二次型第二阶段：详细复习笔记

范围：4.4「套皮二次型」、4.5「平方和形式的二次型应用」、4.6「二次型等于0的求解」。根据三份讲义及对应文稿整理，已修正其中的条件遗漏和计算笔误。

阅读标记：【必记】是应能直接写出的结论；【理解】解释原因；【易错】说明适用边界；【题型】对应讲义例题。全文讨论实数范围，二次型矩阵均取实对称矩阵，$E$ 表示单位矩阵。

一、先抓住第二阶段的主线

第一阶段解决“二次型是什么、怎样化标准形”；第二阶段解决“看到一种题目结构，怎样用最少的计算得到所问信息”。

【必记】先看题目问什么，再决定算到哪一步。

• 只求规范形：知道正、负惯性指数就足够，不必求出特征向量。
• 只求平方和的正惯性指数：求 $r(B)$ 就足够，不必计算 $B^TB$。
• 求具体换元：必须写出完整可逆的变量关系。
• 求全部解：必须回到原变量 $x$，不能停在中间变量 $y$。

二、第一阶段中必须带过来的四个基础

1. 二次型与合同变换

【必记】

$$f(x)=x^TAx,\qquad x=Cy,\quad \det C\ne0$$
$$\boxed{f(x)=y^T(C^TAC)y.}$$

因此，可逆换元对应矩阵的合同变换。若实际先令 $y=Px$，则题目要求的 $x=Cy$ 中，$C=P^{-1}$。

连续换元时：
$$x=Cy,\quad y=Dz\quad\Longrightarrow\quad x=CDz.$$

2. 标准形、规范形与惯性指数

$$\text{标准形：}\quad d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2.$$
$$\text{规范形：}\quad z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2.$$

标准形只要求没有交叉项；规范形还要求非零系数为 $1$ 或 $-1$。未出现的变量对应零系数。

【必记】
$$\boxed{r(A)=p+q,\qquad \text{零系数个数}=n-p-q.}$$

任意可逆换元都保持 $p,q$ 不变。同阶实对称矩阵合同，当且仅当它们的 $p,q$ 分别相同。仅仅秩相同不够。

3. 正交变换与特征值

实对称矩阵可正交对角化：
$$Q^TAQ=\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).$$
令 $x=Qy$，得到
$$f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.$$

【易错】只有正交变换所得标准形的系数，才保证是原矩阵的特征值。一般配方法所得系数不一定是特征值。

$Q$ 的每一列必须是单位特征向量，各列两两正交；列的顺序必须与对角线上特征值的顺序一致。

4. 两个矩阵不要混淆：$B$ 与 $C$

【理解】“把式子记成 $Bx$”只是表示；“用新变量代替原变量”还要求不丢失变量信息。

三、4.4：把题目条件翻译成特征值信息

题型1：矩阵方程 → 特征值 → 规范形

讲义条件：$A$ 为三阶实对称矩阵，$\det A=2$，且 $A^*=A-E$，求 $x^TAx$ 的规范形。

【必记模板】
$$g(A)=O\quad\Longrightarrow\quad g(\lambda)=0.$$

【理解】为什么可以把矩阵换成特征值？

若 $Av=\lambda v$，$v\ne0$，则 $A^2v=\lambda^2v$，依此类推。因此
$$g(A)v=g(\lambda)v=0.$$
由于 $v\ne0$，只能有 $g(\lambda)=0$。

本题利用伴随矩阵恒等式：
$$AA^*=\det(A)E=2E.$$
$$A^*=A-E
\quad\Longrightarrow\quad A^2-A-2E=O.$$
$$\lambda^2-\lambda-2=0
\quad\Longrightarrow\quad \lambda=2\ \text{或}\ -1.$$

再利用三阶及特征值乘积等于行列式，得到
$$(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(2,-1,-1).$$
所以 $p=1,q=2$，规范形为
$$\boxed{z_1^2-z_2^2-z_3^2.}$$

【易错】$g(\lambda)=0$ 给的是“可能取值”，不表示每个根一定出现，也没有自动确定重数。还要结合阶数、行列式、迹、秩等条件。

辅助关系：
$$\sum_i\lambda_i=\operatorname{tr}A,\qquad
\prod_i\lambda_i=\det A.$$
对实对称矩阵，非零特征值个数（按重数计）等于秩。

题型2：正交矩阵换列、变号 → 新标准形

已知 $Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)$，在 $x=Qy$ 下标准形为
$$2y_1^2+y_2^2-y_3^2.$$
则对应关系为
$$A\eta_1=2\eta_1,\quad A\eta_2=\eta_2,\quad A\eta_3=-\eta_3.$$
新矩阵为 $Q_1=(-\eta_3,\eta_1,-\eta_2)$。

故新标准形为
$$\boxed{-y_1^2+2y_2^2+y_3^2.}$$

【理解】向量取反不使特征值取反。因为
$$A(-\eta)=-A\eta=-\lambda\eta=\lambda(-\eta).$$

【易错】非零倍数都保持特征向量身份，但未必保持单位长度。若原向量是单位向量，乘实数 $c$ 后仍为单位向量，须 $|c|=1$。不能随便把一列乘 $2$，仍称新矩阵为正交矩阵。

题型3：向量外积矩阵 → 特征值与规范形

讲义：$\alpha,\beta$ 是三维单位正交列向量，
$$A=2\alpha\alpha^T+\beta\beta^T.$$

【必记】先给矩阵右乘题目中的向量。

由 $\alpha^T\alpha=\beta^T\beta=1$，$\alpha^T\beta=0$，
$$A\alpha=2\alpha(\alpha^T\alpha)+\beta(\beta^T\alpha)=2\alpha,$$
$$A\beta=2\alpha(\alpha^T\beta)+\beta(\beta^T\beta)=\beta.$$
所以得到特征值 $2,1$。取一个非零向量 $\gamma$ 同时垂直于 $\alpha,\beta$，则 $A\gamma=0$，得到第三个特征值 $0$。

故 $p=2,q=0$，规范形为
$$\boxed{z_1^2+z_2^2.}$$

【理解】$\alpha\alpha^T$ 对向量的作用是 $x\mapsto\alpha(\alpha^Tx)$。当 $\alpha$ 是单位向量时，它保留 $x$ 在 $\alpha$ 方向上的分量。这里 $A$ 把 $\alpha$ 方向放大2倍，保留 $\beta$ 方向，消去同时垂直于两者的方向。

【易错】外积前的系数能直接读成特征值，依赖这里的单位正交条件。仅有“两个向量线性无关”，不能直接这样读数。

题型4：正交关系、迹 → 反求实对称矩阵

讲义给出 $\operatorname{tr}A=2$，$A$ 的行向量与 $B$ 的列向量均正交，其中
$$B=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&1&2\\1&0&1\end{pmatrix}.$$

第一步，翻译正交关系：
$$\boxed{AB=O.}$$

【理解】矩阵乘积的第 $(i,j)$ 个元素，就是 $A$ 第 $i$ 行与 $B$ 第 $j$ 列的内积。每一对都正交，乘积矩阵就全为零。

设 $B$ 的列为 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$，则
$$\beta_1=(1,1,1)^T,\quad \beta_2=(-1,1,0)^T,\quad \beta_3=\beta_1+\beta_2.$$
前两列线性无关，且 $A\beta_1=A\beta_2=0$，所以零特征值至少有两个独立特征向量。

结合三阶、实对称及迹为2，特征值为 $0,0,2$。第三个特征向量 $v$ 应同时垂直于前两个：
$$v_1+v_2+v_3=0,\qquad -v_1+v_2=0.$$
可取 $v=(1,1,-2)^T$。

【必记：反求矩阵的省算公式】若 $q_i$ 是一组单位正交特征向量，则
$$\boxed{A=Q\Lambda Q^T=\sum_i\lambda_iq_iq_i^T.}$$
如果手中是两两正交但未单位化的 $v_i$，也可写成
$$\boxed{A=\sum_i\lambda_i\frac{v_iv_i^T}{v_i^Tv_i}.}$$
两种写法本质相同，后一种把单位化合并到分母中。

本题两个零特征值对应项直接消失：
$$A=2\frac{vv^T}{v^Tv}
=\frac13\begin{pmatrix}1&1&-2\1&1&-2\-2&-2&4\end{pmatrix}.$$

【易错】$AB=0$ 不意味着 $A=0$。这里 $B$ 不可逆，不能在右边乘所谓的 $B^{-1}$。

四、4.5：平方和的全部结论，统一从一个式子出发

1. 平方和怎样写成矩阵

设
$$f(x)=L_1(x)^2+\cdots+L_m(x)^2,$$
每个 $L_i$ 都是 $x_1,\ldots,x_n$ 的齐次线性式。把每个线性式的系数横着抄为一行，得到 $m\times n$ 矩阵 $B$：
$$\begin{pmatrix}L_1(x)\\\vdots\\L_m(x)\end{pmatrix}=Bx.$$
于是
$$\boxed{f(x)=(Bx)^T(Bx)=\|Bx\|^2=x^TB^TBx.}$$
因此二次型矩阵为 $A=B^TB$。注意：平方项个数是 $m$，原变量个数是 $n$，二者未必相同。

2. 六条必记结论

下面三段说明这些结论为什么能连起来。

【理解一】为什么 $q=0$？

平方和对任意实向量都非负。若存在负特征值 $\lambda$ 及其非零特征向量 $v$，则
$$f(v)=v^TAv=\lambda v^Tv<0,$$
矛盾。因此所有特征值非负，负惯性指数为0。

【理解二】为什么 $r(B^TB)=r(B)$？

先比较两个齐次方程组的解：
$$Bx=0\Rightarrow B^TBx=0.$$
反过来，若 $B^TBx=0$，左乘 $x^T$ 得
$$0=x^TB^TBx=\|Bx\|^2\Rightarrow Bx=0.$$
所以两者解空间相同，未知量个数又同为 $n$，由“秩＋解空间维数＝未知量个数”可知秩相同。

再结合 $p+q=r(A)$、$q=0$，自然得到 $p=r(B)$。

【理解三】为什么正定等价于 $B$ 列满秩？

正定要求：任何 $x\ne0$ 都有 $f(x)>0$。而
$$f(x)=\|Bx\|^2>0\iff Bx\ne0.$$
因此
$$\boxed{
f\text{ 正定}
\iff Bx=0\text{ 只有零解}
\iff r(B)=n.
}$$

【易错】是“列满秩”，不是含糊的“满秩”。比如 $B$ 是 $2\times3$ 矩阵，即使行满秩为2，仍小于变量个数3，对应二次型也不可能正定。只有 $B$ 为方阵时，才能改用 $\det B\ne0$。

题型5：全正平方和 → 求正惯性指数

讲义题：
$$f=(x_1+x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_1+x_3)^2.$$
直接写
$$B=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}.$$
第三行等于第一行减第二行，前两行独立，所以 $r(B)=2$。因此
$$\boxed{p=2,\qquad q=0.}$$

【重点理解：为什么三个平方不能直接数成 $p=3$？】

若令 $y_1=x_1+x_2$、$y_2=x_2-x_3$、$y_3=x_1+x_3$，必有
$$y_3=y_1-y_2.$$
三个新量被关系式约束，只能独立选两个，不能把它们当成三维空间中任意取值的独立坐标。因此 $f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$ 作为代数表示没错，但这不是通过可逆换元得到的三变量规范形。

如果需要具体换元，就保留前两个独立线性式，再补一个变量：
$$y_1=x_1+x_2,\quad y_2=x_2-x_3,\quad y_3=x_3.$$
此次变换矩阵行列式为1，故可逆。原式变为
$$f=y_1^2+y_2^2+(y_1-y_2)^2
=2\left(y_1-\frac12y_2\right)^2+\frac32y_2^2.$$
只有两个非零平方项，与 $r(B)=2$ 一致。

题型6：含参数平方和 → 求正定条件

讲义题：
$$f=(ax_1+2x_2-3x_3)^2+(x_2-2x_3)^2+(x_1+ax_2-x_3)^2.$$
写出
$$B=\begin{pmatrix}a&2&-3\\0&1&-2\\1&a&-1\end{pmatrix}.$$
因为这里 $B$ 是三阶方阵，
$$f\text{ 正定}\iff\det B\ne0.$$
$$\det B=2a^2-a-1=(2a+1)(a-1).$$
故
$$\boxed{a\ne1\quad\text{且}\quad a\ne-\frac12.}$$

【必记模板】平方和判正定：写 $B$ → 列满秩；方阵时再转行列式。

题型7：正负平方混合 → 求惯性指数

讲义题：
$$f=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2.$$

有负号时，不能直接套用 $p=r(B),q=0$。若令三个括号分别为 $y_1,y_2,y_3$，这里仍会产生约束，不能直接数成“两正一负”。

取可逆换元
$$y_1=x_1+x_2,\quad y_2=x_2+x_3,\quad y_3=x_3.$$
因为 $x_3-x_1=y_2-y_1$，
$$f=y_1^2+y_2^2-(y_2-y_1)^2=2y_1y_2.$$
再令
$$y_1=z_1+z_2,\quad y_2=z_1-z_2,\quad y_3=z_3,$$
得到
$$f=2z_1^2-2z_2^2,\qquad \boxed{p=1,q=1.}$$

【理解：选部分线性式，再补变量】不要强行把每个括号都当新变量。先选独立的线性式，补足到 $n$ 个独立线性式，使完整换元可逆；原来多余的线性式再用新变量表达。

【适用边界】

• 全部权重为正的 $\sum c_iL_i^2$ 仍可使用平方和结论，把 $\sqrt{c_i}$ 吸收到第 $i$ 个线性式中即可。
• 有正有负时，可写 $A=B^TDB$，其中 $D$ 记录正负系数，但一般不能再断言 $r(A)=r(B)$。例如 $x_1^2-x_1^2=0$，相应 $B$ 的秩为1，而 $A$ 的秩为0。
• 若这个 $B$ 恰好是可逆方阵，$A=B^TDB$ 就是合同关系，才可以直接按 $D$ 数正负项。
• 原式出现减号，不代表化简后一定不非负。例如 $x_1^2+x_2^2-(x_1/2)^2=\frac34x_1^2+x_2^2$。准确说法是“不能直接套当前的全正平方和结论”。

五、4.6：二次型等于零，先判断能不能逐项令零

1. 最重要的条件

【必记】实数的非负数之和等于0，才能推出每一项都等于0。

例如
$$4y_1^2+y_3^2=0\iff y_1=y_3=0,$$
而 $y_2$ 没出现，因此自由。

若全部非零系数为负，可把等式乘以 $-1$，同样处理。

【易错：正负混合时不能逐项令零】
$$y_1^2-y_2^2=0\iff y_1=y_2\ \text{或}\ y_1=-y_2.$$
例如 $(y_1,y_2)=(1,1)$ 也是解。正负项会抵消。

所以一般标准形
$$\sum_i d_i y_i^2=0$$
必须先看系数是否同号，不能一律把所有 $d_i\ne0$ 对应的 $y_i$ 设为0。

题型8：含参数平方和 → 全部零点与规范形

讲义题：
$$f=(x_1-x_2+x_3)^2+(x_2+x_3)^2+(x_1+ax_3)^2.$$

第一问求 $f=0$。由于是全正平方和，
$$f=0\iff
\begin{cases}
x_1-x_2+x_3=0,\
x_2+x_3=0,\
x_1+ax_3=0.
\end{cases}$$
即 $Bx=0$，其中
$$B=\begin{pmatrix}1&-1&1\0&1&1\1&0&a\end{pmatrix}
\ \xrightarrow{\text{行变换}}\
\begin{pmatrix}1&0&2\0&1&1\0&0&a-2\end{pmatrix}.$$

【理解】同一次消元，既回答零点，也回答规范形。

• 消元后的方程给出全部解。
• 秩给出 $p=r(B)$，再结合 $q=0$ 写规范形。

当 $a=2$，若需要展示具体配方，正确结果是
$$f=2x_1^2+2x_2^2+6x_3^2-2x_1x_2+6x_1x_3$$
$$\boxed{
f=2\left(x_1-\frac12x_2+\frac32x_3\right)^2
+\frac32(x_2+x_3)^2.
}$$
再令
$$z_1=\sqrt2\left(x_1-\frac12x_2+\frac32x_3\right),\quad
z_2=\sqrt{\frac32}(x_2+x_3),\quad z_3=x_3,$$
这是完整可逆换元，得到规范形 $z_1^2+z_2^2$。

【与你前面笔记的连接】这里就是第一阶段笔记中配方系数写错的那道题。括号中应为 $-\frac12x_2+\frac32x_3$，不是 $-\frac14x_2+\frac34x_3$。

题型9：列向量关系反求矩阵，再解 $x^T(A+E)x=0$

已知三阶实对称矩阵 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，$r(A)=2$，且
$$\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3=(3,6,3)^T,$$
$$\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3=(-1,1,-1)^T.$$

第一步：把列向量组合翻译成 $Av=\lambda v$。

【理解】矩阵右乘列向量，就是按该向量的分量对矩阵各列做线性组合：
$$A\begin{pmatrix}c_1\c_2\c_3\end{pmatrix}
=c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+c_3\alpha_3.$$
因此
$$A\begin{pmatrix}1\2\1\end{pmatrix}
=3\begin{pmatrix}1\2\1\end{pmatrix},
\qquad
A\begin{pmatrix}1\-1\1\end{pmatrix}
=-\begin{pmatrix}1\-1\1\end{pmatrix}.$$
得到两个特征值 $3,-1$。由秩为2，第三个为0。利用不同特征值的特征向量正交，可取第三个特征向量为 $(1,0,-1)^T$。

令 $v=(1,2,1)^T$、$w=(1,-1,1)^T$，用反求公式：
$$A=3\frac{vv^T}{6}-\frac{ww^T}{3}
=\boxed{\frac16\begin{pmatrix}1&8&1\8&10&8\1&8&1\end{pmatrix}}.$$

第二步：由 $A$ 的特征值转到 $A+E$。

【必记】
$$Av=\lambda v
\quad\Longrightarrow\quad
(A+cE)v=(\lambda+c)v.$$
也就是特征向量沿用，特征值加 $c$。若 $Q^TAQ=\Lambda$，则
$$\boxed{Q^T(A+cE)Q=\Lambda+cE.}$$

本题 $A+E$ 的特征值依次为 $4,0,1$。令
$$Q=\left(\frac{v}{\sqrt6},\frac{w}{\sqrt3},\frac{(1,0,-1)^T}{\sqrt2}\right),\quad x=Qy,$$
得到
$$x^T(A+E)x=4y_1^2+y_3^2=0.$$
于是 $y_1=y_3=0$，$y_2=s$ 任意。

第三步：回代原变量。
$$x=Q\begin{pmatrix}0\s\0\end{pmatrix}
=\frac{s}{\sqrt3}w
=\boxed{t(1,-1,1)^T,\quad t\in\mathbb R}.$$

【理解】只剩 $y_2$ 自由，表示解只沿 $Q$ 第二列的方向变化。这个方向对应 $A$ 的特征值 $-1$，也就是 $A+E$ 的零特征值。

【易错】不能对一般合同换元照搬“对角系数直接加 $c$”的规则。若 $C^TAC=D$，则
$$C^T(A+cE)C=D+cC^TC,$$
只有 $C$ 正交时，$C^TC=E$，才简化为 $D+cE$。

六、补一条统一理解：零点何时等价于齐次线性方程？

1. 对全正平方和

$$\boxed{x^TB^TBx=0\iff Bx=0\iff B^TBx=0.}$$
通常直接解 $Bx=0$ 计算最少。

2. 对实对称半正定或半负定矩阵 $M$

这里“半正定”表示对任意 $x$，$x^TMx\ge0$；“半负定”同理。这一记法允许包含正定、负定情形。

$$\boxed{x^TMx=0\iff Mx=0.}$$

【理解】正交对角化后，所有非零特征值同号。二次型等于零迫使对应的坐标都为零，恰好就是对角矩阵乘新坐标等于零。

因此讲义题中，已经知道 $A+E$ 的特征值为 $4,0,1$，也可直接说：它半正定，所以只需求 $(A+E)x=0$，即取 $A$ 的 $-1$ 特征空间。

3. 对不定矩阵不能这样做

取 $M=\operatorname{diag}(1,-1)$，$x=(1,1)^T$，则
$$x^TMx=0,\qquad Mx=(1,-1)^T\ne0.$$
一般总有 $Mx=0\Rightarrow x^TMx=0$，反方向需要条件。

【易错】“矩阵可逆”不保证二次型等于零只有零解。上面的 $\operatorname{diag}(1,-1)$ 就可逆，却存在非零零点。

七、对讲义和旧笔记的订正记录

1. 4.6 AI总结末尾的条件遗漏：不能说“所有非零系数对应变量都必须为零”。应补上“所有非零系数同号”；正负混合时会抵消。
2. 4.6例1配方中间行：剩余项应为 $\frac32x_2^2+3x_2x_3+\frac32x_3^2$，不是末项为 $\frac92x_3^2$。最后写成 $\frac32(x_2+x_3)^2$ 才一致。
3. 第一阶段同题的换元系数：$x_1-\frac12x_2+\frac32x_3$ 中的系数不能再除一次2。
4. 4.5关于减号的表述：出现负平方项，不能直接使用全正平方和的结论；但不能据此断言它化简后一定不非负、一定不能表示成另一个平方和。
5. “规范形”与“具体换元”分开：若只求规范形，可先说明 $A=B^TB$ 非负、$r(A)=r(B)$，从而求 $p,q$ 并写规范形；若题目明确要求变换，才必须进一步给出完整可逆换元。

八、最后压缩成一页：真正要背的内容

核心公式

$$\boxed{x=Cy\Rightarrow A\mapsto C^TAC,\qquad \det C\ne0.}$$
$$\boxed{g(A)=O\Rightarrow g(\lambda)=0.}$$
$$\boxed{A=Q\Lambda Q^T=\sum_i\lambda_iq_iq_i^T.}$$
$$\boxed{Av=\lambda v\Rightarrow(A+cE)v=(\lambda+c)v.}$$
$$\boxed{f=\|Bx\|^2\Rightarrow A=B^TB,\quad p=r(B),\quad q=0.}$$
$$\boxed{f=\|Bx\|^2\text{ 正定}\iff r(B)=n.}$$
$$\boxed{f=\|Bx\|^2=0\iff Bx=0.}$$
$$\boxed{M\text{ 实对称且半正定或半负定}\Rightarrow
[x^TMx=0\iff Mx=0].}$$

题型识别口令

每题做完的四个自检

1. 换元可逆吗？新变量是否独立，是否补足原变量个数？
2. 平方项数对吗？标准形的非零平方项个数应等于原矩阵秩。
3. 公式条件满足吗？全正平方和、单位正交、同号等条件有没有漏？
4. 回答到题目要求了吗？求规范形就给规范形；求具体变换就给完整换元；求全部解就回到 $x$。

来源：用户提供的《05 4.4套皮二次型》《06 4.5平方和形式的二次型应用》《07 4.6二次型等于0的求解》AI总结与对应文稿。原讲义例题之外的说明均用于解释公式条件、建立联系或提供反例。