线代强化课 · 第 1 章 行列式与矩阵：全知识点整理（讲义截图 + 真题订正）

线代强化课第 1 章「行列式与矩阵」的整理笔记，共 12 节：1.1 行列式（两讲）、逆序数专题、1.2 矩阵、1.3 代数余子式与伴随、1.4 逆、1.5 高次幂、1.6 初等变换、1.7 矩阵乘法进阶、1.8 秩（两讲）、1.9 分块矩阵。

整理时以 AI 总结为骨架，每道例题都对照讲义截图核对原题，再用 sympy 验算答案。AI 总结里抄错题、算错的地方已按原题改正，并用 ⚠️订正 标出。

讲义各题的分值标注：1.3、1.4、1.6 约 5 分小题；1.5 偶尔是 5 分小题，也可能出现在大题里；1.7 是理解秩的基础；1.8 秩、1.9 分块是本章难点。

1.1 行列式

1. 概念与展开定理

• 余子式 $M_{ij}$：划去 $a_{ij}$ 所在行列后剩下的 $n-1$ 阶行列式。代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。
• 展开定理：$D=\sum_k a_{ik}A_{ik}$（按行），$D=\sum_k a_{kj}A_{kj}$（按列）。

• 两个关键性质：

  • $A_{ij}$ 与 $a_{ij}$ 本身的取值无关；
  • 一行元素乘另一行的代数余子式，和为 0：$\sum_k a_{ik}A_{jk}=0\ (i\ne j)$。

• 八条性质：

  1. $|A|=|A^T|$；
  2. 互换两行变号；
  3. 公因子 $k$ 可提出；
  4. 倍加不变；
  5. 某行是两数之和时可拆成两个行列式；
  6. 有零行，值为 0；
  7. 两行相等，值为 0；
  8. 两行成比例，值为 0。

例 1 已知 $\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&1\\a^2&b^2&1\end{vmatrix}=1$，求 $\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&a&b&1\\1&a^2&b^2&1\\2&0&0&5\end{vmatrix}$。

1. 按第 4 行展开：$D=2(-1)^{5}\cdot 1+5\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&b\\1&a^2&b^2\end{vmatrix}$。
2. 后面这个三阶行列式经两次列互换就是已知行列式，符号变两次，值仍为 1。
3. 故 $D=-2+5=3$，选 (B)。

例 2 $A$ 为 3 阶矩阵，$\begin{vmatrix}A&\alpha\\\beta^T&4\end{vmatrix}=5$，$\begin{vmatrix}A&\alpha\\\beta^T&1\end{vmatrix}=-3$，求 $|A|$。

1. 两个行列式只有最后一列不同，利用可拆性相减：$\begin{vmatrix}A&0\\\beta^T&3\end{vmatrix}=8$。
2. 按最后一列展开得 $3|A|=8$，故 $|A|=\dfrac83$。

2. 特殊行列式公式

⚠️ 易错：

• 副对角分块的符号是 $(-1)^{mn}$，其中 $m,n$ 是两块的阶数；副对角行列式的符号是 $(-1)^{n(n-1)/2}$。
• $|A+B|\ne|A|+|B|$；$AB\ne BA$，但 $|AB|=|BA|$。

3. 具体型行列式：化零降阶法

最朴素的办法：先用性质在某行或列制造尽量多的 0，再按它展开。

例 3（2020 数二） $\begin{vmatrix}a&0&-1&1\\0&a&1&-1\\-1&1&a&0\\1&-1&0&a\end{vmatrix}$。

1. $r_1+r_2$，再 $c_2-c_1$，第一行只剩 $a$。
2. 按第一行展开：$a\begin{vmatrix}a&1&-1\\2&a&0\\-2&0&a\end{vmatrix}=a(a^3-4a)=\boxed{a^2(a^2-4)}$。

4. 可化三角的几类行列式

• 一点一线 / 二线（例 4）：先把第 3 行多余的 1 用倍加消掉，再按孤立的点 5 展开。结果为 $5\cdot(-1)^{5+1}\cdot 1\cdot2\cdot3\cdot4=120$。
• 爪形（例 5，“斜爪削平爪”）：用 $\lambda_i$ 消去第一行的 $a_i$，得
  $$D_{n+1}=\Big(\lambda_0-\sum_{i=1}^n\frac{a_ib_i}{\lambda_i}\Big)\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n .$$
• 行（列）和相等（例 6）：把所有行加到第 1 行，提出公因子，第 1 行全为 1，再化成三角形：
  $$\begin{vmatrix}1+a&1&\cdots&1\\2&2+a&\cdots&2\\\vdots&&&\vdots\\n&n&\cdots&n+a\end{vmatrix}=\Big[\frac{n(n+1)}2+a\Big]a^{n-1}.$$
  “$ab$ 型”（数量阵 + 秩 1 阵）也可以用特征值法。
• 行列同数（例 7，加边法）：加一行 $(1,a_1,\dots,a_n)$、一列 $(1,0,\dots,0)^T$，就化成爪形。也可以把原式看成 $|\lambda E-A|$，其中 $A=\alpha\alpha^T$ 是秩 1 阵，特征值为 $\sum a_i^2,0,\dots,0$：
  $$\begin{vmatrix}\lambda-a_1^2&-a_1a_2&\cdots\\-a_2a_1&\lambda-a_2^2&\cdots\\\vdots&&\ddots\end{vmatrix}=\lambda^{n-1}\Big(\lambda-\sum_{i=1}^na_i^2\Big).$$

5. 范德蒙变形与拉普拉斯

例 8：第 4 行是 $(b+c+d,\ a+c+d,\ a+b+d,\ a+b+c)$。

1. 把前 3 行加到第 4 行，提出公因子 $a+b+c+d$，第 4 行变成全 1。
2. 第 4 行连换 3 次换到第 1 行，产生负号。
3. 结果：$-(a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$。

例 9 $A,B$ 为 3 阶矩阵，$|A^2-B^2|=2$，求 $\begin{vmatrix}A&B\\B&A\end{vmatrix}$。

1. 下行加到上行，再右列减左列，化成 $\begin{vmatrix}A+B&O\\B&A-B\end{vmatrix}=|A+B||A-B|$。
2. ⚠️ 注意：$A^2-B^2\ne(A+B)(A-B)$，因为 $AB\ne BA$，题目条件本身有问题。正确结论是 $|A+B||A-B|$，只有条件换成 $|A+B||A-B|=2$ 时才能填 2。

6. 递推型行列式

例 10（2015 数一） “么形”行列式：主对角为 2，下次对角为 $-1$，最后一列为 2。

1. 按第 1 行展开：$D_n=2D_{n-1}+2\cdot(-1)^{1+n}(-1)^{n-1}=2D_{n-1}+2$。
2. 初值 $D_1=2$，$D_2=6$。
3. 配成等比：$D_n+2=2(D_{n-1}+2)=2^{n-1}(D_1+2)$，得 $\boxed{D_n=2^{n+1}-2}$。

例 11 三对角行列式：主对角 $2a$，上次对角 1，下次对角 $a^2$。证明 $D_n=(n+1)a^n$。

1. 按第 1 行展开得 $D_n=2aD_{n-1}-a^2D_{n-2}$。
2. 待定系数：$D_n-aD_{n-1}=a(D_{n-1}-aD_{n-2})=a^{n-2}(D_2-aD_1)=a^n$。
3. 再迭代 $D_n=aD_{n-1}+a^n=\cdots=a^{n-1}D_1+(n-1)a^n=(n+1)a^n$。

通法：$D_n=kD_{n-1}+l$ 型，设 $D_n+\alpha=k(D_{n-1}+\alpha)$；二阶递推，设 $D_n+lD_{n-1}=k(D_{n-1}+lD_{n-2})$。

7. 抽象型行列式

• 例 12（与正交阵） $A,B$ 为 3 阶正交阵，$|A|+|B|=0$，求 $|A+B|$。

  1. 插入 $E$：$|A+B|=|BB^TA+BA^TA|=|B|\,|B^T+A^T|\,|A|$。
  2. $|B^T+A^T|=|(A+B)^T|=|A+B|$，且 $|A||B|=-1$。
  3. 得 $|A+B|=-|A+B|$，故 $|A+B|=0$。

• 例 13（与向量，李艳芳 900） $A=(\alpha,\gamma_1,2\gamma_2,3\gamma_3)$，$B=(\beta,\gamma_1,-\gamma_2,\gamma_3)$，$|A|=6$，$|B|=2$。

  1. $|A+B|=|\alpha+\beta,2\gamma_1,\gamma_2,4\gamma_3|=8|\alpha+\beta,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3|$。
  2. 由已知，$|\alpha,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3|=1$，$|\beta,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3|=-2$。
  3. 故 $|A+B|=8\times(1-2)=-8$。

• 例 14（与方程组，2023 数二） 方程组 $ax_1+x_3=1,\ x_1+ax_2+x_3=0,\ x_1+2x_2+ax_3=0,\ ax_1+bx_2=2$ 有解，且 $\begin{vmatrix}a&0&1\\1&a&1\\1&2&a\end{vmatrix}=4$，求 $\begin{vmatrix}1&a&1\\1&2&a\\a&b&0\end{vmatrix}$。

  1. 系数阵只有 3 列，且有一个 3 阶子式非零，所以系数阵秩为 3。有解意味着增广阵秩也是 3，故 4 阶增广行列式为 0。
  2. 按第 4 列展开：$1\cdot(-1)^{1+4}M_{14}+2\cdot4=0$，得 $M_{14}=\boxed{8}$。

• 例 15（与特征值） $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，$A\alpha_1=\alpha_1-\alpha_2$，$A\alpha_2=\alpha_2-\alpha_3$，$A\alpha_3=\alpha_3+\alpha_1$，求 $|A+2E|$。

  1. 写成 $AP=PC$，其中 $C=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}$，故 $A\sim C$。
  2. $|A+2E|=|C+2E|=\begin{vmatrix}3&0&1\\-1&3&0\\0&-1&3\end{vmatrix}=27+1=\boxed{28}$。AI 总结在这一步断掉了，此处按板书补全。

8. 行列式结合高数

例 16（2025 数三） 求 $f(x)=g(x)$ 的不同根的个数，其中
$$f(x)=\begin{vmatrix}2x+1&3&2x+1&1\\2x&-3&4x&-2\\2x+1&2&2x+1&1\\2x&-4&4x&-2\end{vmatrix},\quad g(x)=\begin{vmatrix}2x+1&1&2x+1&3\\5x+1&-2&4x&-3\\0&1&2x+1&2\\2x&-2&4x&-4\end{vmatrix}.$$

⚠️ 订正：AI 总结把这两个行列式抄错了，上面按讲义原题重写。

1. 求 $f$：$r_1-r_3$、$r_2-r_4$ 后，前两行都变成 $(0,1,0,0)$，两行相同，故 $f(x)\equiv0$。
2. 化简 $g$：$r_1-r_3$、$r_2-r_4$ 后，第 3 列上方两个元素为 0。换列凑成拉普拉斯形式：
   $$g(x)=-\begin{vmatrix}2x+1&1\\3x+1&1\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}2x+1&1\\4x&-2\end{vmatrix}=-(-x)(-8x-2)=-2x(4x+1).$$
3. 解方程：$f=g$ 即 $-2x(4x+1)=0$，有 $x=0$、$x=-\frac14$ 两个根，答案为 2。sympy 已验证。

例 17（2021 数二/三） 求 $f(x)=\begin{vmatrix}x&x&1&2x\\1&x&2&-1\\2&1&x&1\\2&-1&1&x\end{vmatrix}$ 中 $x^3$ 项的系数。

1. 做 $c_2-c_1$、$c_4-2c_1$，第 1 行变成 $(x,0,1,0)$。
2. 按第 1 行展开，只有 $x\cdot\begin{vmatrix}x-1&2&-3\\-1&x&-3\\-3&1&x-4\end{vmatrix}$ 能产生 $x^3$。
3. 这个三阶行列式中，$x^2$ 只来自 $(x-1)(x^2-4x+3)$，系数为 $-5$，所以 $x^3$ 的系数为 $\boxed{-5}$。
4. 逆序数做法见下一节。

补充专题：逆序数的应用

• $n$ 级排列与逆序数：

  • $n$ 级排列是 $1\sim n$ 的一个有序组；大数排在小数前面就构成一个逆序，逆序总数记作 $\tau$。
  • 例：$\tau(32154)=4$，逆序为 $32,31,21,54$，是偶排列。
  • 两个特殊排列：$\tau(12\cdots n)=0$；$\tau(n\cdots21)=\frac{n(n-1)}2$，奇偶性随 $n$ 变化。

• 定义式：$D_n=\sum(-1)^{\tau(j_1\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$，读作“不同行不同列取 $n$ 个元素之积的代数和”。

  • 符号由列标排列的奇偶性决定；
  • 共 $n!$ 项；
  • 主要用来求某一项的系数。

例 17 的逆序数解法：要凑出 $x^3$，必须取 3 个含 $x$ 的元素和 1 个常数。

合计系数为 $-5$。

⚠️ 订正：旧版 AI 总结把 $a_{14}$ 认成了 $x$，又把 $a_{11},a_{13}$ 弄错，结果在 $-3$ 和 $-5$ 之间自相矛盾。以讲义原题 $a_{14}=2x$ 为准，答案是 $-5$（sympy 已验证）。

1.2 矩阵复习

• 基本概念：

  • 矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$，$m=n$ 时为方阵；
  • 同型：行数、列数都相同；相等：同型且对应元素相等；
  • 考研范围默认是实矩阵。
• 数乘：$kA$ 是每个元素都乘 $k$，所以 $|kA|=k^n|A|$。这一点和行列式提公因子不同。
• 乘法：$c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$，即 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列作内积。要求“内标相同”：$(m\times n)(n\times s)$。

• 乘法三大易错：

  1. 不满足交换律。例：$A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ 时 $AB=O$，而 $BA=\begin{pmatrix}-2&-2\\2&2\end{pmatrix}$。
  2. $AB=O$ 推不出 $A=O$ 或 $B=O$（同一个例子）。
  3. 不满足消去律：$AB=AC$ 推不出 $B=C$。$A$ 可逆或列满秩时才能消去。

• 对称 / 反对称：$A=A^T$ / $A=-A^T$。

  1. 反对称阵的对角元全为 0；
  2. 对任意 $B$，$B^TB$ 和 $BB^T$ 都对称；
  3. 奇数阶反对称阵 $|A|=0$，因为 $|A|=|-A^T|=(-1)^n|A|$；
  4. 反对称阵对任意 $x$ 有 $x^TAx=0$；
  5. 任一方阵 $A=\frac{A+A^T}2+\frac{A-A^T}2$，即对称阵加反对称阵。
• 伴随：$A^*=(A_{ji})$，注意是转置排列，代数余子式别忘了符号。二阶口诀：主对调、副变号，$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$。
• 逆：同阶方阵 $AB=E$ 就能推出 $BA=E$；非方阵不成立，例如 $\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=E_2$，反过来乘不等于 $E_3$。
• 正交：$Q^TQ=E$，与 $QQ^T=E$ 等价，且 $|Q|=\pm1$。

常用公式汇总（方阵才谈行列式、伴随和逆）：

• 转置：$(A^T)^T=A$，$(A+B)^T=A^T+B^T$，$(kA)^T=kA^T$，$(AB)^T=B^TA^T$，$|A^T|=|A|$。

• 伴随：

  • $AA^*=A^*A=|A|E$；$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$，$A^*=|A|A^{-1}$，$(A^*)^{-1}=\frac{A}{|A|}$，$|A^*|=|A|^{n-1}$；
  • $(AB)^*=B^*A^*$，$(A^T)^*=(A^*)^T$，$(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$；
  • $(kA)^*=k^{n-1}A^*$，$(A^*)^*=|A|^{n-2}A$，$|(A^*)^*|=|A|^{(n-1)^2}$。

1.3 代数余子式与伴随矩阵

这类题有两条思路：一是构造新行列式；二是往伴随矩阵上转化。

例 1 $A=\begin{pmatrix}a+1&b&3\\a&\frac b2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$，$|A|=-\frac12$，$-M_{21}+M_{22}+A_{23}=0$。

1. 条件化成代数余子式：$A_{21}+A_{22}+A_{23}=0$。
2. 把第 2 行换成 $1,1,1$ 构造新行列式，得 $a+1-b=0$。
3. 由 $|A|=-(\frac b2-1)(2a-1)=-\frac12$，联立得 $(a-1)(2a-1)=1$，即 $2a^2-3a=0$。
4. 所以 $a=0$ 或 $\frac32$，选 (B)。

例 2 $A$ 为 3 阶实矩阵，$A_{ij}=a_{ij}$，$a_{33}=1$，求 $|A|$ 及 $Ax=(0,0,1)^T$ 的解。

1. 由 $A_{ij}=a_{ij}$ 得 $A^*=A^T$。取行列式：$|A|^2=|A|$。
2. 按第 3 行展开：$|A|=a_{31}^2+a_{32}^2+1\ge1$，排除 0，故 $|A|=1$。
3. 于是 $AA^T=AA^*=E$，$A$ 是正交阵。第 3 行、第 3 列都是单位向量，所以 $a_{31}=a_{32}=a_{13}=a_{23}=0$。
4. 按列看，$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=(0,0,1)^T$，其中 $\alpha_3=(0,0,1)^T$，所以 $x=(0,0,1)^T$。

例 3 $|A|=1$，各行元素之和均为 $a$，求 $A_{1n}+\cdots+A_{nn}$ 和 $\sum_i\sum_jA_{ij}$。

1. 各行和为 $a$，即 $A\mathbf 1=a\mathbf 1$（$\mathbf 1$ 为全 1 向量）。
2. 由 $A^*\alpha=\frac{|A|}{\lambda}\alpha$，得 $A^*$ 的各行和均为 $\frac1a$。
3. $A_{1n}+\cdots+A_{nn}$ 正是 $A^*$ 的第 $n$ 行之和，等于 $\frac1a$；总和为 $\frac na$。

1.4 矩阵的逆

四种考法：考性质、具体型求逆、抽象型求逆、判断可逆。判断可逆的方法：$|A|\ne0$、找到 $B$ 使 $AB=E$、特征值都不为 0、满秩。

• 例 1（李艳芳 900） $AB=BC$，判断各选项。

  • (A)(B) 错：两个非零矩阵相乘可能为零；
  • (C) 错：$B$ 一个在左一个在右，消不掉；
  • (D) 对：$B$ 可逆时 $r(A)=r(AB)=r(BC)=r(C)$，所以 $A$ 与 $C$ 等价（实际上 $A=BCB^{-1}$，二者相似）。

• 例 2 由 $AB=A+B$ 证 $AB=BA$。

  1. 移项配方：$(A-E)(B-E)=E$，所以 $A-E$ 与 $B-E$ 互逆。
  2. 交换次序：$(B-E)(A-E)=E$，展开得 $BA=A+B=AB$。

• 例 3（李林 880） 选 (B) ①③④。

  • ① 对：$ABC=E$ 可读成 $A(BC)=E$，也可读成 $(AB)C=E$，故 $BCA=CAB=E$；
  • ② 错：反例 $\mathrm{diag}(1,0)+\mathrm{diag}(0,1)=E$；
  • ③ 对：$|AB|=|A||B|=0$；
  • ④ 对：$A(BAB)=E$，故 $(BAB)A=E$，即 $(BA)^2=E$。

• 例 4（2022 数一） $(E-(E-A)^{-1})B=A$，求 $B-A$。

  1. 写成 $[(E-A)-E](E-A)^{-1}B=A$，即 $-A(E-A)^{-1}B=A$。
  2. 左乘 $A^{-1}$ 得 $-(E-A)^{-1}B=E$，所以 $-B=E-A$。
  3. 故 $B-A=\boxed{-E}$。
• 例 5（具体型） $A=\begin{pmatrix}0&1&3\\1&-1&0\\-1&2&1\end{pmatrix}$。用 $(A\mid E)\to(E\mid A^{-1})$，得 $A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac12&\frac52&\frac32\\-\frac12&\frac32&\frac32\\\frac12&-\frac12&-\frac12\end{pmatrix}$（已验算）。

• 例 6（抽象型） $A^3-2A^2+3A-4E=O$。

  • 提出 $A$：$A(A^2-2A+3E)=4E$，故 $A^{-1}=\frac14(A^2-2A+3E)$。
  • 多项式除法：$(A-E)(A^2-A+2E)=2E$，故 $(A-E)^{-1}=\frac12(A^2-A+2E)$。
• 例 7（幂零） $B$ 是 4 阶上移位阵，$B^4=O$，$A=E+B+B^2+B^3$。由 $B^4-E=(B-E)A$ 得 $(E-B)A=E$，所以 $A^{-1}=E-B$。
• 例 8 $\alpha$ 为 3 维单位列向量。$\alpha\alpha^T$ 的特征值为 $1,0,0$，所以 $E-\alpha\alpha^T$ 的特征值为 $0,1,1$，不可逆，选 (A)。也可以从 $A=E-\alpha\alpha^T$ 满足 $A(A-E)=O$ 推出 $r(A)\le2$。

1.5 矩阵的高次幂（五种方法）

• 例 2：$A$ 的对角元为 1、其余为 $-1$（4 阶），$A^2=4E$。$n$ 为偶数时 $A^n=2^nE$；$n$ 为奇数时 $A^n=2^{n-1}A$。
• 例 4：$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}=E+B$，$B^3=O$，
  $$A^n=E+nB+\tfrac{n(n-1)}2B^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\n&1&0\\\frac{n(n-1)}2&n&1\end{pmatrix}.$$
• 例 5：$A=\begin{pmatrix}2&6&4\\-1&-3&-2\\2&6&4\end{pmatrix}$ 各行成比例，秩为 1，$\mathrm{tr}A=3$，所以 $A^n=3^{n-1}A$。

• 例 6：$A=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&-1\\1&0&1\end{pmatrix}$。

  1. 特征值 $2,2,1$，对应特征向量 $(0,1,0)^T,(1,0,1)^T,(0,1,1)^T$。
  2. $A^n=P\Lambda^nP^{-1}=\begin{pmatrix}2^n&0&0\\2^n-1&2^n&1-2^n\\2^n-1&0&1\end{pmatrix}$（sympy 已验证）。

1.6 初等矩阵与初等变换

• 三类初等矩阵（单位阵经一次初等变换得到）：对换 $E_{ij}$、倍乘 $E_i(k)$、倍加 $E_{ij}(k)$。

  • $E_{12}(k)=\begin{pmatrix}1&0&0\\k&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$：从行看是“第 1 行的 $k$ 倍加到第 2 行”，从列看是“第 2 列的 $k$ 倍加到第 1 列”。
  • 不同教材记号不一致，做题时建议直接写出矩阵，自己命名为 $P_1$ 之类。
• 左行右列：左乘初等矩阵等于做初等行变换，右乘等于做初等列变换。

• 定理：

  • 任一矩阵可经行变换化为行阶梯形 / 行最简形，行最简形唯一；
  • 经行、列变换可化为标准形 $\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}$，标准形唯一，且 $P_s\cdots P_1AQ_1\cdots Q_t=E^{(r)}$；
  • 可逆阵是若干初等矩阵的乘积。
• 三类初等矩阵的公式：

伴随用 $A^*=|A|A^{-1}$ 现推即可。

例 1：$\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}^{2026}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}^*$。

1. 对换阵的偶次幂等于 $E$。
2. 后面那个倍加阵行列式为 1，伴随等于逆 $\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。
3. 右乘它就是把第 1 列加到第 2 列，结果为 $\begin{pmatrix}1&3&3\\4&9&6\\7&15&9\end{pmatrix}$。

例 2（2025 数二） 下列矩阵中，可以经初等行变换得到 $\begin{pmatrix}1&1&0&1\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ 的是哪个？选项为
$$(A)\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&2&1&3\\2&3&1&4\end{pmatrix}\ (B)\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&1&2&5\\1&1&1&3\end{pmatrix}\ (C)\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&3\\0&1&0&0\end{pmatrix}\ (D)\begin{pmatrix}1&1&2&3\\1&2&2&3\\2&3&4&6\end{pmatrix}$$

关键是行最简形唯一，把各选项化成行最简形比对：

• (A) 化为 $\begin{pmatrix}1&0&-1&-1\\0&1&1&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}$，不符；
• (C) 秩为 3，不符；
• (D) 主元位置不对，不符；
• (B) 恰好化为目标矩阵，选 (B)。

⚠️ 订正：AI 总结把目标矩阵误写成了 (A) 的行最简形，因此给出的 (A) 是错的。

例 3（2024 数二） $P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$，$P^TAP^2=\begin{pmatrix}a+2c&0&c\\0&b&0\\2c&0&c\end{pmatrix}$，求 $A$。

1. $A=(P^T)^{-1}M(P^2)^{-1}$，其中 $(P^T)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，$(P^2)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}$。
2. 左乘相当于 $r_1-r_3$，得 $\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\2c&0&c\end{pmatrix}$；右乘相当于 $c_1-2c_3$，得 $\mathrm{diag}(a,b,c)$，选 (C)。

例 4（2011 数二） 由题意 $B=AP_1$，$P_2B=E$，所以 $A=P_2^{-1}P_1^{-1}=P_2P_1^{-1}$，选 (D)。

例 5（2005 数二） $B=E_{12}A$，取伴随：$B^*=A^*E_{12}^*=-A^*E_{12}$。即交换 $A^*$ 的第 1、2 列得 $-B^*$，选 (C)。

例 6（2020 数一） $A$ 经初等列变换化成 $B$，即 $AQ=B$，$Q$ 可逆。于是 $A=BQ^{-1}$，令 $P=Q^{-1}$，选 (B)。列变换会改变 $Ax=0$ 的解，所以 (D) 错：解方程组只能用行变换。

1.7 矩阵乘法的进阶认识

1. $AB=O$（$A$ 为 $m\times n$）：

   • 对 $B$ 按列分块，$Ab_i=0$，所以 $B$ 的每一列都是 $Ax=0$ 的解，从而 $r(A)+r(B)\le n$；
   • $B$ 的非零列是 $A$ 属于特征值 0 的特征向量。
2. $Ax=0$：对 $A$ 按行分块，$\alpha_i^Tx=0$，即 $A$ 的每个行向量都与解向量正交。遇到“正交”条件时优先这样想。

3. $AB=C$：

   • 列看前：$C$ 的列由 $A$ 的列线性表示，$r(AB)\le r(A)$；
   • 行看后：$C$ 的行由 $B$ 的行线性表示，$r(AB)\le r(B)$。

1.8 矩阵的秩

定义与等价说法

• 定义：非零子式的最高阶数。$r(A)=r$ 的意思是：存在一个 $r$ 阶非零子式，且所有 $r+1$ 阶子式（如果有）全为 0。

• 两个单边说法：

  • $r(A)\ge r$ ⇔ 存在一个 $r$ 阶子式非零；
  • $r(A)\le r$ ⇔ 所有 $r+1$ 阶子式为 0。
• 小技巧：$a_{33}\ne0$ 可推出 $r\ge1$；4 阶矩阵 $A_{44}\ne0$ 意味着有 3 阶非零子式，可推出 $r\ge3$。

• 多角度理解秩：

  • $|A|\ne0$ ⇔ 满秩；
  • 等于行阶梯形的非零行数；
  • 等于极大无关组所含向量个数；
  • 等于 $Ax=0$ 主元（基本）变量的个数，自由变量有 $n-r$ 个；
  • 可对角化时等于非零特征值个数。

第一组：由定义、初等变换得到

• $r(kA)=r(A)$（$k\ne0$），$r(A_{m\times n})\le\min\{m,n\}$，行秩 = 列秩。
• 初等变换不改变秩：$r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$，$P,Q$ 可逆。
• 同型矩阵 $A,B$ 等价 ⇔ $r(A)=r(B)$。
• 行满秩 ⇔ $r(A)=m$ ⇔ 标准形为 $(E_m\ O)$；列满秩 ⇔ $r(A)=n$ ⇔ 标准形为 $\binom{E_n}{O}$。

第二组：由向量、方程组得到

11. $\max\{r(A),r(B)\}\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$。
12. $r(A\pm B)\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$。
13. $r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}$，所以 $r(A,AB)=r(A)$。
14. $AB=O$ 时 $r(A)+r(B)\le n$。
15. Sylvester 不等式：$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$。证明：$Bx=0$ 的解空间包含于 $ABx=0$ 的解空间，多出来的 $k=r(B)-r(AB)$ 个基础解向量被 $B$ 映成 $Ax=0$ 的 $k$ 个线性无关解，所以 $k\le n-r(A)$。
16. $r(A^*)=n,1,0$，分别对应 $r(A)=n$、$r(A)=n-1$、$r(A)<n-1$。$r(A)=n-1$ 的情形：$AA^*=O$ 给出 $r(A^*)\le1$，又 $A^*\ne O$。
17. $r(A)=r(A^T)=r(A^TA)=r(AA^T)$。$Ax=0$ 与 $A^TAx=0$ 同解，因为 $\beta^TA^TA\beta=\|A\beta\|^2$。
18. 左乘列满秩矩阵或右乘行满秩矩阵，秩不变（同样用同解证明）。
19. $r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}=r(A)+r(B)$。
20. $r\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\ge r(A)+r(B)$，$r\begin{pmatrix}A&O\\C&B\end{pmatrix}\ge r(A)+r(B)$。

伴随矩阵的四个分析角度：

1. 元素是代数余子式；
2. $AA^*=A^*A=|A|E$，$|A|=0$ 时等于 $O$；
3. $r(A^*)$ 与 $r(A)$ 的关系（上面第 16 条）；
4. 特征值：$A$ 的特征值为 $\lambda$ 时，$A^*$ 的特征值为 $\frac{|A|}\lambda$。

秩的典型题

• 例 1 $r(A)=r<m<n$，下面四个说法全错，选 (A) 0 个。

  • ① 不能保证任一 $r-1$ 阶子式都非零；
  • ② 非方阵没有行列式；
  • ③ 秩为 $r$ 只说明存在一个 $r$ 阶非零子式；
  • ④ 化成标准形一般要行、列变换配合，只用行变换不行。例如有零列 $\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ 时，行变换改不掉零列。

• 例 2（广义消去律）$r(A)=m<n$，$BA=CA$，证明 $B=C$。

  1. $(B-C)A=O$ 给出 $r(B-C)+m\le m$，所以 $B-C=O$。
  2. 一般地：右边行满秩可消去，左边列满秩可消去。

• 例 3（李艳芳 900） $r(A_{m\times n})=m$，选 (B) ①④。

  • ① 对：$PA=A$，$A$ 行满秩，右边可消去，故 $P=E$；
  • ② 错：反例 $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，$P=\mathrm{diag}(1,2,1)$；
  • ③ 错：行变换去不掉零列；
  • ④ 对：$A^T$ 列满秩，行变换可化为 $\binom{E_m}{O}$，转置回来就是 $A$ 经列变换化为 $(E_m\ O)$。

• 例 4 $A_{n\times m}$、$B_{m\times n}$，$r(AB)=n$，求 $r(BA)$。

  1. $r(AB)=n$ 隐含 $n\le m$，因为“膨胀不满秩”。
  2. 进而 $r(A)=r(B)=n$：$A$ 行满秩，$B$ 列满秩。
  3. $BA$ 是 $A$ 左乘列满秩阵，秩不变，故 $r(BA)=n$。

• 例 5 $(A-aE)(A-bE)=O$，$a\ne b$，证 $r(A-aE)+r(A-bE)=n$。

  1. 上界：乘积为零，得 $\le n$。
  2. 下界：$r(X)+r(Y)\ge r(X-Y)=r((b-a)E)=n$。
  3. 特例：$A^2=E$ 时 $r(A-E)+r(A+E)=n$；$A^2=A$ 时 $r(A)+r(A-E)=n$。

• 例 6（2024 数二） 4 阶矩阵，$A(A-A^*)=O$，$A\ne A^*$，求 $r(A)$ 的取值。

  1. $r(A)+r(A-A^*)\le4$，且 $r(A-A^*)\ge1$，所以 $r(A)\le3$，从而 $|A|=0$，$AA^*=O$。
  2. 条件化为 $A^2=O$，得 $2r(A)\le4$。
  3. 若 $A=O$，则 $A^*=O=A$，矛盾，所以 $A\ne O$。
  4. 故 $r(A)=1$ 或 $2$，选 (D)。

• 例 7（2025 数一） $n$ 阶矩阵满足 $r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n$，判断：

  • ① $r(ABC)+n=r(AB)+r(C)$；
  • ② $r(AB)+n=r(A)+r(B)$；
  • ③ $r(A)=r(B)=r(C)=n$；
  • ④ $r(AB)=r(BC)=n$。

  ⚠️ 订正：AI 总结漏掉了“$=r(ABC)+2n$”这个条件，证明写乱了，以讲义原题为准。

  证明：连用两次 Sylvester 不等式：
  $$r(ABC)\ge r(AB)+r(C)-n\ge r(A)+r(B)+r(C)-2n=r(ABC).$$
  两端相等，所以每个不等号都取等，① 和 ② 成立。取 $A=B=E$、$C=O$ 满足条件，可排除 ③④。选 (A)。

1.9 分块矩阵

• 拉普拉斯公式：$A_m,B_n$ 必须是方阵。主对角型（上/下三角）直接等于 $|A||B|$；副对角型要乘 $(-1)^{mn}$。
• 幂：分块主对角阵各块分别求幂；分块副对角阵的幂没有规律。

• 逆：

  • 主对角：各自求逆，位置不变，$\begin{pmatrix}B&O\\O&C\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}B^{-1}&O\\O&C^{-1}\end{pmatrix}$；
  • 副对角：各自求逆后互换位置，$\begin{pmatrix}O&B\\C&O\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}O&C^{-1}\\B^{-1}&O\end{pmatrix}$。
• 转置：“大转 + 子转”，$(A\ B)^T=\binom{A^T}{B^T}$。

• 广义初等变换（左行右列）：

  • 行倍加：$\begin{pmatrix}E&M\\O&E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A+MC&B+MD\\C&D\end{pmatrix}$；
  • 列倍加：$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E&O\\M&E\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A+BM&B\\C+DM&D\end{pmatrix}$；
  • 倍加、倍乘时 $M$ 要保证可乘；倍乘时 $M$ 可逆，秩才不变。

• 分块矩阵的秩：

  • 对角型等于 $r(A)+r(B)$；
  • 三角型 $\ge r(A)+r(B)$。$A$ 或 $B$ 可逆，或 $C$ 的行能由 $A$ 的行（或 $C$ 的列能由 $B$ 的列）线性表示时取等。

例 1（2009 数一/二/三） $A,B$ 为 2 阶矩阵，$|A|=2$，$|B|=3$，求 $\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}^*$。

1. 行列式为 $(-1)^{2\times2}\cdot6=6$。
2. 伴随 $=6\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O&2B^*\\3A^*&O\end{pmatrix}$，选 (B)。

例 2（2018 数一/二/三） 选 (A) $r(A,AB)=r(A)$。

• (A) 对：$AB$ 的列由 $A$ 的列线性表示；也可以列变换 $(A,AB)\to(A,O)$。
• (B) 错：$BA$ 的列不一定能由 $A$ 的列表示。反例 $A=\mathrm{diag}(1,0)$，$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 时 $r(A,BA)=2$。
• (C) 错：应为 $\ge\max$，不是 $=$。
• (D) 错：$(A\ B)^T=\binom{A^T}{B^T}\ne(A^T\ B^T)$。

例 3 $D=\begin{pmatrix}A&O\\C&B\end{pmatrix}$，选 (A) $r(D)\ge r(A)+r(B)$。可以严格大于：例如 $A=\mathrm{diag}(1,0)$，$C=\mathrm{diag}(0,1)$，$B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ 时 $r(D)=3>2$。

例 4（2021 数一） 哪个结论不成立？

• (A) 成立：$r(A)+r(A^TA)=2r(A)$；
• (B) 成立：用列变换消去 $AB$，化为 $\mathrm{diag}(A,A^T)$；
• (D) 成立：用行变换消去 $BA$，化为 $\mathrm{diag}(A,A^T)$；
• (C) 不成立：$\begin{pmatrix}A&BA\\O&AA^T\end{pmatrix}$ 中的 $BA$ 消不掉。

反例：$A=\begin{pmatrix}0&-1\\0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ 时秩为 $3\ne2r(A)=2$。这个反例由程序搜出，AI 总结原先给的“反例”其实并不成立。选 (C)。

例 5（2023 数一） $ABC=O$，记 $\begin{pmatrix}O&A\\BC&E\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}AB&C\\O&E\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}E&AB\\AB&O\end{pmatrix}$ 的秩为 $r_1,r_2,r_3$。

1. $r_1$：列变换 $c_1-c_2\cdot BC$ 得 $\begin{pmatrix}-ABC&A\\O&E\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O&A\\O&E\end{pmatrix}$，再用行变换消去 $A$，得 $r_1=n$。
2. $r_2$：用 $E$ 消去 $C$，得 $r_2=n+r(AB)$。
3. $r_3$：用 $E$ 消去两个 $AB$，右下角出现 $-(AB)^2$，得 $r_3=n+r((AB)^2)$。
4. 因为 $r((AB)^2)\le r(AB)$，所以 $\boxed{r_1\le r_3\le r_2}$，选 (B)。

例 6 $A,B$ 为 $n$ 阶实矩阵，记 $\begin{pmatrix}O&A\\B&E\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}A&B\\O&E\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}A&AB\\E&B\end{pmatrix}$ 的秩为 $r_1,r_2,r_3$。

1. $r_1$：同样用 $E$ 消元，得 $r_1=r(AB)+n$。
2. $r_2$：$r_2=r(A)+n$。
3. $r_3$：先 $c_2-c_1B$ 得 $\begin{pmatrix}A&O\\E&O\end{pmatrix}$，再 $r_1-Ar_2$ 得 $\begin{pmatrix}O&O\\E&O\end{pmatrix}$，所以 $r_3=n$。
4. 结论：$\boxed{r_3\le r_1\le r_2}$。

⚠️ 订正：

• AI 总结把例 5（2023 数一，带 $ABC=O$）和例 6 混成了一道题；
• 它算出的 $r_3=r(A)$ 是错的，正确的是 $r_3=n$。

本章易错清单

1. 方阵限制：方阵才有行列式、伴随、逆。$|AB|=|A||B|$ 要求同阶方阵；$|kA|=k^n|A|$。
2. 两种副对角符号：副对角行列式是 $(-1)^{n(n-1)/2}$，副对角分块是 $(-1)^{mn}$。
3. 不能照搬数的运算：$|A+B|\ne|A|+|B|$，$A^2-B^2\ne(A+B)(A-B)$，$AB=O$ 推不出 $A=O$，消去律要满秩。
4. 伴随的排法：$A^*$ 是代数余子式的转置排列；$(kA)^*=k^{n-1}A^*$。
5. 列变换与方程组：列变换会改变 $Ax=0$ 的解；行变换保持同解。只用行变换一般化不成标准形。
6. “存在”与“任意”：秩为 $r$ 只说明存在一个 $r$ 阶非零子式。
7. 分块副对角：幂没有规律；逆要互换位置。