阶，$AB=BA$，“$A$ 两个不相等特征值”是“$B$ 可对角化”的充分不必要条件，选B。V4 12:32 V4 12:05
- 变形式画面列出：$AB=BA\Leftrightarrow A^2-B^2=(A-B)(A+B)$、$(A\pm B)^2=A^2\pm2AB+B^2$、$(AB)^T=A^T B^T$。原文如此；其中 $(AB)^T=A^T B^T$ 一般需额外条件，使用前核对。V4 24:43
- 易错：V4 的变形式中 $(AB)^T=A^T B^T$ 不是普遍恒等式（材料外提醒：一般 $(AB)^T=B^TA^T$），考试引用需看题目条件。
二次型（起始：V1 00:59 / V5 13:01）
- 材料中二次型内容很少：V1 目录列“第六章 二次型”，但画面底部截断，没有给出具体公式。V1 00:59
可用结论：
- 注意：V2 只到带背(1/2)，材料未覆盖二次型；正定、合同、惯性定理等未在材料中出现，不能据 V1 目录补写。
延伸思考
- 把 V5 的“已知条件→等价转化”做成选择题检查表：看到 $r(A)=r<n$、行和 $k$、$A^*=A^T$、$AB=O$、$AB=C$ 时，先问“转成秩、方程解、特征值还是向量表示”，比死背公式更稳。V5 00:32 V5 20:54 V5 24:32
- V2 的公式表适合二轮查漏，但字幕口误多，优先看画面表格；尤其初等矩阵行列式、$A^T=-A^*$、分块副对角逆三处要按画面/教材核对。V2 07:38 V2 04:09 V2 34:43
- V4 的 AB=BA 专题可与“同时相似对角化”合并复习：先记两个充要条件，再用24真题判断“充分不必要”，最后注意变形式的适用条件。V4 12:32 V4 24:43
附：其余关键画面
